首先，計(jì)算概率有下面兩個(gè)最簡單的原則：

原則一、計(jì)算概率一定要有一個(gè)參照系，即「樣本空間」，也就是隨機(jī)事件可能出現(xiàn)的所有結(jié)果。事件 A 發(fā)生的概率 = A 包含的樣本點(diǎn) / 樣本空間的樣本總數(shù)。

原則二、計(jì)算概率一定要明白，概率是一個(gè)連續(xù)的整體，也就是所謂的條件概率，不可以把連續(xù)的概率分割開。

上述兩個(gè)原則高中就學(xué)過，但是我們還是很容易犯錯(cuò)，而且犯錯(cuò)的流程也有異曲同工之妙：

先是忽略了原則二，錯(cuò)誤地計(jì)算了樣本空間，然后通過原則一算出了錯(cuò)誤的答案。

下面介紹幾個(gè)簡單卻具有迷惑性的問題，分別是男孩女孩問題、生日悖論、三門問題。當(dāng)然，三門問題可能是大家最耳熟的，所以就多聊一些有趣的思考。

一、男孩女孩問題

假設(shè)有一個(gè)家庭，有兩個(gè)孩子，現(xiàn)在告訴你其中有一個(gè)男孩，請問另一個(gè)也是男孩的概率是多少？

很多人，包括我在內(nèi)，不假思索地回答：1/2 啊，因?yàn)榱硪粋€(gè)孩子要么是男孩，要么是女孩，而且概率相等呀。但是實(shí)際上，答案是 1/3。

上述思想為什么錯(cuò)誤呢？因?yàn)闆]有正確計(jì)算樣本空間，導(dǎo)致原則一計(jì)算錯(cuò)誤。有兩個(gè)孩子，那么樣本空間為 4，即哥哥妹妹，哥哥弟弟，姐姐妹妹，姐姐弟弟這四種情況。已知有一個(gè)男孩，那么排除姐姐妹妹這種情況，所以樣本空間變成 3。另一個(gè)孩子也是男孩的話，只有哥哥弟弟這 1 種情況，所以概率為 1/3。

為什么計(jì)算樣本空間會(huì)出錯(cuò)呢？因?yàn)槲覀兓煜讼旅鎯蓚€(gè)問題：

這個(gè)家庭只有一個(gè)孩子，這個(gè)孩子是男孩的概率是多少？

這個(gè)家庭有兩個(gè)孩子，其中一個(gè)是男孩，另一個(gè)孩子也是男孩的概率是多少？

我們?nèi)菀紫氘?dāng)然地用“生男生女概率相等”的生活常識(shí)來分析問題。為了不要被迷惑，最簡單的辦法還是把所有可能結(jié)果窮舉出來，老老實(shí)實(shí)地?cái)?shù)。

最后，對于此問題我見過一個(gè)很奇葩的質(zhì)疑：如果這兩個(gè)孩子是雙胞胎，不存在年齡上的差異怎么辦？

我竟然覺得有那么一絲道理！但其實(shí)，我們只是通過年齡差異來表示兩個(gè)孩子的獨(dú)立性，也就是說即便兩個(gè)孩子年齡相同，也要假設(shè)他們一大一小。所以不要用雙胞胎抬杠。

當(dāng)然，這個(gè)問題還有好幾種說法，不過區(qū)別僅僅在于對于細(xì)節(jié)的理解差異，所以這里就不再多討論。有興趣的讀者可以自行搜索。

二、生日悖論

生日悖論是由這樣一個(gè)問題引出的：一個(gè)屋子里需要有多少人，才能使得存在至少兩個(gè)人生日是同一天的概率達(dá)到 50%？

答案是 23 個(gè)人，也就是說房子里如果有 23 個(gè)人，那么就有 50% 的概率會(huì)存在兩個(gè)人生日相同。

這個(gè)結(jié)論看起來不可思議，所以被稱為悖論。按照直覺，要得到 50% 的概率，起碼得有 183 個(gè)人吧，因?yàn)橐荒暧?365 天呀？其實(shí)不是的，覺得這個(gè)結(jié)論不可思議主要有兩個(gè)思維誤區(qū)：

