作為一位數(shù)學(xué)老師,我每年都會(huì)購(gòu)買大量新出版的圖書來(lái)學(xué)習(xí),目的是為了讓自己可以及時(shí)掌握各類考試和競(jìng)賽中所出現(xiàn)的新題型和新題目,不至于被時(shí)代所淘汰。因此,我每年會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間在尋找好書上。但是,讓我失望的是,在圖書市場(chǎng)上,大部分的書都是垃圾,不僅毫無(wú)“營(yíng)養(yǎng)”,而且還可以歸為“有害垃圾”。

在當(dāng)下這個(gè)快節(jié)奏社會(huì)里,大部分人似乎都只追求能快速解決問(wèn)題的實(shí)用主義技術(shù),很難沉下心來(lái)學(xué)習(xí)更為深層次的東西。放眼現(xiàn)在的教輔書市場(chǎng),充斥著大量東拼西湊出來(lái)的“題庫(kù)”和“練習(xí)冊(cè)”。與此同時(shí),為了迎合很多“速食面”愛(ài)好者的口味,很多學(xué)?；蛘吲嘤?xùn)班的老師也只講“如何快速解題”或“如何提高得分率”,對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的原理和架構(gòu)的解釋能省則省。

從一名每天追著孩子回答各種“為什么”的數(shù)學(xué)老師角度出發(fā),我買數(shù)學(xué)教輔書不喜歡那種“題庫(kù)”型的教輔材料,而更加傾向于買那些講解知識(shí)原理的圖書。正是由于這種挑剔,所以能符合我審美標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)教輔材料就變得非常稀缺了。

與很多學(xué)科不同,數(shù)學(xué)是一門需要不斷通過(guò)解題來(lái)獲得知識(shí)的課,因此學(xué)會(huì)“怎樣解題”就成了數(shù)學(xué)這門課的關(guān)鍵所在。關(guān)于“怎樣解題”這個(gè)問(wèn)題,曾經(jīng)有很多數(shù)學(xué)家寫過(guò)專著。

這其中,最著名的當(dāng)屬匈牙利籍美國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·波利亞(George Polya,1887~1985)那本暢銷七十余年的經(jīng)典之作《怎樣解題:數(shù)學(xué)思維的新方法》(How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method)。雖然這本書討論的是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律,但是對(duì)在其他任何領(lǐng)域中怎樣進(jìn)行正確思維都有明顯的指導(dǎo)作用。

《怎樣解題》一書圍繞“探索法”這一主題,采用明晰動(dòng)人的散文筆法,闡述了求得一個(gè)證明或解出一個(gè)未知數(shù)的數(shù)學(xué)方法怎樣可以有助于解決任何“推理”性問(wèn)題——從建造一座橋到猜出一個(gè)字謎。一代又一代的讀者嘗到了本書的甜頭,他們?cè)诒緯闹笇?dǎo)下,學(xué)會(huì)了怎樣摒棄不相干的東西,直搗問(wèn)題的心臟。這本書被翻譯成近二十種文字,銷量超過(guò)一百萬(wàn)冊(cè),啟發(fā)了無(wú)數(shù)人的聰明才智。波利亞還有一本書《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》,也是很經(jīng)典的關(guān)于解題的專著。

另外,我國(guó)著名的數(shù)學(xué)競(jìng)賽教練單墫教授也寫了一系列的關(guān)于解題的著作,其中包括《我怎樣解題》、《解題漫談》、《解題研究》等書。這些圖書影響了幾代數(shù)學(xué)競(jìng)賽愛(ài)好者和數(shù)學(xué)老師們。我個(gè)人就是單墫教授的超級(jí)粉絲,從三十年前開始讀,直到如今還在讀。單墫老師通過(guò)這些書,告訴大家如何通過(guò)做高質(zhì)量的數(shù)學(xué)題來(lái)做到舉一反三、觸類旁通,以擺脫“題海”的困擾。同時(shí),這些書也介紹了作為數(shù)學(xué)老師應(yīng)該如何命題。因此,是不可多得的參考讀物。

以上幾本關(guān)于“怎樣解題”的書各有側(cè)重。如果按照道家的理論來(lái)說(shuō),波利亞的《怎樣解題》以及《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》更多的是從“道”這個(gè)層面來(lái)闡述如何解題,而單墫老師的解題系列則更多的是從“法”和“術(shù)”的層面來(lái)闡述如何解題。我們知道,“道”側(cè)重理論,“法”和“術(shù)”側(cè)重方法論。有道無(wú)術(shù),容易淪為紙上談兵;而有術(shù)無(wú)道又容易事倍功半。因此兩者缺一不可。那么有沒(méi)有一本將“道、法、術(shù)”三者結(jié)合得比較好的數(shù)學(xué)解題著作呢?有!這里我要介紹一本自己很喜歡并且深受影響的關(guān)于“怎樣解題”的書。

這本書是由美國(guó)著名的數(shù)學(xué)競(jìng)賽教練保羅·蔡茨(Paul Zeitz)所寫,原書名叫做The Art and Craft of Problem Solving,直譯過(guò)來(lái)是“解題的技巧與藝術(shù)”,人民郵電出版社圖靈新知品牌引進(jìn)并推出的最新中文版題為《怎樣解題:數(shù)學(xué)競(jìng)賽攻關(guān)寶典》(第3版)。為什么要推薦這本書呢?

