在上一篇文章“復(fù)合材料失效理論知多少（二）——Puck失效理論”中提到了公認的在基體斷裂方面預(yù)測精度比較高的失效準則Puck失效準則，在第一屆世界復(fù)合材料失效運動會（WWFE-I）中Puck失效理論綜合排名第三。

Puck理論提出后，自身的改動很少，作者在兩屆WWFE中都沒有對其理論進行改進，以至于雖然在盲測階段PUCK理論排名很靠前（WWFE-I排名第三，WWFE-II排名第四），但是到第二階段評比中被許多理論反超（WWFE-II B階段排名第十）。

雖然PUCK理論自身改進很少，但仍然難以抹煞其在基體失效方面的高精度預(yù)測，并且PUCK失效理論的思路給其他理論提出者提供了很有價值的參考，其中最具代表性的就是Pinho理論。當然Pinho理論還跟NASA的LaRC系列判據(jù)有千絲萬縷的聯(lián)系，以后再說吧。

Pinho理論沒有參加過WWFE-I，但在WWFE-II A階段盲測評價中直接搞了個第一名，WWFE-II B階段依據(jù)試驗結(jié)果對理論改進后的評價中，該判據(jù)的改進型獲得了第二名。

年輕的Pinho也就是在這個時候“一戰(zhàn)成名”，好奇他長什么樣的可以點擊下面的視頻。

小編機緣巧合之下曾跟這位大神當面聊過一次，無奈段位差的太遠，被鄙視。

好了閑言少敘，直接看Pinho的理論吧，由于這哥們比較高產(chǎn)，理論改來改去，版本還挺多，并且還參加了WWFE-III，我們就先看WWFE-II中的理論（2012年提交給WWFE-II組委會進行盲測的理論），其他的我們后期再更新。

以下開始介紹Pinho的具體理論。

總體來講，Pinho理論提出了一種跟壓力相關(guān)的三維本構(gòu)，考慮了剪切方向、橫向以及厚度方向上的非線性本構(gòu)。另外，模型中還考慮了割線剛度隨靜水壓力和應(yīng)變狀態(tài)的變化。失效準則包含了基體破壞，纖維扭結(jié)和纖維拉伸破壞三種模式，并且在基體失效判斷中使用了原位強度（In-situ strengths）。

（1）非線性本構(gòu)

他的理論的第一個特點是考慮了非線性本構(gòu)關(guān)系，復(fù)合材料在面內(nèi)面外剪切以及橫向壓縮時，應(yīng)力應(yīng)變曲線是有明顯的非線性特征的。就像下圖所示的。

我們通常的工程分析中，結(jié)構(gòu)所能達到的應(yīng)變水平較低，所以響應(yīng)可以近似看錯是線性的，這也是為什么我們在有限元軟件中輸入剪切模量的時候把剪切模量G12\G13看作是工程常數(shù)的原因，但是在失效分析這種高應(yīng)變水平下，仍然把剪切模量G12\G13看做常數(shù)就不行了。

其中模量是靜水壓力和零靜水壓力狀態(tài)下的割線模量的函數(shù)，

靜水壓力對材料性能的影響

其中靜水壓力只考慮橫向應(yīng)力：

零靜水壓力狀態(tài)下的割線模量又是應(yīng)變狀態(tài)的函數(shù)，而這些都是要考實驗去測量然后做函數(shù)擬合的。

等效應(yīng)變表達式如下：

試驗測得的應(yīng)力應(yīng)變試驗點都是離散點，Pinho采用樣條曲線擬合并做了外延插值。

（2）失效理論

Pinho失效理論將復(fù)合材料失效模式分為Fibre tensile failure（纖維拉伸失效）、Fibre kinking failure（有翻譯做纖維扭折、纖維扭結(jié)的，總之就是沿纖維方向受壓時的破壞模式）以及Matrix failure（基體失效）三類。

• 纖維拉伸失效：

這種失效模式采用的是最簡單的最大應(yīng)力準則，XT就是縱向拉伸強度。

• 基體失效：

基體失效模式判據(jù)參照了Puck準則，也是考慮了斷裂面應(yīng)力及強度，具體表達式如下，

斷面坐標系下的應(yīng)力求解同Puck理論一樣：

摩擦系數(shù)定義如下，51°<a0 <55°，通常取53°，是由大量橫向壓縮試驗測得的斷裂角：

這些都是和Puck理論類似的，主要的區(qū)別在于，Pinho在基體失效判斷中采用了原位強度（原位效應(yīng)）。

原位效應(yīng)認為復(fù)合材料的某些材料強度不能僅僅看作是一種材料性能，更應(yīng)該是一種結(jié)構(gòu)特性，它是受鋪層厚度以及鋪層的相鄰層影響的，層厚以及相鄰層會改變斷裂力學(xué)的邊界條件。再通俗一點講，我們通常力學(xué)分析中的強度值（Xt、Xc、Yt、Yc、S等）是由單向板測試得到的，一般認為這些數(shù)值就是材料的一種固有屬性了，原位效應(yīng)則認為這些材料強度是隨著層厚度以及相鄰層屬性而變化的。

