正如太陽(yáng)之以其光芒使眾星失色，學(xué)者也以其能提出代數(shù)問(wèn)題而使?jié)M座高朋遜色，若其能給予解答則將使儕輩更為相形見絀?！帕_摩笈多（Brahmagupta）

古印度桑奇大塔

一、早期印度數(shù)學(xué)

在數(shù)學(xué)史上，希臘人的后繼者是印度人。雖然印度的數(shù)學(xué)只是在受到希臘數(shù)學(xué)成就的影響后才頗為客觀，但他們也有早期具有本地特色的數(shù)學(xué)。

印度文明可遠(yuǎn)溯到公元前2000年，但據(jù)今日所知，他們?cè)诠?00年是沒(méi)有數(shù)學(xué)的。在公元前800年到公元200年的繩法經(jīng)（?ulvasūtra）時(shí)期（也稱吠陀時(shí)期），印度人創(chuàng)造出一些原始數(shù)學(xué)。他們沒(méi)有專門記載數(shù)學(xué)的文件，但我們可以從其他著述中，從錢幣和銘文中，掇拾出少量有關(guān)數(shù)學(xué)的事實(shí)。

大約在公元前3世紀(jì)左右，出現(xiàn)了數(shù)的記號(hào)，但每個(gè)世紀(jì)都有相當(dāng)大的變動(dòng)。典型的是婆羅米（Brahmi）式記號(hào)：

這一組記號(hào)的出色之處是它給從1到9的每個(gè)數(shù)都有單獨(dú)的記號(hào)。這里還沒(méi)有零和進(jìn)位記法。這種寫法也許是由于以該數(shù)名稱的第一個(gè)字母來(lái)代替它而產(chǎn)生的。

有一類宗教經(jīng)文叫繩法經(jīng)，內(nèi)含修筑祭壇的法則。在公元前4或5世紀(jì)的一部繩法經(jīng)里給出了√2的近似值，但不確定他們是否知道這僅僅是近似值。

繩法經(jīng)中的法則規(guī)定了祭壇形狀和尺寸所應(yīng)滿足的條件。最常用的三種形狀是方、圓和半圓，但不管用哪種形狀，祭壇面積必須相等。因此印度人要作出與正方形等面積的圓，或兩倍于正方形面積的圓。另外一種形狀是等腰梯形，并且這里可用相似形。因此在作相似形的時(shí)候會(huì)引起新的幾何問(wèn)題。

在設(shè)計(jì)這種規(guī)定形狀的祭壇時(shí)，印度人必須懂得一些基本的幾何事實(shí)，例如對(duì)畢達(dá)哥拉斯定理，他們是這樣說(shuō)的：“矩形對(duì)角線生成的面積[正方形]等于矩形兩邊各自生成的兩塊面積之和?！边@段時(shí)期的幾何是一些不相連貫的用文字表達(dá)的求面積和體積的近似法則。公元前4或5世紀(jì)的阿帕斯塔姆巴（Apastamba）給出一個(gè)作圓等于正方形面積（即化方為圓）的方法，他實(shí)際上是取圓周率等于3.088，但他認(rèn)為這作圖法是準(zhǔn)確的。在這早期的全部幾何里沒(méi)有證明，法則都是經(jīng)驗(yàn)性的。

其作法是這樣的（上圖）：從已知正方形的中心O向邊AB引垂線OP，使OP等于正方形對(duì)角線之半，并交AB于H。

二、公元200—1200年時(shí)期印度的算術(shù)和代數(shù)

印度數(shù)學(xué)的第二段時(shí)期（高潮時(shí)期）大致可以說(shuō)是從公元200到1200年。這時(shí)期的第一階段，亞歷山大的文明肯定對(duì)印度有影響。公元500年左右的一位印度天文學(xué)家瓦拉哈米希拉（Varāhamihira）說(shuō)：“希臘人雖不純正（凡信仰不同的人都是不純正的）但必須受到崇敬，因他們對(duì)科學(xué)訓(xùn)練有素并在這方面超過(guò)他人。那么對(duì)于一個(gè)既純正而又有科學(xué)高見的婆羅門又該怎么說(shuō)呢？”印度人的幾何肯定是從希臘來(lái)的，但他們?cè)谒阈g(shù)上確有特殊的才能。至于代數(shù)他們也許是從亞歷山大襲取的，并且可能直接得自巴比倫，但在這方面他們也按自己的道路走得相當(dāng)遠(yuǎn)。印度從中國(guó)方面也頗有借鑒之處。