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根據(jù)本人多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),大部分孩子對(duì)解題總是不得要領(lǐng),一個(gè)很關(guān)鍵的問(wèn)題出在他們總是為了解題而解題,只是就題論題,很少有學(xué)生會(huì)從解題的方法論出發(fā),提升到解題的戰(zhàn)略和戰(zhàn)術(shù)這個(gè)層面上去。這樣做,最終勢(shì)必導(dǎo)致跳進(jìn)題海而難以自拔,事倍功半也就成了情理之中的事情了。按照此書中文第二版的譯者李勝宏老師的話講,這與數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽的精神是相違背的。是的,很多人對(duì)奧數(shù)的誤解就是覺(jué)得參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的選手都是靠刷題刷出來(lái)的。

學(xué)數(shù)學(xué),題目當(dāng)然是要刷的,但是單靠刷題有用嗎?我個(gè)人認(rèn)為,這個(gè)答案是否定的。刷題的功效主要是為了鞏固自己學(xué)過(guò)的知識(shí),熟悉一下各種題型,以加快考試時(shí)的解題速度。但很多同學(xué)刷題卻是了背題目和答案,希望考試的時(shí)候可以通過(guò)記憶獲得考試高分。這樣的想法其實(shí)很天真。我曾經(jīng)寫過(guò)一篇文章,文章的主旨是建議“不是學(xué)霸的孩子不要刷題”。很多人可能不知道,越高水平的考試或競(jìng)賽,題目越靈活,靠背題得高分幾乎是不可能的。我們眾所周知的每年一度的國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽,賽前由各個(gè)國(guó)家教練員們所提供的很多重題都會(huì)被刪除,哪怕一百年前出現(xiàn)過(guò)的古董級(jí)試題,都會(huì)有人找出來(lái)告訴你這是一道舊題。

那么,既然學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須刷題,有沒(méi)有辦法可以通過(guò)刷相對(duì)少量的好題盡快掌握解題的方法呢?我個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)告訴我是可以做到的。這本《怎樣解題:數(shù)學(xué)競(jìng)賽攻關(guān)寶典》(第3版)就是一個(gè)很好的關(guān)于怎樣解題的示范。

本人推薦此書的理由歸納起來(lái)大致有以下幾點(diǎn):

一、作者權(quán)威。該書作者本身就是一位經(jīng)驗(yàn)豐富的數(shù)學(xué)老師和競(jìng)賽教練,這一點(diǎn)首先保證了該書的權(quán)威性。作者保羅·蔡茨曾代表美國(guó)首次參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽,并多次擔(dān)任國(guó)際奧林匹克競(jìng)賽美國(guó)隊(duì)的教練,具有豐富的奧林匹克競(jìng)賽執(zhí)教經(jīng)驗(yàn),對(duì)數(shù)學(xué)奧林匹克有著深刻的理解與認(rèn)知。我經(jīng)常和自己的學(xué)生說(shuō):人生苦短,我們讀書一定要讀大家之作,讀經(jīng)典之作。這本書就是數(shù)學(xué)大家之作的代表之一。

二、選題經(jīng)典。這本書將數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性貫穿始終,將理論方法與經(jīng)典例題相結(jié)合。本書的例題和習(xí)題大都選自各類美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽(如AMC、AIME、USAMO、ARML),同時(shí)還有更高級(jí)別的國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽(IMO),甚至有源自美國(guó)著名的大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽普特南(Putnam)數(shù)學(xué)競(jìng)賽。同時(shí),書中還收錄了俄羅斯和匈牙利等老牌數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)的一些數(shù)學(xué)競(jìng)賽題,以及一些數(shù)學(xué)期刊上的趣味數(shù)學(xué)難題。這些賽題大都非常經(jīng)典,而且靈活性大,趣味性和思想性較強(qiáng),是很好的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練題。按照作者的話來(lái)說(shuō)就是:“雖然本書花費(fèi)很多的版面講述解決問(wèn)題的技巧,但我希望讀者不要忘了解決問(wèn)題的最高境界是要對(duì)解題充滿激情,把它看作一項(xiàng)審美活動(dòng)。打個(gè)不太恰當(dāng)?shù)谋确?你可以把它看作學(xué)習(xí)即興創(chuàng)作爵士鋼琴曲的過(guò)程,要想創(chuàng)作出自己的曲子,首先需要得到別人的指導(dǎo)和啟發(fā),并從聆聽前人創(chuàng)作的名曲中獲得靈感?！蔽易约航?jīng)常翻譯美國(guó)的中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題給學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練,受益良多。大家要記住,數(shù)學(xué)題目是永遠(yuǎn)做不完的,但經(jīng)典的、高質(zhì)量的例題卻能起到以一敵百的功效。