第一個(gè)誤區(qū)是誤解「存在」這個(gè)詞的含義。

讀者可能認(rèn)為，如果 23 個(gè)人中出現(xiàn)相同生日的概率就能達(dá)到 50%，是不是意味著：

假設(shè)現(xiàn)在屋子里坐著 22 個(gè)人，然后我走進(jìn)去，那么有 50% 的概率我可以找到一個(gè)人和我生日相同？

并不是的，你這種想法是以自我為中心，而題目的概率是在描述整體。也就是說「存在」的含義是指 23 人中的任意兩個(gè)人，涉及排列組合，大概率和你這個(gè)個(gè)體沒啥關(guān)系。

如果你非要計(jì)算存在和自己生日相同的人的概率是多少，可以這樣計(jì)算：

1 - P(22 個(gè)人都和我的生日不同) = 1 -(364/365)^22 = 0.06

這樣計(jì)算得到的結(jié)果是不是看起來合理多了？生日悖論計(jì)算的對象不是某一個(gè)人，而是一個(gè)整體，其中包含了所有人的排列組合，它們的概率之和當(dāng)然會(huì)大得多。

第二個(gè)誤區(qū)是認(rèn)為概率是線性變化的。

讀者可能認(rèn)為，如果 23 個(gè)人中出現(xiàn)相同生日的概率就能達(dá)到 50%，是不是意味著 46 個(gè)人的概率就能達(dá)到 100%？

不是的，就像中獎(jiǎng)率 50% 的游戲，你玩兩次的中獎(jiǎng)率就是 100% 嗎？顯然不是，你玩兩次的中獎(jiǎng)率是 75%：

P(兩次能中獎(jiǎng))=P(第一次就中了)+P(第一次沒中但第二次中了)=1/2+1/2?1/2=75%

那么換到生日悖論也是一個(gè)道理，概率不是簡單疊加，而要考慮一個(gè)連續(xù)的過程。所以 23 個(gè)人能達(dá)到 50% 的概率并沒有什么不合常理之處。

那為什么只要 23 個(gè)人出現(xiàn)相同生日的概率就能大于 50% 了呢？我們先計(jì)算 23 個(gè)人生日都唯一（不重復(fù)）的概率。只有 1 個(gè)人的時(shí)候，生日唯一的概率是 365/365，2 個(gè)人時(shí)，生日唯一的概率是 365/365×364/365，以此類推，可知 23 人的生日都唯一的概率：

算出來大約是 0.493，所以存在相同生日的概率就是 0.507，差不多就是 50% 了。

實(shí)際上，按照這個(gè)算法，當(dāng)人數(shù)達(dá)到 70 時(shí)，存在兩個(gè)人生日相同的概率就上升到了 99.9%，基本可以認(rèn)為是 100% 了。所以從概率上說，一個(gè)幾十人的小團(tuán)體中存在生日相同的人真沒啥稀奇的。

三、三門問題

這個(gè)游戲很經(jīng)典了：游戲參與者面對三扇門，其中兩扇門后面是山羊，一扇門后面是跑車。參與者只要隨便選一扇門，門后面的東西就歸他（跑車的價(jià)值當(dāng)然更大）。但是主持人決定幫一下參與者：在他選擇之后，先不急著打開這扇門，而是由主持人打開剩下兩扇門中的一扇，展示其中的山羊（主持人知道每扇門后面是什么），然后給參與者一次換門的機(jī)會(huì)，此時(shí)參與者應(yīng)該換門還是不換門呢？

為了防止第一次看到這個(gè)問題的讀者迷惑，再通過圖片具體描述一下這個(gè)問題：

你是游戲參與者，現(xiàn)在有門 1,2,3，假設(shè)你隨機(jī)選擇了門 1，然后主持人打開了門 3 告訴你那后面是山羊。現(xiàn)在，你是堅(jiān)持你最初的選擇門 1，還是選擇換成門 2 呢？

