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作者：董文輝 本文長(zhǎng)度為4500字，建議閱讀10+分鐘 本文為你總結(jié)常見(jiàn)損失函數(shù)和評(píng)價(jià)指標(biāo)。 注：本文采用markdown進(jìn)行編寫(xiě)，用markdown打開(kāi)可得更佳展示效果～ ## 1. 損失函數(shù)： ### 1.1 回歸問(wèn)題： #### 1. 平方損失函數(shù)（最小二乘法）： $$L(Y,f(x)) = \sum_{i=1}^n(Y-f(X))^2$$ 回歸問(wèn)題中常用的損失函數(shù)，在線性回歸中，可以通過(guò)極大似然估計(jì)（MLE）推導(dǎo)。計(jì)算的是預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間距離的平方和。實(shí)際更常用的是**均方誤差（MSE）**： $$L(Y,f(x)) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^n(Y-f(X))^2$$ #### 2 平均絕對(duì)值誤差（L1）-- MAE： $$L(Y,f(x)) = \sum_{i=1}^n|Y-f(X)|$$ MAE是目標(biāo)值和預(yù)測(cè)值之差的**絕對(duì)值之和**，可以用來(lái)衡量預(yù)測(cè)值和真實(shí)值的距離。**但是它不能給出，模型的預(yù)測(cè)值是比真實(shí)值小還是大。** #### 3 MAE（L1） VS MSE（L2）： * **MSE計(jì)算簡(jiǎn)便，但MAE對(duì)異常點(diǎn)有更好的魯棒性:** 當(dāng)數(shù)據(jù)中存在異常點(diǎn)時(shí)，用RMSE計(jì)算損失的模型會(huì)以犧牲了其他樣本的誤差為代價(jià)，朝著減小異常點(diǎn)誤差的方向更新。然而這就會(huì)降低模型的整體性能。 >直觀上可以這樣理解：如果我們最小化MSE來(lái)對(duì)所有的樣本點(diǎn)只給出一個(gè)預(yù)測(cè)值，那么這個(gè)值一定是所有目標(biāo)值的平均值。但如果是最小化MAE，那么這個(gè)值，則會(huì)是所有樣本點(diǎn)目標(biāo)值的中位數(shù)。眾所周知，對(duì)異常值而言，中位數(shù)比均值更加魯棒，因此MAE對(duì)于異常值也比MSE更穩(wěn)定。 * **NN中MAE更新梯度始終相同，而MSE則不同**： MSE損失的梯度隨損失增大而增大，而損失趨于0時(shí)則會(huì)減小。 * **Loss選擇建議：** * **MSE：** 如果異常點(diǎn)代表在商業(yè)中很重要的異常情況，并且需要被檢測(cè)出來(lái)。 * **MAE：** 如果只把異常值當(dāng)作受損數(shù)據(jù)。 #### 4. Huber損失： $$ L_{\delta}(y, f(x))=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{2}(y-f(x))^{2}} & {\text { for }|y-f(x)| \leq \delta} \\ {\delta|y-f(x)|-\frac{1}{2} \delta^{2}} & {\text { otherwise }}\end{array}\right. $$ Huber損失是絕對(duì)誤差，只是在誤差很小時(shí)，就變?yōu)槠椒秸`差。當(dāng)Huber損失在$[0-\delta,0+\delta]$之間時(shí)，等價(jià)為MSE，而在$[-∞,\delta]$和$[\delta,+∞]$時(shí)為MAE。 ### 1.2 分類問(wèn)題： #### 1. LogLoss： $$ J(\theta)=-\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left[y^{(i)} \log h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)+\left(1-y^{(i)}\right) \log \left(1-h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)\right)\right] $$ **二分類**任務(wù)中常用的損失函數(shù)，在LR中，通過(guò)對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)得到。也就是**交叉熵**損失函數(shù)。 #### 2. 指數(shù)損失函數(shù)： $$L(y,f(x)) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^n{exp[-y_if(x_i)]}$$ 在AdaBoost中用到的損失函數(shù)。 ## 2.評(píng)價(jià)指標(biāo)： 如何評(píng)估機(jī)器學(xué)習(xí)算法模型是任何項(xiàng)目中一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)。