1 亞里士多德的車輪悖論

如下的木頭輪子，可以將它抽象為兩個(gè)同心圓，大的表示車輪，小的表示車軸：

假設(shè)大圓的半徑為  ，小圓的半徑為  。那么車輪在水平線上（無滑動(dòng)地）滾動(dòng)一圈的話，兩個(gè)圓的底部都會(huì)平移相同的距離，即大圓的周長(zhǎng)  ：

想象大圓、小圓上分別涂上了不同顏色的油漆，車輪滾動(dòng)一圈后，大圓、小圓所接觸的水平線都會(huì)被涂滿油漆，并且這兩段水平線的長(zhǎng)度都為  ：

也就是說，半徑不同的兩個(gè)圓，同步旋轉(zhuǎn)一圈后，輾過的水平長(zhǎng)度都是    ，就常識(shí)而言，這個(gè)結(jié)論非常奇怪。這就是古希臘數(shù)學(xué)家亞里士多德在《論機(jī)械》中提出的車輪悖論：

1638年出版的《論兩種新科學(xué)及其數(shù)學(xué)演化》中，伽利略在其中提到了如何解釋亞里士多德的車輪悖論：

上面的圖像可能有一點(diǎn)抽象，下面用更容易理解點(diǎn)的方式來解釋下伽利略的思考。我們知道，可用正  邊形去近似圓，  越大，越接近于圓：

因?yàn)槎噙呅魏蛨A的這種關(guān)系，所以先來考慮下正六邊形的輪子旋轉(zhuǎn)，雖然這種輪子在水平路面上肯定不舒服。想象這樣的輪子，大六邊形和小六邊形都涂上了不同顏色的油漆，車輪滾動(dòng)一圈后，大六邊形底邊所在水平線涂滿了油漆，而小六邊形所在底邊水平線并沒有涂滿：

正十四邊形更像圓了，同樣的，大十四邊形底邊所在水平線涂滿了油漆，而小十四邊形底邊所在水平線并沒有涂滿：

時(shí)，正多邊形就是圓了。所以伽利略根據(jù)上面的分析，類推得到，大圓底邊所在水平線應(yīng)該涂滿了油漆；而小圓底邊所在水平線并沒有涂滿油漆：該水平線上，無窮多個(gè)點(diǎn)被涂上了油漆，但是點(diǎn)之間有長(zhǎng)度非常非常小的間隔，或者稱為長(zhǎng)度為無窮小的間隔，是沒有涂上油漆的。所以可用虛線來表示小圓經(jīng)過的水平線：

也就是說小圓實(shí)際上沒有輾過水平上的每一個(gè)點(diǎn)，只是輾過了其中的一部分點(diǎn)。這樣，伽利略就回答了亞里士多德的車輪悖論。

1621年，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里：

向伽利略請(qǐng)教了這么一個(gè)問題，可以不可以認(rèn)為線段是由無窮多個(gè)、長(zhǎng)度為無窮小的點(diǎn)構(gòu)成的（這個(gè)問題如果成立的話，意味著可以通過將點(diǎn)累加起來得到線段的長(zhǎng)度，也就是微積分的萌芽。但是承認(rèn)點(diǎn)有長(zhǎng)度也是非常古怪的）：

伽利略也一直在思考類似的問題，他在反復(fù)思考之后，最終從亞里士多德的車輪悖論中得到靈感，說線段是由無窮多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的，而這些點(diǎn)之間夾雜著無窮多個(gè)長(zhǎng)度為無窮小的空白。按照伽利略的這個(gè)設(shè)想，既可以保證線段是由點(diǎn)構(gòu)成的，又可以保證這些點(diǎn)是沒有長(zhǎng)度的，還可以保證線段本身是有長(zhǎng)度的。

當(dāng)然不論是卡瓦列里，還是伽利略的假說，都是充滿矛盾的。雖然當(dāng)時(shí)的人們還不清楚無窮小的嚴(yán)格定義是什么（在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)定義中，無窮小是函數(shù)，或者是數(shù)組，具體的解釋可以查看這里），但是知道，如果無窮小的長(zhǎng)度是某個(gè)確切的實(shí)數(shù)的話，那么無窮多個(gè)長(zhǎng)度為無窮小的點(diǎn)，或者無窮多個(gè)長(zhǎng)度為無窮小的空白加起來，其長(zhǎng)度一定是無窮大，但是線段的長(zhǎng)度很顯然不是無窮大。

由于伽利略對(duì)無窮小的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，所以他對(duì)亞里士多德的車輪悖論解釋是錯(cuò)誤的，下面用物理學(xué)的觀點(diǎn)來解釋一下。如果大圓和小圓都是獨(dú)立滾動(dòng)的，那么都滾動(dòng)一圈的話，確實(shí)大圓應(yīng)該水平移動(dòng)  ，而小圓應(yīng)該水平移動(dòng)  。

但在悖論中，真正獨(dú)立滾動(dòng)的是大圓，小圓是完全被動(dòng)運(yùn)動(dòng)的。所以，悖論中提到小圓的半徑為完全是一種誤導(dǎo)，讓你覺得小圓也在獨(dú)立滾動(dòng)。而實(shí)際上，小圓是在進(jìn)行“滾動(dòng)+滑動(dòng)”的疊加運(yùn)動(dòng)，小圓在水平線上滾動(dòng)一段距離、滑動(dòng)一段距離，最終完成了  的平移。

“滾動(dòng)+滑動(dòng)”的疊加運(yùn)動(dòng)，我們沒有辦法做出圖像，應(yīng)該有點(diǎn)像剛才伽利略的推理，涂上藍(lán)色油漆的部分對(duì)應(yīng)著滾動(dòng)，沒有涂色的地方對(duì)應(yīng)著滑動(dòng)：

拋開物理觀點(diǎn)，還可以從數(shù)學(xué)角度來品味下這個(gè)悖論。在小圓上有無窮多個(gè)點(diǎn)，在水平線上也有無窮多個(gè)點(diǎn)。根據(jù)集合論的觀點(diǎn)，兩個(gè)無窮是一樣多的，因此小圓上的點(diǎn)和水平線上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的（為了避免圖像太亂，下面選了幾個(gè)點(diǎn)作為示意）：

小圓上的點(diǎn)和水平線上的點(diǎn)重合，這就是“輾過”的數(shù)學(xué)定義。那么根據(jù)上面的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，小圓轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小圓上的每個(gè)點(diǎn)都可以找到水平線上一個(gè)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與之重合，也就是說，小圓可以輾過水平線上所有的點(diǎn)。也就是說，只觀察點(diǎn)的話，小圓確實(shí)輾過了整個(gè)水平線。

上面的推斷過程涉及到無窮大的比較，有困惑的同學(xué)可以搜索“希爾伯特旅館悖論”進(jìn)一步的了解。

關(guān)于亞里士多德的車輪悖論，還有這么一種解釋：輪子滾動(dòng)一圈之后，平移了  。作為一個(gè)整體，輪子上的每一點(diǎn)都肯定平移了   。

也就是說，大家不要去考慮什么小圓，不要跟著悖論的思路走，就不會(huì)陷入思維陷阱。

雖然伽利略、卡瓦列里關(guān)于無窮小的思考是錯(cuò)誤的，但他們的嘗試、彼此之間的爭(zhēng)論是數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)力。在一代代數(shù)學(xué)家的努力下，最終微積分才有了嚴(yán)格的定義，成為了現(xiàn)代科學(xué)的基石。

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