高考要求

導數(shù)是中學限選內容中較為重要的知識，本節(jié)內容主要是在導數(shù)的定義，常用求等公式 四則運算求導法則和復合函數(shù)求導法則等問題上對考生進行訓練與指導

重難點歸納

1 深刻理解導數(shù)的概念，了解用定義求簡單的導數(shù)

表示函數(shù)的平均改變量，它是Δx的函數(shù)，而f′(x₀)表示一個數(shù)值，即f′(x)=，知道導數(shù)的等價形式

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2 求導其本質是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的結構形式轉化為已知極限的形式，即導數(shù)的定義，這是順利求導的關鍵

3 對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則，求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤

4 復合函數(shù)求導法則，像鏈條一樣，必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中的一環(huán) 必須正確分析復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復合而成的，分清其間的復合關系

典型題例示范講解

例1求函數(shù)的導數(shù)

命題意圖 本題3個小題分別考查了導數(shù)的四則運算法則，復合函數(shù)求導的方法，以及抽象函數(shù)求導的思想方法 這是導數(shù)中比較典型的求導類型

知識依托 解答本題的閃光點是要分析函數(shù)的結構和特征，挖掘量的隱含條件，將問題轉化為基本函數(shù)的導數(shù)

錯解分析 本題難點在求導過程中符號判斷不清，復合函數(shù)的結構分解為基本函數(shù)出差錯

技巧與方法 先分析函數(shù)式結構，找準復合函數(shù)的式子特征，按照求導法則進行求導

(2)解 y=μ³,μ=ax－bsin²ωx,μ=av－by

v=x,y=sinγ γ=ωx

y′=(μ³)′=3μ²·μ′=3μ²(av－by)′=3μ²(av′－by′)=3μ²(av′－by′γ′)

=3(ax－bsin²ωx)²(a－bωsin2ωx)

(3)解法一 設y=f(μ),μ=,v=x²+1,則y′_x=y′_μμ′_v·v′_x=f′(μ)·v^－·2x

=f′()··2x =

解法二 y′=［f()］′=f′()·()′

=f′()·(x²+1)·(x²+1)′=f′()·(x²+1) ·2x

=f′()

例2利用導數(shù)求和

(1)S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1(x≠0,n∈N^*)

(2)S_n=C+2C+3C+…+nC,(n∈N^*)

命題意圖 培養(yǎng)考生的思維的靈活性以及在建立知識體系中知識點靈活融合的能力

知識依托 通過對數(shù)列的通項進行聯(lián)想，合理運用逆向思維 由求導公式(xⁿ)′=nx^n－1,可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導數(shù) 關鍵要抓住數(shù)列通項的形式結構

錯解分析 本題難點是考生易犯思維定勢的錯誤，受此影響而不善于聯(lián)想

技巧與方法 第(1)題要分x=1和x≠1討論，等式兩邊都求導

解 (1)當x=1時S_n=1+2+3+…+n=n(n+1);

當x≠1時，∵x+x²+x³+…+xⁿ=,兩邊都是關于x的函數(shù)，求導得

(x+x²+x³+…+xⁿ)′=()′即S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1=

(2)∵(1+x)ⁿ=1+Cx+Cx²+…+Cxⁿ,

兩邊都是關于x的可導函數(shù)，求導得n(1+x)^n－1=C+2Cx+3Cx²+…+nCx^n－1,

令x=1得，n·2^n－1=C+2C+3C+…+nC,即S_n=C+2C+…+nC=n·2^n－1

例3 已知曲線C y=x³－3x²+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(x₀,y₀)(x₀≠0)，求直線l的方程及切點坐標

解 由l過原點，知k=(x₀≠0),點(x₀,y₀)在曲線C上，y₀=x₀³－3x₀²+2x₀,

∴=x₀²－3x₀+2 y′=3x²－6x+2,k=3x₀²－6x₀+2又k=,∴3x₀²－6x₀+2=x₀²－3x₀+2

2x₀²－3x₀=0,∴x₀=0或x₀= 由x≠0,知x₀= ∴y₀=()³－3()²+2·=－

∴k==－ ∴l方程y=－x 切點(，－)

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