什么是參數(shù)方程

　　一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)：

　　并且對(duì)于t的每一個(gè)允許的取值，由方程組確定的點(diǎn)(x, y)都在這條曲線上，那么這個(gè)方程就叫做曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x、y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。相對(duì)而言，直接給出點(diǎn)坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫普通方程。

　　例如在運(yùn)動(dòng)學(xué)，參數(shù)通常是“時(shí)間”，而方程的結(jié)果是速度、位置等。用參數(shù)方程描述運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，常常比用普通方程更為直接簡(jiǎn)便。對(duì)于解決求最大射程、最大高度、飛行時(shí)間或軌跡等一系列問題都比較理想。有些重要但較復(fù)雜的曲線（例如擺線），建立它們的普通方程比較困難，甚至不可能，有了參數(shù)方程，就可以很容易表達(dá)。

直線

空間中的直線

　　空間中兩個(gè)平面的交集是一條直線，如果拋開平面，直線可以看作是點(diǎn)勻速直線運(yùn)動(dòng)的軌跡。

　　通過兩點(diǎn)確定一條直線，此外，已知一點(diǎn)和與直線平行的向量也能確定一條直線。

直線的參數(shù)方程

　　一個(gè)點(diǎn)在空間中勻速直線運(yùn)動(dòng)，它在t = 0和t = 1時(shí)刻經(jīng)過Q₀ = (-1, 2, 2)和Q₁ = (1, 3, -1)兩點(diǎn)，Q(t)是該點(diǎn)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)：

　　如上圖所示，點(diǎn)在t = 0時(shí)刻的位置Q₀ = Q(0) = (-1, 2, 2)，t = 1時(shí)刻的位置Q₁ = Q(1) = (1, 3, -1)，那么在任意t時(shí)刻，Q的位置Q(t)是哪里？

　　現(xiàn)在將問題轉(zhuǎn)換為向量：

　　由于是勻速運(yùn)動(dòng)，所以運(yùn)動(dòng)距離與時(shí)間成正比：

　　隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，向量也將增長(zhǎng)。由于Q(t)是空間內(nèi)的點(diǎn)，所以：

　　這就是該直線的參數(shù)方程，其來源是Q₀Q(t) = tQ₀Q₁

　　如果t = 2，則在該時(shí)刻Q(2) = (3, 5, -4)

直線與平面的關(guān)系

　　上面的兩個(gè)點(diǎn)Q₀ = (-1, 2, 2)和Q₁ = (1, 3, -1)對(duì)于平面x + 2y + 4z = 7來說，位置關(guān)系是什么？在平面的兩側(cè)還是一側(cè)？是否在平面上？

　　將Q₀和Q₁代入平面方程：

　　由此可見Q₀和Q₁不在平面上，它們分屬于平面兩側(cè)，向量Q₀Q₁將穿過平面，與平面有唯一的交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)又是什么？

　　上節(jié)已經(jīng)求得了直線的參數(shù)方程Q(t) = (2t-1, t+2, -3t+2)，直線與平面的交點(diǎn)將滿足：

　　將直線參數(shù)方程代入平面方程也可能出現(xiàn)有無數(shù)解或無解的情況，此時(shí)直線與平面沒有唯一交點(diǎn)，直線可能在平面上或與平面平行。

　　總結(jié)一下，把直線方程Q(t) = (x(t), y(t), z(t))代入平面方程ax + by + c = d，如果能計(jì)算出t的唯一值，直線穿過平面；如果得到一個(gè)等于d的常數(shù)，則直線在平面上；如果得到一個(gè)不等于d的常數(shù)，則直線與平面平行。

曲線

　　對(duì)于平面或空間內(nèi)的任意運(yùn)動(dòng)，同樣可以用參數(shù)方程表示。

擺線的參數(shù)方程

　　擺線是一種有名的曲線，它描述了當(dāng)車輛勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，車輪上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。如下圖所示，P是半徑為a的車輪邊緣上的一點(diǎn)，剛開始時(shí)在原點(diǎn)，當(dāng)車輪向右滾動(dòng)后，P點(diǎn)將隨之轉(zhuǎn)動(dòng)：