分類問(wèn)題一般會(huì)選擇準(zhǔn)確率（Accuracy）或者AUC作為metric，回歸問(wèn)題使用MSE，但這些指標(biāo)并不足以評(píng)判一個(gè)模型的好壞，接下來(lái)的內(nèi)容我將盡可能包括各個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)。上述損失函數(shù)大部分可以直接作為評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)使用，上面出現(xiàn)過(guò)的簡(jiǎn)單介紹。 ### 2.1 回歸問(wèn)題： **1. MAE： ** 平均絕對(duì)誤差（Mean Absolute Error），范圍 $[0,+∞)$ $$ MAE=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left|\hat{y}_{i}-y_{i}\right| $$ **2. MSE： ** 均方誤差（Mean Square Error），范圍 $[0,+∞)$ $$ MSE=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\hat{y}_{i}-y_{i}\right)^{2} $$ **3. RMSE： ** 根均方誤差（Root Mean Square Error），范圍 $[0,+∞)$ $$ RMSE =\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\hat{y}_{i}-y_{i}\right)^{2}} $$ 取均方誤差的平方根可以使得量綱一致，這對(duì)于描述和表示是有意義的。 **4. MAPE： ** 平均絕對(duì)百分比誤差（Mean Absolute Percentage Error） $$ MAPE=\frac{100 \%}{n} \sum_{i=1}^{n}\left|\frac{\hat{y}_{i}-y_{i}}{y_{i}}\right| $$ **注意點(diǎn)**：當(dāng)真實(shí)值有數(shù)據(jù)等于0時(shí)，存在分母0除問(wèn)題，該公式不可用！ **5. SMAPE： ** 對(duì)稱平均絕對(duì)百分比誤差（Symmetric Mean Absolute Percentage Error） $$ SMAPE=\frac{100 \%}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{\left|\hat{y}_{i}-y_{i}\right|}{\left(\left|\hat{y}_{i}\right|+\left|y_{i}\right|\right) / 2} $$ **注意點(diǎn)：** 真實(shí)值、預(yù)測(cè)值均等于0時(shí)，存在分母為0，該公式不可用！ **6. R Squared:** $$ R^{2}=1-\frac{\sum_{i}\left(\hat{y}^{(i)}-y^{(i)}\right)^{2}}{\sum_{i}\left(\bar{y}-y^{(i)}\right)^{2}} $$ $R^2$即**決定系數(shù)（Coefficient of determination）**，被人們稱為最好的衡量線性回歸法的指標(biāo)。 如果我們使用同一個(gè)算法模型，解決不同的問(wèn)題，由于不同的數(shù)據(jù)集的量綱不同，MSE、RMSE等指標(biāo)不能體現(xiàn)此模型針對(duì)不同問(wèn)題所表現(xiàn)的優(yōu)劣，也就無(wú)法判斷模型更適合預(yù)測(cè)哪個(gè)問(wèn)題。$R^2$得到的性能度量都在[0, 1]之間，可以判斷此模型更適合預(yù)測(cè)哪個(gè)問(wèn)題。 **公式的理解：** 1. 分母代表baseline（平均值）的誤差，分子代表模型的預(yù)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生的誤差； 2. 預(yù)測(cè)結(jié)果越大越好，$R^2$為1說(shuō)明完美擬合，$R^2$為0說(shuō)明和baseline一致； **7. 代碼實(shí)現(xiàn)：** ```python # coding=utf-8 import numpy as np from sklearn import metrics # MAPE和SMAPE需要自己實(shí)現(xiàn) def mape(y_true, y_pred): return np.mean(np.abs((y_pred - y_true) / y_true)) * 100 def smape(y_true, y_pred): return 2.0 * np.mean(np.abs(y_pred - y_true) / (np.abs(y_pred) + np.abs(y_true))) * 100 y_true = np.array([1.0, 5.0, 4.0, 3.0, 2.0, 5.0, -3.0]) y_pred = np.array([1.0, 4.5, 3.5, 5.0, 8.0, 4.5, 1.0]) # MSE