三、內(nèi)容全面。該書雖然不是一本關(guān)于中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽的系統(tǒng)訓(xùn)練教材,因?yàn)橐槐緯緵](méi)法做到面面俱到,但這本書從解題者的角度分別講述了代數(shù)學(xué)、組合數(shù)學(xué)、數(shù)論、幾何和微積分等知識(shí),基本上覆蓋了中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽所涉及的主要知識(shí)點(diǎn),大體上可以幫助那些試圖在數(shù)學(xué)競(jìng)賽方面有所建樹的學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的知識(shí)框架有一個(gè)大概的了解,也對(duì)那些講授數(shù)學(xué)競(jìng)賽的教練員們有一個(gè)相對(duì)系統(tǒng)的知識(shí)指引。

四、高屋建瓴。本書將數(shù)學(xué)解題從純粹的技巧性,上升到了戰(zhàn)略和戰(zhàn)術(shù)層面,甚至還講到了解題所應(yīng)具備的心理學(xué)知識(shí),進(jìn)而把解題提高到了“藝術(shù)”的高度。這也是這本書的重點(diǎn),也是我強(qiáng)烈推薦的原因。本書開篇就總結(jié)解決問(wèn)題的方法論,方法論也是整本書的核心內(nèi)容,進(jìn)而通過(guò)詳細(xì)的實(shí)例闡述了具體的解題戰(zhàn)術(shù),如極端原理、抽屜原理等。從老師的角度出發(fā),我們講究“授人以魚”,更講究“授人以漁”。如果說(shuō)例題是“魚”的話,那么解題的戰(zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)和方法論就是“漁”。我經(jīng)常講:教,最終是為了不教。如果只是讓學(xué)生機(jī)械地刷題,那么學(xué)生永遠(yuǎn)都只是停留在就題論題的層面,不會(huì)舉一反三,也就無(wú)法擺脫題海的束縛,事倍功半是難免的事情。要成為一名解題高手,唯有跳出題目本身,站在更加高的層面,比如戰(zhàn)略和戰(zhàn)術(shù)來(lái)看解題這件事。學(xué)生通過(guò)不斷地訓(xùn)練和總結(jié),形成屬于自己的解題方法,這樣才能觸類旁通。

五、通俗易懂。與很多讓人望而卻步的數(shù)學(xué)競(jìng)賽類書籍不同,這本書沒(méi)有大量看似深?yuàn)W復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式(當(dāng)然不可能完全沒(méi)有),更多地是采用平實(shí)的語(yǔ)言來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行描述和解釋。加上作者的語(yǔ)言風(fēng)趣幽默,大大增強(qiáng)了此書的可讀性?？梢哉f(shuō),這是一本非常平易近人的數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)材料,一本將科學(xué)性和啟發(fā)性完美結(jié)合的教材。這可能也是數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)書和解題寶典中的異類書籍。

六、參考豐富。我特別推薦讀者朋友們閱讀本書后面所羅列的中英文參考文獻(xiàn),里面有很多極為經(jīng)典的數(shù)學(xué)書。有一些國(guó)內(nèi)已經(jīng)引進(jìn)翻譯出版,有些還沒(méi)有。但在這個(gè)互聯(lián)網(wǎng)及其發(fā)達(dá)的社會(huì),我們有很多渠道可以獲得這些資料。作者所羅列的每一本參考書都值得讀者朋友們細(xì)細(xì)品味。

講了這些推薦的理由之后,我有必要給讀者朋友們一點(diǎn)溫馨的提示,以下兩類讀者可能并不適合閱讀本書:

一、認(rèn)為一本書可以徹底改變學(xué)習(xí)成績(jī)、成為解題高手的人。這個(gè)世界上沒(méi)有萬(wàn)能鑰匙,一個(gè)人最終能走多遠(yuǎn),很大程度上要看實(shí)踐了多少,解題是一個(gè)不斷實(shí)踐的過(guò)程,否則再偉大的書都是空中樓閣。但凡認(rèn)為一本書就可以成為高手的,在我看來(lái)都是懶人。

二、認(rèn)為題目越新越好的讀者。這是一個(gè)信息爆炸的時(shí)代,作為數(shù)學(xué)習(xí)題而言,全世界每年都會(huì)出現(xiàn)各種新的類型和題目。你做得完么?當(dāng)然不能。如果要論時(shí)效性,這本書上的例題時(shí)效性并不是特別強(qiáng),但書中許多“歷史著名問(wèn)題”可以說(shuō)大都非常之經(jīng)典,具有很好的代表性和啟發(fā)性。我自己曾經(jīng)挑選和改編了很多書中的例題給學(xué)生訓(xùn)練,有些題目的思想巧妙著實(shí)讓人嘆為觀止。

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最后我想說(shuō)的是,假如你想知道“解題的藝術(shù)”是怎么一回事,就讀一讀這本書吧!這是一本關(guān)于解題藝術(shù)的典范之作。

也許,你與解題高手之間的距離,差的可能就是這本書!