　　我們關(guān)注的問題是車輪滾動(dòng)后P的軌跡，也就是t時(shí)刻P點(diǎn)的位置。如果P點(diǎn)是位置關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，用參數(shù)方程可以表示為Q(t) = (x(t), y(t))。這意味著從時(shí)間的角度來表示位置，然而時(shí)間并非最好的參變量，因?yàn)镻的軌跡是與時(shí)間無關(guān)的，即使車速變快，P的運(yùn)動(dòng)軌跡也不會(huì)改變。我們注意到，當(dāng)車輪勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的角度和時(shí)間成正比： 

　　∠θ和運(yùn)動(dòng)時(shí)間成正比，如果θ超過2π，則相當(dāng)于開始了一個(gè)新的周期，對(duì)于角度的運(yùn)算，3π和π是相同的。由此，可以將時(shí)間替換為角度，也就是使用車輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度做參變量將得到更簡(jiǎn)單的答案：

　　將車輪轉(zhuǎn)換為上圖所示的向量(向量可參考《線性代數(shù)筆記2——向量（向量簡(jiǎn)介）》)，則向量OP的參數(shù)方程就可以表示P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

　　由于車輪是沿著地面轉(zhuǎn)動(dòng)，且最初P的位置與O相同，所以在第一圈時(shí)，OA = PA的弧長(zhǎng)（我承認(rèn)在畫圖時(shí)比較隨意，看起來它們并不相等）：

　　實(shí)際上，無論第幾圈，上式都成立。由于已經(jīng)知道了OA和AB的長(zhǎng)度，可以得出相應(yīng)的向量：

　　現(xiàn)在只需要求出向量BP即可。這里并不需要知道點(diǎn)B和點(diǎn)P的坐標(biāo)，由于向量只描述了大小和方向，所以向量和具體位置無關(guān)，因此可以通過將向量BP平移求得BP：

　　最終：

擺線的斜率

　　在車輪滾動(dòng)一圈后，點(diǎn)P回到x軸，開始進(jìn)入下一個(gè)周期，兩個(gè)周期相交于一點(diǎn)。有一個(gè)值得關(guān)注的問題是，如果在該點(diǎn)處作軌跡曲線的切線，切線的斜率是什么？如下圖所示，就是計(jì)算P₅處軌跡曲線的切線：

　　為了簡(jiǎn)化問題，將當(dāng)車輪看作單位圓，此時(shí)a = 1，

　　在P₅處，θ=2π，斜率：

　　此時(shí)沒有意義，但可以計(jì)算極限：

　　因此，在P₅處，斜率趨近于∞，也就是有一條垂直于x軸的切線。

　　也可以使用泰勒展開式計(jì)算斜率（泰勒級(jí)數(shù)可參考《數(shù)學(xué)筆記31——冪級(jí)數(shù)和泰勒級(jí)數(shù)》)：

示例

示例1

　　兩條直線L₁和L₂是否相交，如果相交，其交點(diǎn)是什么？

　　可以用以往的知識(shí)將參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為普通方程：

　　方程組有唯一解，x = 1, y = 2，兩條直線相交于(1, 2)

　　也可以直接用參數(shù)方程求解。如果兩條直線相交，參數(shù)方程組有唯一解：

　　將解代入?yún)?shù)方程：

　　兩條直線相交于(1, 2)

示例2

　　直線L經(jīng)過P(0, -1, 1)和Q(2, 3, 3)兩點(diǎn)，直線與平面2x + y – z = 1的關(guān)系？

　　設(shè)直線方程是L(x(t), y(t), z(t))，則：

　　將L的參數(shù)方程代入平面方程：

　　t有唯一解，指向與平面相交。將t代入直線的參數(shù)方程，交點(diǎn)是(1, 1, 2)