§1.0  序  論

一、極限思想的起源以及它的大意

極限是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)起著基礎(chǔ)作用的重要概念，整個(gè)高等數(shù)學(xué)的體系都建立在這一概念基礎(chǔ)之上。

【例1】中國(guó)古代有句古語(yǔ)：一尺之槌，日截其半，永世不竭。

設(shè)原槌之長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)，用  表示第 n 次截取之后所剩下的長(zhǎng)度，則。

顯然，當(dāng)無(wú)限地增大時(shí)， 趨近于零。所謂“永世不竭”，意指它可以無(wú)限地接近于零，但總不會(huì)等于零。對(duì)  的這一變化趨勢(shì)，我們一般采用記號(hào)來表示。

這便是極限雛型，它描述地是當(dāng)  時(shí)，的變化過程。

由于極限是描述變量無(wú)限漸進(jìn)某個(gè)量的變化過程，使得對(duì)這一概念的理解十分困難，容易走入一些奇怪的認(rèn)識(shí)誤區(qū)。

二、認(rèn)識(shí)誤區(qū)

【例2】討論當(dāng)時(shí)，函數(shù)趨近于多少？

因?yàn)?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2020/01/1012/180113341_10_20200110123140642.gif' alt='' src='http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif'>，但。因此，在求極限時(shí)，可以約去非零因子，而得到       。

而對(duì)于，很容易覺察出它的結(jié)果為2，這似乎又讓了，豈不是產(chǎn)生了矛盾?

【例3】( 芝諾悖論 )龜兔相距一個(gè)單位長(zhǎng)，設(shè)烏龜?shù)呐佬兴俣葹?，而兔子的奔跑速度是烏龜速度的2倍，則兔子永遠(yuǎn)也追不上烏龜。其理由是：當(dāng)兔子追到烏龜?shù)牡谝粋€(gè)出發(fā)點(diǎn)時(shí)，烏龜爬行了的距離；當(dāng)兔子追到烏龜?shù)牡诙€(gè)起點(diǎn)時(shí)，烏龜又爬行了距離，…，如此下去。

這一悖論十分地迷惑人，但如果是考慮龜兔賽跑的時(shí)間，不難發(fā)現(xiàn)這一悖論的錯(cuò)誤。

最初龜兔之間的相距

第一段路程兔子所用時(shí)間為，龜兔之間還相距

第二段路程兔子所用時(shí)間為，龜兔之間還相距

………

第n段路程兔子所用的時(shí)間為，龜兔之間還相距

前n段路程兔子所用時(shí)間的總和為

顯然，當(dāng)時(shí)，，這表明兔子追不上烏龜是指在單位時(shí)間內(nèi)追不上，并非永遠(yuǎn)追不上。

在這一悖論中，正是由于存在著“龜兔之間的距離  無(wú)限地趨近于零，但總達(dá)不到零”這一認(rèn)識(shí)上的難點(diǎn)，使得它容易迷惑人。

三、極限思想在數(shù)學(xué)史上所取得的成就

在初等數(shù)學(xué)中，往往只研究變量的狀態(tài)性質(zhì)（靜態(tài)的性質(zhì)），而極限是研究變量變化過程中的一種變化趨勢(shì)（動(dòng)態(tài)的性質(zhì)）。因此，極限思想幫助我們解決了許多初等數(shù)學(xué)無(wú)法解決的問題，獲得了一些令人激動(dòng)不已的結(jié)果，使數(shù)學(xué)進(jìn)入了一個(gè)輝煌的時(shí)期。

下面我們僅舉兩例，展示極限的應(yīng)用方法及應(yīng)用成就。

【例4】( 劉徽割圓術(shù) )求半徑為 r 的圓面積A。

正多邊形的面積公式為 ， 是正多邊形的周長(zhǎng)， 是邊心距。

如下圖所示，考慮圓的內(nèi)接與外接正多邊形的面積，n表示正多邊形的邊數(shù)。

顯然有： ，而

直觀上，當(dāng)n無(wú)限地增大時(shí)，正多邊形的面積無(wú)限地趨近于圓的面積。利用著名數(shù)學(xué)軟件Matlab，編寫了動(dòng)畫程序gs0101.m，運(yùn)行該程序，可更直觀地了解到這一點(diǎn)。

由著名的極限

我們可得到圓的面積公式

【例5】( 阿基米德窮竭法 ) 求由拋物線 軸及直線  所圍成的圖形的面積。

在 x 軸上從0到1的那一段區(qū)間上插入n+1個(gè)等分點(diǎn)

過這些點(diǎn)作平行于 y 軸的直線段，它們將圖形劃分成了n個(gè)“狹窄”的豎條，把這些“狹窄豎條”近似地看作“矩形豎條”，可求出它們面積的近似值

原圖形面積可以用階梯形的面積之和來近似地表示

顯然，當(dāng) n 愈來愈大時(shí)（即：圖形分劃出的豎條越來越狹窄），這個(gè)近似值就越來越接近原圖形面積的真實(shí)值。也就是說，原圖形面積值為

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