你們知道什么叫做“黑洞”（black hole）嗎？

從物理學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)解釋：黑洞其實(shí)是個(gè)星球，只是它的物質(zhì)密度極大，引力極強(qiáng)，任何物質(zhì)經(jīng)過(guò)它的附近，都要被它吸引進(jìn)去，再也不能出來(lái)，包括光線也是這樣，因此射進(jìn)去的光沒(méi)有反射回來(lái)，我們的眼睛就看不到任何東西，只是黑色一片，于是它是一個(gè)不發(fā)光的天體，黑洞的名稱由此而來(lái)。

由于不發(fā)光，人們無(wú)法通過(guò)肉眼或觀測(cè)儀器發(fā)覺(jué)它的存在，而只能通過(guò)理論計(jì)算或根據(jù)光線經(jīng)過(guò)其附近時(shí)產(chǎn)生的彎曲現(xiàn)象而判斷其存在。自從黑洞理論提出以來(lái)，著名的物理學(xué)家愛(ài)因斯坦和霍金都肯定了黑洞的存在，絕大多數(shù)科學(xué)家也都長(zhǎng)年致力于尋找黑洞確切存在的證據(jù)來(lái)完善黑洞理論。被世人譽(yù)為“在世的最偉大的科學(xué)家”、“另一個(gè)愛(ài)因斯坦”的著名物理學(xué)家霍金更是將其畢生精力都投入到對(duì)于黑洞的研究之中，對(duì)物理學(xué)史上有關(guān)黑洞的研究做出了巨大的貢獻(xiàn)，但是由于黑洞本身的研究的復(fù)雜性，牽扯到很多有關(guān)動(dòng)力學(xué)、熱力學(xué)、以及量子力學(xué)的相關(guān)知識(shí)，所以進(jìn)一步地認(rèn)證黑洞仍是21世紀(jì)的科學(xué)難題之一。

有趣的是，天體物理中的黑洞現(xiàn)象在數(shù)學(xué)中也存在，并被叫做“數(shù)學(xué)黑洞”。所謂數(shù)學(xué)黑洞是這樣一類數(shù)，其他任意的數(shù)如果經(jīng)過(guò)某種變換變成這個(gè)數(shù)以后，再按同樣的規(guī)律去變，始終就是這個(gè)數(shù)，再也跳不出去了。

我們今天就一起來(lái)研究一下這樣的一類有趣的數(shù)——黑洞數(shù)。

1. 四位數(shù)的黑洞數(shù)

隨意寫出一個(gè)四位數(shù)，它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字不都相等（1111，2222，3333等四位數(shù)應(yīng)排除），用這個(gè)四位數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字組成一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，并用最大數(shù)減去最小數(shù)，得到一個(gè)新的四位數(shù)（如果差等于0999，視0999為四位數(shù)）。對(duì)于新得到的四位數(shù)，一直重復(fù)上面的運(yùn)算，最后你發(fā)現(xiàn)了什么？

我們以四位數(shù)4194為例，重復(fù)題設(shè)中的運(yùn)算步驟，可得一系列算式：

并把這個(gè)變換過(guò)程簡(jiǎn)記為：4194→7992→7173→6354→3087→8352→6174→6174→6174→6174。

對(duì)于4194這個(gè)隨意取的四位數(shù)，不斷重復(fù)題設(shè)的運(yùn)算，前6次（（1）~（6））所得的“差”在改變，而后3次（（7）~（9））的“差”卻不變，停在6174這個(gè)數(shù)上，并且從后3次的算式來(lái)看，你再重復(fù)題設(shè)的運(yùn)算，6174這個(gè)差數(shù)永遠(yuǎn)不變，就好像一旦掉進(jìn)6174這個(gè)“黑洞”里就再也出不來(lái)了，所以有人稱6174這個(gè)數(shù)為四位數(shù)的“黑洞數(shù)”。由于題設(shè)的“運(yùn)算”是兩百多年前，美國(guó)數(shù)學(xué)家卡布列克提出的，因此也有人把我們上面進(jìn)行的這種運(yùn)算方式稱為“卡式運(yùn)算”，把6174稱為四位數(shù)的“卡布列克常數(shù)”。這就意味著，如果你再隨意寫一個(gè)四位數(shù)，經(jīng)過(guò)卡布列克運(yùn)算后，還是要掉進(jìn)6174這個(gè)“黑洞”，永不翻身！

于是得到如下的一個(gè)猜想：在卡氏運(yùn)算下，四位數(shù)有黑洞數(shù)，并且它等于6174。

2. 三位數(shù)的黑洞數(shù)

我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)6174是四位數(shù)的黑洞數(shù)，那么大家可以對(duì)應(yīng)地思考一下：三位數(shù)有黑洞數(shù)嗎？

隨意寫出一個(gè)三位數(shù)，它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字不都相等（111，222，333等三位數(shù)應(yīng)排除），用這個(gè)三位數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字組成一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，并用最大數(shù)減去最小數(shù)，得到一個(gè)新的三位數(shù)（如果差等于099，視099為三位數(shù)）。對(duì)于新得到的三位數(shù)，一直重復(fù)上面的運(yùn)算，最后你發(fā)現(xiàn)了什么？