print(metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred)) # 8.107142857142858 # RMSE print(np.sqrt(metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred))) # 2.847304489713536 # MAE print(metrics.mean_absolute_error(y_true, y_pred)) # 1.9285714285714286 # MAPE print(mape(y_true, y_pred)) # 76.07142857142858 # SMAPE print(smape(y_true, y_pred)) # 57.76942355889724 # R Squared print(r2_score(y_true, y_pred)) ``` ### 2.2 分類問(wèn)題： #### 0. Confusion Matrix（混淆矩陣）： 混淆矩陣一般不直接作為模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)，但是他是后續(xù)多個(gè)指標(biāo)的基礎(chǔ)。以下為二分類的混淆矩陣，多分類的混淆矩陣和這個(gè)類似。 | |預(yù)測(cè)正例| 預(yù)測(cè)反例| |--|--|--| |真實(shí)正例|TP（真正例）| FN（假反例）| |真實(shí)反例|FP（假正例）|TN（真反例）| 我們訓(xùn)練模型的目的是為了降低FP和FN。很難說(shuō)什么時(shí)候降低FP，什么時(shí)候降低FN?；谖覀儾煌男枨螅瑏?lái)決定降低FP還是FN。 * **降低假負(fù)數(shù)例（FN）**： 假設(shè)在一個(gè)癌癥檢測(cè)問(wèn)題中，每100個(gè)人中就有5個(gè)人患有癌癥。在這種情況下，即使是一個(gè)非常差的模型也可以為我們提供95％的準(zhǔn)確度。但是，為了捕獲所有癌癥病例，當(dāng)一個(gè)人實(shí)際上沒(méi)有患癌癥時(shí)，我們可能最終將其歸類為癌癥。因?yàn)樗炔蛔R(shí)別為癌癥患者的危險(xiǎn)要小，因?yàn)槲覀兛梢赃M(jìn)一步檢查。但是，錯(cuò)過(guò)癌癥患者將是一個(gè)巨大的錯(cuò)誤，因?yàn)椴粫?huì)對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步檢查。 * **降低假正例（FP）**： 假設(shè)在垃圾郵件分類任務(wù)中，垃圾郵件為正樣本。如果我們收到一個(gè)正常的郵件，比如某個(gè)公司或?qū)W校的offer，模型卻識(shí)別為垃圾郵件（FP），那將損失非常大。所以在這種任務(wù)中，需要盡可能降低假正例。 #### 1. Accuracy（準(zhǔn)確率）： $$ Acc=\frac{T P+T N}{T P+T N+F P+F N} $$ 準(zhǔn)確率也就是在所有樣本中，有多少樣本被預(yù)測(cè)正確。 當(dāng)樣本類別均衡時(shí)，Accuracy是一個(gè)很好的指標(biāo)。 但在樣本不平衡的情況下，產(chǎn)生效果較差。假設(shè)我們的訓(xùn)練數(shù)據(jù)中只有2%的正樣本，98%的負(fù)樣本，那么如果模型全部預(yù)測(cè)為負(fù)樣本，準(zhǔn)確率便是98%,。分類的準(zhǔn)確率指標(biāo)很高，會(huì)給我們一種模型很好的假象。 #### 2. Precision（精準(zhǔn)率）： $$ P=\frac{T P}{T P+F P} $$ **含義：** 預(yù)測(cè)為正例的樣本中有多少實(shí)際為正； #### 3. Recall（召回率）： $$ R=\frac{T P}{T P+F N} $$ **含義：** 實(shí)際為正例的樣本有多少被預(yù)測(cè)為正； #### 4. P-R曲線： 通過(guò)選擇不同的閾值，得到Recall和Precision，以Recall為橫坐標(biāo)，Precision為縱坐標(biāo)得到的曲線圖。 **PR曲線性質(zhì)：** * 如果一個(gè)學(xué)習(xí)器的P-R曲線被另一個(gè)學(xué)習(xí)器的曲線完全包住，后者性能優(yōu)于前者; * 如果兩個(gè)學(xué)習(xí)器的曲線相交，可以通過(guò)平衡點(diǎn)的來(lái)度量性能，它是“查準(zhǔn)率=查全率”時(shí)的取值； * **閾值為0時(shí)**：$TP=0 => Precision=0，Recall=0$ 所以PR 曲線經(jīng)過(guò) **(0,0)點(diǎn)**； * **閾值上升**： * **Recall**：不斷增加，因?yàn)樵絹?lái)越多的樣本被劃分為正例； * **Precision：** 震蕩下降，不是嚴(yán)格遞減； * 如果有個(gè)劃分點(diǎn)可以把正負(fù)樣本完全區(qū)分開(kāi)，那么P-R曲線面積是1*1； #### 5. $F_{\beta }$（加權(quán)調(diào)和平均）和 $F_1$（調(diào)和平均）: $$F_{\beta }=\frac{(1+\beta ^{2})*P*R}{(\beta ^{2}*P)+R}$$ * $\beta >1$：召回率（Recall）影響更大，eg.