許多同學(xué)都知道這樣一個故事：大數(shù)學(xué)家高斯在很小的時候，就利用巧妙的算法迅速計算出從1到100這100個自然數(shù)的總和。大家在佩服贊嘆之余，有沒有仔細想一想，高斯為什么算得快呢？當然，小高斯的聰明和善于觀察是不必說了，往深處想，最基本的原因卻是這100個數(shù)及其排列的方法本身具有極強的規(guī)律性——每項都比它前面的一項大1，即它們構(gòu)成了差相等的數(shù)列，而這種數(shù)列有極簡便的求和方法。通過這一講的學(xué)習(xí)，我們將不僅掌握有關(guān)這種數(shù)列求和的方法，而且學(xué)會利用這種數(shù)列來解決許多有趣的問題。

一、等差數(shù)列

什么叫等差數(shù)列呢？我們先來看幾個例子：

① 1,2,3,4,5,6,7,8,9，…

② 1,3,5,7,9,11,13.

③ 2,4,6,8,10,12,14…

④ 3,6,9,12,15,18,21.

⑤ 100,95,90,85,80,75,70.

⑥ 20,18,16,14,12,10,8.

這六個數(shù)列有一個共同的特點，即相鄰兩項的差是一個固定的數(shù)，像這樣的數(shù)列就稱為等差數(shù)列。其中這個固定的數(shù)就稱為公差，一般用字母d表示，如：

數(shù)列①中，d=2-1=3-2=4-3=……=1

數(shù)列②中，d=3-1=5-3=……=13-11=2

數(shù)列⑤中，d=100-95=95-90=……=75-70=5

數(shù)列⑥中，d=20-18=18-16=……=10-8=2

一般地說，如果一個數(shù)列是等差數(shù)列，那么這個數(shù)列的每一項或者都不小于前面的項，或者每一項都大于前面的項，上述例1的數(shù)列⑥中，第一項大于第2項，第2項卻小于第3項，所以，顯然不符合等差數(shù)列的定義。

為了敘述和書寫的方便，通常，我們把數(shù)列的第1項記為a1，第2項記為a2,……第n項記為an,an又稱為數(shù)列的通項，a1又稱為數(shù)列的首項，最后一項又稱為數(shù)列的末項。

二、通項公式

對于公差為d的等差數(shù)列a1,a2,…an…來說，如果a1小于a2，則顯然?a1－a2=a3－a2=…=an－an-1=…=d,因此：

a2=a1+d

a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d

a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d

…

由此可知：an=a1+(n－1)×d???????????(1)

若a1大于a2，則同理可推得：

an=a1－(n－1)?×d????????????????????(2)

公式（1）（2）叫做等差數(shù)列的通項公式，利用通項公式，在已知首項和公差的情況下可以求出等差數(shù)列中的任何一項。

三、等差數(shù)列求和

若a1小于a2，則公差為d的等差數(shù)列a1,a2,a3,…,an可以寫為a1,a1+d,a1+d×2,…,a1+d×(n－1).所以,容易知道：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=…=an-1+a2=an+a1.

設(shè) Sn=a1+a2+a3+…+an,

則 Sn=an+an-1+an-2+…+a1,

兩式相加得：

2×Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)

即：2×Sn=n×（a1+an)，所以，

Sn=n×（a1+an)÷2??????????????(4)

當a1大于a2時，同樣也可以得到上面的公式。這個公式就是等差數(shù)列的前n項和的公式。

題目做完以后，我們再來分析一下，本題中的等差數(shù)列有499項，中間一項即第250項的值是997，而和恰等于997×499.其實，這并不是偶然的現(xiàn)象，關(guān)于中項有如下定理：

對于任意一個項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列來說，中間一項的值等于所有項的平均數(shù)，也等于首項與末項和的一半；或者換句話說，各項和等于中間項乘以項數(shù)。

這個定理稱為中項定理。

四、等差數(shù)列的應(yīng)用

下面是給同學(xué)們的小練習(xí)，一起做做看吧！

感謝關(guān)注媛媛媽奧數(shù)課，下一講將進行“倒推法的妙用”的學(xué)習(xí)。

本期答案