拉普拉斯曾經(jīng)說過“我們當中的所有的人都應(yīng)該去讀讀歐拉的著作，他是我們所有人的老師”。的確，歐拉雖然沒有專門做過教師，但是他的想法和教育理念深深地影響到了所有人。歐拉也有過一位非常偉大的老師，如果沒有這位老師的培養(yǎng)，歐拉的前途應(yīng)該會大不相同，這就是伯努利家族。

1630年，伽利略提出一個問題：“一個質(zhì)點在重力作用下，從一個給定點到不在它垂直下方的另一點，如果不計摩擦力，問沿著什么曲線滑下所需時間最短”。伽利略沒有深入研究過這個問題，粗略地認為這個曲線應(yīng)該是圓弧。

1696年，約翰伯努利重新發(fā)現(xiàn)這個問題，并且得出了正確的答案。伯努利先生很興奮，在整個歐洲數(shù)學(xué)界廣發(fā)英雄帖，希望廣大數(shù)學(xué)界人士來作答。截止到1697年5月5日，萊布尼茨，牛頓，雅各布伯努利，羅必塔都獲得了正確答案?？梢钥闯鰜恚軌?span>解出這個難題的都是當時世界級的大數(shù)學(xué)家，《博學(xué)通報》刊登了除羅必塔以外所有的正確解法。

這5種解法中，最巧妙的還要算是約翰伯努利本人發(fā)現(xiàn)的方法，他創(chuàng)造性地把光學(xué)，力學(xué)和數(shù)學(xué)分析結(jié)合在一起，解出了這個難題。

首先看一個公式：

學(xué)過高中物理的同學(xué)應(yīng)該會很有印象，這是光線的折射定律，其中的α是入射角和折射角，v是光線在不同介質(zhì)中的傳播速度，n叫介質(zhì)的折射率。費馬總結(jié)出一個光線傳播定律：

“過空間中兩定點的光，實際路徑總是光程（或者時間）最短?！?/strong>

由這個定律就可以推導(dǎo)出這個公式，荷蘭物理學(xué)家斯涅耳在1621年，通過實驗驗證了這個公式的正確性，所以光的折射定律又叫斯涅耳定律。約翰伯努利的解法正是基于這個定律。

下面介紹約翰伯努利的解法，前方高能，請謹慎閱讀！

至此，我們已經(jīng)建立了最速降曲線的微分方程（4），下面就開始求解這個方程：

實際上最速降曲線也就是我們常說的擺線，也叫旋輪線。圓上的任意一點滾動產(chǎn)生的軌跡就叫擺線，另外生活中兩個等高的點之間自由下垂的繩子或鏈子的造型也是擺線。

可以看出來這個方法的想象和創(chuàng)造力是空前的，約翰伯努利敏銳地察覺到費馬的時間最短原理推廣到無限情層數(shù)就是最速降曲線的解，相當漂亮！伯努利的解法中，除了要創(chuàng)造性地認識到最短時間原理和最速降曲線之間的關(guān)系，還有關(guān)鍵一步就是如何建立描述這個運動問題的微分方程，一旦正確的微分方程建立，對這個運動問題的研究就全部轉(zhuǎn)移到數(shù)學(xué)方法上來。事實上，到今天為止，我們描述運動最理想的方式仍然是微分方程。牛爵士當年在《原理》一書中建立的第二運動定律并不是我們現(xiàn)在常見的F=ma的形式，而是F=m·dv/dt。

“最速降問題”也成為了約翰伯努利一生數(shù)學(xué)成就的經(jīng)典代表。

約翰伯努利數(shù)學(xué)生涯還有一件更加成功的成就，那就是做了歐拉的老師。且不論這對師生之間的學(xué)術(shù)成就高低，他們都是各自研究領(lǐng)域的世界級大師。“最速降問題”掀起熱潮的時候歐拉尚未出生，假如歐拉也在那個時代，那么競爭可能會更加精彩激烈。