$F_2$ * $\beta <1$：精確率（Precision）影響更大，eg.$F_{0.5}$ $\beta$為1的時(shí)候得到$F_1$： $$F_{1}=\frac{2*P*R}{P+R}$$ 調(diào)和平均亦可推出： $$\frac{1}{F_{1}}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{R}+\frac{1}{P})$$ #### 6. ROC-AUC： **Area Under Curve(AUC)** 是**二分類**問(wèn)題中使用非常廣泛的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)。**AUC的本質(zhì)是，任取一個(gè)正樣本和負(fù)樣本，模型輸出正樣本的值大于負(fù)樣本值的概率**。構(gòu)成AUC的兩個(gè)基本指標(biāo)是假正例率和真正例率。 * **橫軸-假正例率：** 實(shí)際為負(fù)的樣本多少被預(yù)測(cè)為正； $$FPR=\frac{FP}{TN+FP}$$ * **縱軸-真正例率：** 實(shí)際為正的樣本多少被預(yù)測(cè)為正； $$TPR=\frac{TP}{TP+FN}$$ TPR和FPR的范圍均是[0,1]，通過(guò)選擇不同的閾值得到TPR和FPR，然后繪制ROC曲線。 **曲線性質(zhì)：** 1. 閾值最大時(shí)，對(duì)應(yīng)**坐標(biāo)點(diǎn)為(0,0)**,閾值最小時(shí)，對(duì)應(yīng)**坐標(biāo)點(diǎn)(1,1)**； 2. ROC曲線越靠近左上角，該分類器的性能越好； 3. 對(duì)角線表示一個(gè)隨機(jī)猜測(cè)分類器； 4. 若一個(gè)學(xué)習(xí)器的ROC曲線被另一個(gè)學(xué)習(xí)器的曲線完全包住，后者性能優(yōu)于前者； **AUC：**ROC曲線下的面積為AUC值。 #### 7. 代碼實(shí)現(xiàn)： ```python from sklearn.metrics import accuracy_score,precision_score,recall_score,f1_score,fbeta_score y_test = [1,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0] y_pred = [1,1,1,0,1,1,0,1,1,1,0] print('準(zhǔn)確率為:{0:%}'.format(accuracy_score(y_test, y_pred))) print('精確率為:{0:%}'.format(precision_score(y_test, y_pred))) print('召回率為:{0:%}'.format(recall_score(y_test, y_pred))) print('F1分?jǐn)?shù)為:{0:%}'.format(f1_score(y_test, y_pred))) print('Fbeta為:{0:%}'.format(fbeta_score(y_test, y_pred,beta =1.2))) ``` ### 參考資料： [1. 分類問(wèn)題性能評(píng)價(jià)指標(biāo)詳述] (https://blog.csdn.net/foneone/article/details/88920256) [2.AUC，ROC我看到的最透徹的講解] (https://blog.csdn.net/u013385925/article/details/80385873) [3.機(jī)器學(xué)習(xí)大牛最常用的5個(gè)回歸損失函數(shù)，你知道幾個(gè)？] (https://www./articles/2018-06-21-3) [4.機(jī)器學(xué)習(xí)-損失函數(shù)] (https://www./2016/03/26/2016-03-26-loss-function/) [5.損失函數(shù)jupyter notebook] (https://nbviewer./github/groverpr/Machine-Learning/blob/master/notebooks/05_Loss_Functions.ipynb) [6.L1 vs. L2 Loss function] (http://rishy./ml/2015/07/28/l1-vs-l2-loss/) [7. P-R曲線深入理解] (https://blog.csdn.net/b876144622/article/details/80009867) 編輯：于騰凱 校對(duì)：林亦霖 作者簡(jiǎn)介 董文輝，電子科技大學(xué)碩士，主要研究方向：推薦系統(tǒng)、自然語(yǔ)言處理和金融風(fēng)控。希望能將算法應(yīng)用在更多的行業(yè)中。 —完— |
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來(lái)自： taotao_2016 > 《物理》
