一．概念描述

現(xiàn)代數(shù)學(xué)：中位數(shù)和眾數(shù)都是統(tǒng)計(jì)學(xué)名詞。中位數(shù)也稱中數(shù)，統(tǒng)計(jì)學(xué)中反映樣本集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量。眾數(shù)是指是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)。

小學(xué)數(shù)學(xué)：小學(xué)數(shù)學(xué)教材對于中位數(shù)的概念通常是采取描述式的方式進(jìn)行的，形如“3.5是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)”。并且教材會明確中位數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是不受偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響，因此有時用它代表全體數(shù)據(jù)的一般水平更合適。

對于眾數(shù)的概念和中位數(shù)的描述方式相同，即形如“1. 52在這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最多，是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)”。同時，教材會指明：眾數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)的集中情況。

二．概念解讀

(1)中位數(shù)和眾數(shù)的特點(diǎn)

中位數(shù)反映了一組數(shù)的一般情況。從中位數(shù)的定義可知，所研究的數(shù)據(jù)中有一半小于中位數(shù)，一半大于中位數(shù)。中位數(shù)和眾數(shù)不同，中位數(shù)不一定在這組數(shù)據(jù)中。 它的作用與算術(shù)平均數(shù)相近，也是作為所研究數(shù)據(jù)的代表值。在一個等差數(shù)列或一個正態(tài)分布數(shù)列中，中位數(shù)就等于算術(shù)平均數(shù)。在數(shù)列中出現(xiàn)了極端變量值的情況下，用中位數(shù)作為代表值要比用算術(shù)平均數(shù)更好，因?yàn)橹形粩?shù)不受極端變量值的影響；如果研究目的就是為了反映中間水平，當(dāng)然也應(yīng)該用中位數(shù)。在對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析時，可結(jié)合中位數(shù)的使用。概括地說，中位數(shù)特別適合以下情形：一組數(shù)據(jù)中有特大或特小的極端數(shù)據(jù)；一組數(shù)據(jù)中有個別數(shù)據(jù)不確切；資料屬于等級性質(zhì)。當(dāng)然中位數(shù)也有一定的局限性，如有些離散型變量的單項(xiàng)式數(shù)列，當(dāng)次數(shù)分布偏態(tài)時，中位數(shù)的代表性會受到影響。另外，由于中位數(shù)只是數(shù)列中的一個局部，因此缺乏敏感性。

眾數(shù)相對于平均數(shù)和中位數(shù)這兩個集中量是最差的一個。但是在以下情況下，它的使用具有一定的優(yōu)勢：當(dāng)需要快速而粗略地找出一組數(shù)據(jù)的代表值時；當(dāng)需要利用算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)三者之間的關(guān)系來粗略判斷頻數(shù)分布的形態(tài)時；當(dāng)需要幫助分析解釋一組頻數(shù)分布是否確實(shí)具有兩個頻數(shù)最多的集中點(diǎn)時。

(2)中位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算方法

中位數(shù)的計(jì)算方法可以概括為：當(dāng)變量值的項(xiàng)數(shù)N為奇數(shù)時，處于中間位置的變量值即為中位數(shù)；當(dāng)N為偶數(shù)時，中位數(shù)則為處于中間位置的2個變量值的平均數(shù)。需要注意的是，在計(jì)算中位數(shù)前要將數(shù)列進(jìn)行從小到大或者從大到小的重新排列，而不是隨意亂排。

眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中最多的，眾數(shù)可以不存在或存在多個。

三．教學(xué)建議

(1)在現(xiàn)實(shí)情境中感受中位數(shù)、眾數(shù)的價值

教材將平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)單獨(dú)編排，但是分析教材的編寫意圖可以看到，對于中位數(shù)和眾數(shù)的教學(xué)是建立在整體把握的基礎(chǔ)上，沒有單方面強(qiáng)調(diào)某個統(tǒng)計(jì)量的優(yōu)劣。因此，關(guān)于中位數(shù)和中位數(shù)的教學(xué)，要通過解決具體問題并在和平均數(shù)對比的基礎(chǔ)上展開教學(xué)。我們首先看一個案例：

小冬的爸爸要到兩家公司應(yīng)聘，哪家的待遇比較高呢？老師呈現(xiàn)了兩家公司的信息：

看了這兩份工資報(bào)表后，你對小冬的爸爸去哪個公司應(yīng)聘有什么建議？為什么？

在討論的過程中，學(xué)生一開始都認(rèn)為去乙公司，理由是乙公司的人均工資高。但是隨著討論的深入，學(xué)生們開始注意到這些數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。乙公司平均工資高的原因是因?yàn)榻?jīng)理的工資遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于員工的工資，而甲公司雖然整體平均工資低，但是無論是經(jīng)理還是員工的工資都比較接近。因此，學(xué)生逐步認(rèn)識到平均數(shù)在這里不能作為數(shù)據(jù)的代表了，引出中位數(shù)和眾數(shù)的概念也就成為必然。這樣的情境不僅使學(xué)生認(rèn)識了中位數(shù)和眾數(shù)，更重要的是讓學(xué)生客觀認(rèn)識到它們的價值以及如何應(yīng)用。

(2)將平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義作為重點(diǎn)

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)是在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的重要內(nèi)容，教學(xué)時要充分發(fā)揮其在統(tǒng)計(jì)分析中的作用。有的老師在教學(xué)時將如何計(jì)算平均數(shù)和中位數(shù)、眾數(shù)作為重點(diǎn)，讓學(xué)生進(jìn)行機(jī)械的練習(xí)。面對枯燥的數(shù)據(jù)，學(xué)生盲目地計(jì)算，并不知道計(jì)算的意義是什么，這些知識有什么價值。因此，建議教學(xué)這些內(nèi)容時一定加強(qiáng)學(xué)生的交流和分析，重在讓他們理解統(tǒng)計(jì)的意義。另外，由于教材編排的原因，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)教學(xué)分散，因此我們經(jīng)常會看到有的課堂學(xué)習(xí)平均數(shù)時教師單一強(qiáng)調(diào)平均數(shù)的意義，而在學(xué)習(xí)中位數(shù)和眾數(shù)時又拋開平均數(shù)，造成學(xué)生對于這些知識理解不夠全面，從而使學(xué)生往往會孤立地看待這幾個概念。因此，對于平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)意義的理解要建立在整體把握的基礎(chǔ)上，同時在解決實(shí)際問題中深化理解。

四．推薦閱讀

(1)《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》（張奠宙等，高等教育出版社，2009）

該書第229-231頁論述了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算方法，以及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。

(2)《在比較與應(yīng)用中感悟統(tǒng)計(jì)學(xué)內(nèi)涵》（朱德江，《新課程（小學(xué)）》，2008年第8期）

該文以案例分析的方式強(qiáng)調(diào)在中位數(shù)、眾數(shù)的教學(xué)中要加強(qiáng)與平均數(shù)的對比，并且一定要在具體情境中感悟三個統(tǒng)計(jì)量的特點(diǎn)和應(yīng)用價值。