第二階段中最重要的數(shù)學(xué)家是阿耶波多（āryabhata，生于476年）、婆羅摩笈多（生于598年）、馬哈維拉（Mahāvīra，9世紀(jì)）和婆什迦羅（Bhāskara，生于1114年）。他們以及其他印度數(shù)學(xué)家的大部分工作一般是為了研究天文和占星術(shù)而產(chǎn)生的。事實(shí)上他們沒(méi)有寫專門的數(shù)學(xué)書，數(shù)學(xué)材料是夾在天文著作的篇章里講述的。

公元600年之前，印度人寫數(shù)的方法很多，有的甚至用字和音節(jié)來(lái)表示數(shù)。600年他們又回到較老的婆羅門式記號(hào)，但這些記號(hào)的確切形式在整個(gè)時(shí)期內(nèi)是不定的。以10為底的進(jìn)位記法已經(jīng)在有限范圍內(nèi)使用了約一百年，到這時(shí)就通用了。早先亞歷山大希臘人只用0來(lái)表示哪一位上沒(méi)有數(shù)，如今在印度人那里0被看成是一個(gè)完全的數(shù)了。馬哈維拉說(shuō)一數(shù)乘以0得0，并說(shuō)減去0并不使一數(shù)變小。但他又說(shuō)一數(shù)除以0后不變。婆什迦羅在談到分母為0的分?jǐn)?shù)時(shí)，說(shuō)不管加減多少，這個(gè)分?jǐn)?shù)是不變的，正如萬(wàn)世不易的神不會(huì)因世界的創(chuàng)生和毀滅而有所改變。他又說(shuō)一數(shù)除以0稱為無(wú)窮量。

天文上的分?jǐn)?shù)，印度人用60進(jìn)制。其它方面的分?jǐn)?shù)用整數(shù)之比來(lái)表示，但沒(méi)有用橫線，只是兩個(gè)整數(shù)上下排列。馬哈維拉還給出我們今日的除以分?jǐn)?shù)的法則：把分?jǐn)?shù)顛倒相乘。他給出的組合數(shù)公式在當(dāng)時(shí)是領(lǐng)先的。

印度人引用負(fù)數(shù)來(lái)表示負(fù)債。最早用負(fù)數(shù)的是628年左右的婆羅摩笈多，他又提出了負(fù)數(shù)的四種運(yùn)算，同時(shí)是第一個(gè)解出佩爾方程 的數(shù)學(xué)家，并提出了婆羅摩笈多定理。

婆什迦羅指出正數(shù)的平方根有兩個(gè)，一正一負(fù)。他也提到負(fù)數(shù)的平方根的問(wèn)題，但說(shuō)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，因?yàn)樨?fù)數(shù)不能是平方數(shù)。他們沒(méi)有給出定義、公理或定理。

印度人在算術(shù)上采取的另一重大步驟是正視了無(wú)理數(shù)問(wèn)題，就是說(shuō)他們開始按正確步驟來(lái)運(yùn)算這些數(shù)。例如婆什迦羅說(shuō)：“兩個(gè)無(wú)理數(shù)之和叫做較大的無(wú)理數(shù)；而其乘積的兩倍叫做較小的。它們的和與差是照整數(shù)那樣來(lái)算的?！比缓笏赋鲈鯓影褵o(wú)理數(shù)相加：

其一般原理是：

其中無(wú)理數(shù)被當(dāng)作具有整數(shù)那種性質(zhì)的數(shù)來(lái)對(duì)待。

婆什迦羅又給出兩個(gè)無(wú)理數(shù)相加的法則：“較大的無(wú)理數(shù)除以較小的，所得之商開方，再加1，和數(shù)取平方，然后乘以較小的無(wú)理數(shù)，其根即為兩無(wú)理數(shù)之和?！崩?/p>

印度人不像希臘人那樣細(xì)致，因?yàn)樗麄兛床怀鰺o(wú)理數(shù)概念所牽涉的邏輯難點(diǎn)。他們對(duì)計(jì)算的興趣使他們忽視了哲學(xué)上的區(qū)別或希臘人認(rèn)為屬于基本的那些原理上的區(qū)別。他們隨著興致所至把適用于有理數(shù)的運(yùn)算步驟用到無(wú)理數(shù)上去，卻幫助數(shù)學(xué)取得了進(jìn)展。此外，他們的整個(gè)算術(shù)是完全獨(dú)立于幾何的。