雖然說約翰伯努利完全解決了“最速降問題”，但他也使用了很多技巧，很多時候這樣的技巧顯得不是那么顯而易見，也并非適用所有情況。就像在微積分創(chuàng)立之前就有很多人已經(jīng)會求曲線的面積和周長。但是他們用到的特殊技巧卻不是每個人都可以掌握的，牛頓，萊布尼茨兩位的偉大之處在于，將解決這類問題的方法一般化，用一套規(guī)范來解決這一類問題。事實上，如果伯努利能再前進一步，就可以發(fā)現(xiàn)這一門新的學(xué)科。

回過頭來我們再來分析一下“最速降曲線”問題的難點在哪兒？建立的微分方程實際上是表示的是一類時間與路徑的函數(shù)簇，我們要做的是在這一類函數(shù)簇內(nèi)找到時間最短的那條。這個問題有點類似求函數(shù)的極值，在連續(xù)函數(shù)的某個位置存在一點，使得一階導(dǎo)數(shù)為零，我們就把這個點叫作駐點，我們可以很方便在駐點處分析函數(shù)的各種性質(zhì)。很明顯函數(shù)簇中的自變量也變成了函數(shù)，這種情況毫無疑問會比求函數(shù)極值復(fù)雜得多。這套數(shù)學(xué)方法的誕生已經(jīng)積累好了足夠的數(shù)學(xué)背景，就待臨門一腳了。

歐拉在1734年重新研究了老師的“最速降問題”，這里，歐拉拋棄了那些高超的轉(zhuǎn)換技巧轉(zhuǎn)而分析更一般的情況。歐拉給這門新的學(xué)科起了一個很有力的名字——變分法。并與拉格朗日一同建立了變分法最關(guān)鍵的定理——歐拉-拉格朗日方程。此方程的地位相當于微積分領(lǐng)域的牛頓-萊布尼茨公式。

下面，我們簡單看下用歐拉方程怎么求解“最速降問題”，這里同樣高能，請謹慎閱讀！

這里的(15)式與（4）式完全相同，于是，最速降曲線問題就這樣被解決。

在變分法的逐步建立過程中，拉格朗日做了非常重要的貢獻。這位年輕的數(shù)學(xué)家從19歲開始就一直與歐拉保持長期的通信交流數(shù)學(xué)，其中對于等周問題，拉格朗日給出了第一個證明，等周問題的研究也是變分法誕生的另一個契機。這讓歐拉欣喜若狂，歐拉壓下自己往年做過關(guān)于等周問題方面不太成熟的研究，鼓勵拉格朗日先發(fā)表自己的論文，于是年輕的拉格朗日名聲大噪，從默默無聞的數(shù)學(xué)后生也晉升到著名數(shù)學(xué)家的行列?，F(xiàn)在一般認為拉格朗日對于變分法的創(chuàng)立有著更加標準的貢獻，但是，變分法的基本方程最先卻是歐拉提出的，所以這個基本方程被命名為E-L方程。從某種意義上說，以歐拉命名的數(shù)學(xué)定理已經(jīng)多到讓人難以排序，所以不得不找個別人的名字加進去來區(qū)分，要不就說這是具體什么領(lǐng)域的歐拉定理，而不僅僅是說歐拉定理了。

今天的變分法已經(jīng)滲透到所有的自然科學(xué)中去了，物理學(xué)，經(jīng)濟學(xué)，甚至后來的自動控制領(lǐng)域，E-L方程都是最基本的分析工具。人們不僅僅可以處理的函數(shù)的大小，也可以在一堆函數(shù)中準確找到滿足要求的那個具體的函數(shù)了。

歐拉以一種最崇高的方式致敬了自己的老師，在數(shù)學(xué)界的故事中還有什么比師徒傳承更加動聽的故事么？在這里，我們也看到，歐拉作為一位大師對待后生的可敬態(tài)度，始終鼓勵年輕人做出更大的貢獻，這是對自己實力的絕對信任，也是為了培養(yǎng)更多的年輕數(shù)學(xué)家。某種意義上，歐拉的精神要比他的成就更加動人。