上面四幅圖是四種裂紋的原位效應(yīng)示意圖。（a）裂紋在單向板中；（b）裂紋在薄的外層；（c）裂紋在薄的內(nèi)嵌層（d）裂紋在厚的內(nèi)嵌層。

然后根據(jù)斷裂力學(xué)的理論推導(dǎo)出了四種情況下，幾個強度值的原位強度，列表如下：

然后將原位強度帶入前面所述的基體斷裂公式中進行失效判斷。

• 纖維壓縮失效（Fibre kinking）：

Pinho理論最大的創(chuàng)新點就在于纖維壓縮失效判斷，纖維壓縮失效判斷一直是一個比較難的問題，很多壓潰、沖擊等問題都不可避免會遇到纖維壓縮失效模式，這種問題往往預(yù)測精度奇差，本質(zhì)上還是因為纖維壓縮失效的機理研究的不透徹。

大量的試驗結(jié)果表明，纖維壓縮失效后，可以觀察到扭結(jié)帶（kink band），形成該扭結(jié)帶的原因目前研究的并不是很清晰，一部分研究人員認為，扭結(jié)帶在某種程度上是由纖維微屈曲引起的，另一部分研究人員認為扭結(jié)帶是由的局部基體開裂引起的。

Pinho等人在觀察了T300 / 913扭結(jié)帶形成的過程之后，提出了新的扭結(jié)帶形成機理：他們認為最早的纖維間基體開裂是由于相鄰層失效以后引入的高剪切應(yīng)力造成的，另外局部高剪切應(yīng)力也可能是由于制造缺陷引起的。基體的開裂會進一步推動纖維彎曲，并進一步加劇基體開裂。而 彎曲的纖維最終會由于彎曲應(yīng)力和壓縮應(yīng)力的作用而在兩個端頭相繼斷裂，最終形成紐結(jié)帶。也就是說扭結(jié)帶是由于剪切主導(dǎo)的基體開裂引起的，纖維的微屈曲并不是纖維失效的主導(dǎo)因素。

再進一步的試驗觀察發(fā)現(xiàn)，當縱向壓縮比較顯著時，會形成扭結(jié)帶，但是當縱向壓縮不是很明顯的時候，剪切主導(dǎo)的基體開裂并不會引起扭結(jié)帶，而是形成纖維斷裂（fibre splitting）。

所以Pinho理論中，纖維失效模式是分為Fibre kinking和Fibre splitting兩種子模式的：

也有分開寫得：

這兩種子模式的區(qū)分取決于纖維方向的壓縮應(yīng)力σ1和壓縮強度Xc，當σ1≤-0.5*Xc時，壓縮應(yīng)力顯著，則發(fā)生Fibre kinking的失效模式，當0>σ1≥-0.5*Xc時，壓縮應(yīng)力不明顯，則發(fā)生Fibre splitting失效模式。

在扭結(jié)平面上的應(yīng)力分量表示如下：

然后再進一步變換到纖維拐折的局部坐標系下：

扭結(jié)平面的角度ψ介于[0,180]之間，其求解方法和Puck理論中的斷面角度求解思路相似，均是通過數(shù)值算法求得使失效判據(jù)達到最大值時候?qū)?yīng)的ψ。

至于偏折角φ，它是由初始偏折角φ0以及剪切應(yīng)變累加組成的：

sign是符號函數(shù)，剪切應(yīng)變是剪切應(yīng)力的函數(shù)：

φ0則可以通過下式求解，

γ表示應(yīng)變-應(yīng)力的函數(shù)關(guān)系，如果剪切應(yīng)力應(yīng)變是線性的，上面公式就成了（本段僅為了小編便于大家理解添加的，并非Pinho原始理論公式）：

另外，φc可以通過壓縮強度、剪切強度等計算得出

至此，Pinho理論介紹完畢，還是相當繁瑣的。目前該理論的2D判據(jù)已集成到Abaqus2019中，LS-DYNA中也已集成，感興趣的可以去體驗，自己寫程序還是有些復(fù)雜的。不過，還是之前說過的那句話，目前復(fù)合材料失效理論仍處于蓬勃發(fā)展的階段，沒有哪種理論能適用于所有工況，即使Pinho理論在WWFE-II中某些工況下預(yù)測誤差也是相當大的。

【后記】寫著寫著就剎不住車了，篇幅有些長了，只期把這個復(fù)雜的理論盡量講得清楚些，再過一個小時天就該亮了，睡覺去了，感謝暨南大學(xué)霍冠良同學(xué)整理的部分材料。歡迎大家批評指正，歡迎給復(fù)合材料力學(xué)公眾號投稿，覺得有益歡迎收藏轉(zhuǎn)發(fā)。~~~~~~~~