印度人用縮寫文字和一些記號(hào)來(lái)描述運(yùn)算。這套記號(hào)雖然不多，但足夠使印度代數(shù)幾乎稱得上是符號(hào)性的代數(shù)，并且符號(hào)肯定比丟番圖的縮寫代數(shù)用得多。他們的問(wèn)題和解答都是用這種半符號(hào)方式寫出的，但只寫出運(yùn)算步驟，沒(méi)有隨即說(shuō)明理由或證明。

印度人認(rèn)識(shí)到二次方程有兩個(gè)根，而且包括負(fù)根和無(wú)理根。

在不定方程方面印度人超過(guò)了丟番圖。這種方程出現(xiàn)在天文問(wèn)題里，它們的解就是某些星座出現(xiàn)于天空的時(shí)間。印度人要求出所有的整數(shù)解，而丟番圖則得出一個(gè)有理的解。求ax± by = c（a、b、c是正整數(shù)）的整數(shù)解的方法是阿耶波多最先提出并由他的后繼者加以改進(jìn)的。它和現(xiàn)代方法一樣。

阿耶波多，印度第一顆人造衛(wèi)星以他命名

考察ax + by = c。若a及b有公因子m，而m又不能除盡c，那就不可能有整數(shù)解。若a、b及c有公因子，就把它約去。由此，我們只要考慮a與b互質(zhì)的情形就行了。

假設(shè)a > b，用歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法求最大公因子，有a = a1b + r，此處a1為商而r為余數(shù)。因此a/b = a1 + r /b。這又可寫為：a /b = a1 + 1/ (b /r)。

第二步是以r除b，于是b = a2r+ r1，或b /r = a2+ r1/r。代入上式，便可寫成：

繼續(xù)做歐幾里得算法，得所謂連分?jǐn)?shù)：

這個(gè)步驟在a<b時(shí)也可用，這時(shí)a1是零，而以后各步仍照以前那樣往下做。取到第n個(gè)商為止的連分?jǐn)?shù)，叫做第n個(gè)收斂子。若a和b是整數(shù)，則連分?jǐn)?shù)是有盡頭的，故有一收斂子正好在a/b的準(zhǔn)確表達(dá)式的前面。若p /q是這收斂子的值，則可證：aq-bp=±1。

考察上式中取正值的情形。回到原來(lái)的不定方程，可寫：ax + by = c (aq - bp)。

整理各項(xiàng)后，得：(cq - x) /b = (y + cp) /a。

若以t代表上述分?jǐn)?shù)，得：x = cq - bt，y = at - cp。

現(xiàn)在給t指定整數(shù)值，由于其他所有的量都是整數(shù)，這樣就可以得出x和y的整數(shù)值。

印度人也研究二次不定方程。他們解出了y2=ax2+1（其中a不是平方數(shù)）這種類型的方程，并可看出這種類型對(duì)處理cy2=ax2+b很重要。所用的方法太特殊，不值得在這里介紹。

1881年在巴基斯坦發(fā)現(xiàn)的巴克沙利手稿

他們常把數(shù)學(xué)問(wèn)題用故事或詩(shī)歌的形式提出來(lái)，或夾雜在歷史讀物中。目的可能是幫助記憶，因?yàn)槠帕_門的老習(xí)慣是把事情記在心上而盡可能避免寫在紙上。代數(shù)被用在普通商業(yè)問(wèn)題上——算利息、折扣、合股分紅、財(cái)產(chǎn)劃分，但主要的用途是在天文上。

三、公元200—1200年時(shí)期印度的幾何與三角

這段時(shí)期的幾何沒(méi)有什么出色的進(jìn)展，它不過(guò)是些求面積和體積的公式（有的正確，有的不正確）。他們的圓周率一般是不正確的，常常用來(lái)代替圓周率，但有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)較好的值3.1416。他們給出任一四邊形面積的公式為

其中s是半周長(zhǎng)，abcd是圓內(nèi)接四邊形的邊長(zhǎng)。他們沒(méi)有給出幾何證明，總的來(lái)說(shuō)他們對(duì)幾何是不大注意的。