答案是應(yīng)該換門，換門之后抽到跑車的概率是 2/3，不換的話是 1/3。又一次反直覺，按道理換不換的中獎(jiǎng)概率應(yīng)該都一樣啊，因?yàn)樽詈缶褪蓚€(gè)門，必然一個(gè)是羊，一個(gè)是跑車，這是事實(shí)，所以不管選哪個(gè)的概率不都是 1/2 嗎？

類似前面說的男孩女孩問題，最簡單穩(wěn)妥的方法就是把所有可能結(jié)果窮舉出來：

很容易看到選擇換門中跑車的概率是 2/3，不換的話是 1/3。

關(guān)于這個(gè)問題還有更簡單的思路：主持人開門實(shí)際上在「濃縮」概率。一開始你選擇到跑車的概率當(dāng)然是 1/3，剩下兩個(gè)門中包含跑車的概率當(dāng)然是 2/3，這沒啥可說的。但是主持人幫你排除了一個(gè)含有山羊的門，相當(dāng)于把那 2/3 的概率濃縮到了剩下的這一扇門上。那么，你說你是抱著原來那扇 1/3 的門，還是換成那扇經(jīng)過「濃縮」的 2/3 概率的門呢？

再直觀一點(diǎn)，假設(shè)你三選一，剩下 2 扇門，再給你加入 98 扇裝山羊的門，把這 100 扇門隨機(jī)打亂，問你換不換一扇？肯定不換對吧，這明擺著把概率稀釋了，肯定抱著原來的那扇門是最可能中跑車的。

再假設(shè)，初始有 100 扇門，你選了一扇，然后主持人在剩下 99 扇門中幫你排除 98 個(gè)山羊，問你換不換一扇門？肯定換對吧，你手上那扇門是 1%，另一扇門是 99%，或者也可以這樣理解，不換只是選擇了 1 扇門，換門相當(dāng)于選擇了 99 扇門，這樣結(jié)果很明顯了吧？

以上思想，也許有的讀者都思考過，下面我們思考這樣一個(gè)問題：假設(shè)你在決定是否換門的時(shí)候，小明破門而入，要求幫你做出選擇。他完全不知道之前發(fā)生的事，他只知道面前有兩扇門，一扇是跑車一扇是山羊，那么他抽中跑車的概率是多大？

當(dāng)然是 1/2，這也是很多人做錯(cuò)三門問題的根本原因：類似生日悖論，人們總是容易以自我為中心，通過這個(gè)小明的視角來計(jì)算是否換門，這顯然會(huì)進(jìn)入誤區(qū)。

就好比有兩個(gè)箱子，一號(hào)箱子有 4 個(gè)黑球 2 個(gè)紅球，二號(hào)箱子有 2 個(gè)黑球 4 個(gè)紅球，隨便選一個(gè)箱子，隨便摸一個(gè)球，問你摸出紅球的概率。

對于不知情的小明，他會(huì)隨機(jī)選擇一個(gè)箱子，隨機(jī)摸球，摸到紅球的概率是：1/2 × 2/6 + 1/2 × 4/6 = 1/2

對于知情的你，你知道在二號(hào)箱子摸球概率大，所以只在二號(hào)箱摸，摸到紅球的概率是：0 × 2/6 + 1 × 4/6 = 2/3

三門問題是有指導(dǎo)意義的。比如你蒙選擇題，先蒙了 A，后來靈機(jī)一動(dòng)排除了 B 和 C，請問你是否要把 A 換成 D？答案是，換！

也許讀者會(huì)問，如果只排除了一個(gè)答案，比如說 B，那么我是否應(yīng)該把 A 換成 C 或者 D 呢？答案是，換！

因?yàn)榘凑談偛拧笣饪s」概率這個(gè)思想，只要進(jìn)行了排除，都是在進(jìn)行「濃縮」，均攤下來肯定比你一開始蒙的那個(gè)答案概率 1/4 高。比如剛才的例子，C 和 D 的正確概率都是 3/8，而你開始蒙的 A 只有 1/4。

當(dāng)然，運(yùn)用此策略蒙題的前提是你真的抓瞎，真的隨機(jī)亂選答案，這樣概率才能作為最后的殺手锏。