印度人在三角術(shù)方面作出了一些推進(jìn)。托勒密曾用弧的弦，以直徑的120等分為單位來(lái)作計(jì)算。瓦拉哈米希拉采用半徑的120等分作為單位，因此托勒密的弦長(zhǎng)表變成他的半弦長(zhǎng)表，但對(duì)應(yīng)的仍是全弧。他引入正弦概念，制作了世界上第一張正弦函數(shù)表。

阿耶波多作了兩項(xiàng)改革。第一，他把半弦與全弦所對(duì)弧的一半相對(duì)應(yīng)；印度人對(duì)正弦的這種觀點(diǎn)為以后所有印度數(shù)學(xué)家所采用。第二，他把半徑的3438等分作為單位。這個(gè)數(shù)來(lái)自：他把圓周的360·60等分定為單位（整個(gè)圓周所含的分），然后用C=2πr，而取π的近似值為3.14。這樣在阿耶波多的三角方案里，30°弧的正弦（即對(duì)應(yīng)30°弧的半根弦之長(zhǎng)）是1719。印度人也用余弦，但較常用的是取其余弧的正弦。他們還采用正矢即1-cos θ。

值得注意的是印度人用代數(shù)形式的恒等式而不像托勒密那樣用幾何論證，并且是利用代數(shù)關(guān)系來(lái)作算術(shù)計(jì)算的。這種做法原則上和今天一樣。

印度的所有三角術(shù)幾乎全是天文學(xué)的副產(chǎn)品。他們的標(biāo)準(zhǔn)天文著作有4世紀(jì)的《太陽(yáng)系S?rya Siddhanta》和6世紀(jì)阿耶波多著的《阿耶波多歷數(shù)書āryabhatiya》。主要著作是1150年婆什迦羅寫的《天文系統(tǒng)極致Siddhānta Siromani》，其中有兩章叫“論美Līlāvatī”和“論求根Vīja-ganita”，是討論算術(shù)和代數(shù)的。

婆什迦羅《論美》

印度人繼續(xù)做古希臘人在算術(shù)天文上的小部分工作（源于巴比倫），這就是通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)的外推來(lái)預(yù)報(bào)行星和月球的位置。印度人甚至在圓心、分（1度的1/60）和其他用語(yǔ)上都是從希臘字直譯過(guò)來(lái)的。印度人不太關(guān)心均輪和周轉(zhuǎn)圓那一套理論，但他們確實(shí)提出了大地呈球形的學(xué)說(shuō)。

到1200年左右印度科學(xué)活動(dòng)衰落了，數(shù)學(xué)上的進(jìn)展停止了。

綜上所述，印度人注重?cái)?shù)學(xué)的算術(shù)和計(jì)算方面，但不甚重視演繹結(jié)構(gòu)。他們稱數(shù)學(xué)為ganita，意思就是“（計(jì)）算（科）學(xué)”。他們有許多好方法和計(jì)算技巧，但未曾發(fā)現(xiàn)他們考慮過(guò)任何證明。他們有計(jì)算法則，但不管其在邏輯上是否合理。而且在數(shù)學(xué)的任何領(lǐng)域里他們沒(méi)有得出過(guò)一般方法或提出過(guò)新的觀點(diǎn)。

相當(dāng)肯定的一件事是，印度人并不把他們自己的貢獻(xiàn)放在眼里。他們的一些好想法，如給1到9的數(shù)單獨(dú)設(shè)立記號(hào)，改用10為底的進(jìn)位制，負(fù)數(shù)，都是偶然采用的，并不認(rèn)為是什么有價(jià)值的創(chuàng)舉。他們對(duì)數(shù)學(xué)上的價(jià)值是不敏感的。和他們自己提出的觀念一起，他們還接納了埃及人和巴比倫人的極粗淺的觀念。波斯歷史學(xué)家阿爾比魯尼（al-B?r?n?，973—1048）說(shuō)過(guò)：“我只能把他們的數(shù)學(xué)和天文著作……比作寶貝和爛棗，或珍珠和糞土，或?qū)毷吐咽幕旌衔?。在他們眼里這些東西都是一樣的，因?yàn)樗麄儧](méi)有把自己提高到科學(xué)演繹法的高度。”

下一講阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)。