猜想：在卡氏運(yùn)算下，三位數(shù)有黑洞數(shù)，并且它等于495。

那么，應(yīng)該怎樣證實(shí)“三位數(shù)有黑洞數(shù)495”這個(gè)猜想？

證明過(guò)程：要證明這個(gè)猜想的成立，對(duì)所有三位數(shù)逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)不就得了？可是這項(xiàng)工作工作量太大，因?yàn)槿粩?shù)太多了。對(duì)卡氏運(yùn)算來(lái)說(shuō)，檢驗(yàn)了一個(gè)三位數(shù)（如571），就相當(dāng)于檢驗(yàn)了6個(gè)三位數(shù)（如571，517，715，751，175，157），這是因?yàn)檫@6個(gè)數(shù)的組成數(shù)字是一樣的，只不過(guò)排列順序不同。這就是卡布列克運(yùn)算的基本性質(zhì)。依據(jù)此性質(zhì)，工作量變?yōu)樵ぷ髁康?。

接下來(lái)還可以大大地簡(jiǎn)化這 的工作量，這就要依靠大家在初一的時(shí)候所學(xué)習(xí)過(guò)的一種代數(shù)思想方法——“字母表示數(shù)”來(lái)幫忙。

設(shè)a，b，c是組成一個(gè)任意三位數(shù)的數(shù)字，并設(shè)a≥b≥c （a=b=c除外），對(duì)此三位數(shù)進(jìn)行一次卡氏運(yùn)算

（*）式說(shuō)明，對(duì)任何一個(gè)三位數(shù) ，進(jìn)行一次卡氏運(yùn)算后，所得差是一個(gè)三位數(shù)（x=0時(shí)也視為三位數(shù)），它的十位數(shù)字等于9，百位與個(gè)位的數(shù)字和等于9。

這樣一來(lái)，檢驗(yàn)工作又大大地簡(jiǎn)化了——只要檢驗(yàn)以下5個(gè)三位數(shù)：594，693，792，891，990。

由于990→891→792→693→594→495→495，所以上述5個(gè)待驗(yàn)的三位數(shù)同時(shí)得到檢驗(yàn)。

這是一個(gè)巧妙的證明——本應(yīng)對(duì)所有三位數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，現(xiàn)在只要檢驗(yàn)990這一個(gè)三位數(shù)就行了。

于是輕松證明了剛才的猜想：在卡氏運(yùn)算下，三位數(shù)有黑洞數(shù)，并且它等于495。

3. 兩位數(shù)的黑洞數(shù)

我們已經(jīng)知道三位數(shù)有黑洞數(shù)495，四位數(shù)有黑洞數(shù)6174，那么兩位數(shù)有沒(méi)有黑洞數(shù)？

隨意寫出一個(gè)兩位數(shù)，它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字不都相等（11，22，33等兩位數(shù)應(yīng)排除），用這個(gè)兩位數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字組成一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，并用最大數(shù)減去最小數(shù)，得到一個(gè)新的兩位數(shù)（如果差等于09，視09為兩位數(shù)）。對(duì)于新得到的兩位數(shù)，一直重復(fù)上面的運(yùn)算，最后你發(fā)現(xiàn)了什么？

隨意取86，21，91分別進(jìn)行卡式運(yùn)算，得：

由此產(chǎn)生猜想：

（i）在卡氏運(yùn)算下，兩位數(shù)變換為位數(shù)和等于9的兩位數(shù)；

（ii）在卡氏運(yùn)算下，兩位數(shù)進(jìn)入一個(gè)周期為5的循環(huán)鏈；

如何用上面證明三位數(shù)的黑洞數(shù)的方法進(jìn)行類似證明呢？

（i）設(shè)a與b是組成一個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字，并設(shè)“a>b，對(duì)此兩位數(shù)進(jìn)行一次卡氏運(yùn)算：

由b<a，得

∴x＋y＝9。

（ii）結(jié)論（i）說(shuō)明，在卡氏運(yùn)算下，任何一個(gè)兩位數(shù)變換為下列5個(gè)兩位數(shù)中的一個(gè)81，63，27，45，09

再注意到卡氏運(yùn)算基本性質(zhì)（卡氏運(yùn)算差與多位數(shù)的數(shù)字順序無(wú)關(guān)），猜想（ii）得證。

以上說(shuō)明兩位數(shù)沒(méi)有黑洞數(shù)，但它們都進(jìn)入一個(gè)循環(huán)鏈，“永遠(yuǎn)”不得離開這個(gè)循環(huán)鏈。

五位數(shù)和六位數(shù)的黑洞數(shù)也可以像上面一樣進(jìn)行類似討論，但是它的情況就會(huì)更加復(fù)雜，需要分集中具體情況進(jìn)行討論。

4. 其他形式的黑洞數(shù)

數(shù)學(xué)上的黑洞數(shù)其實(shí)也和自然上的黑洞一樣，存在著很多種不同的類型和形式，數(shù)學(xué)界對(duì)于黑洞數(shù)的研究也仍在不斷的更新和繼續(xù)當(dāng)中。以上我們討論的其實(shí)只是其中最常見(jiàn)的一種，是運(yùn)用最大數(shù)和最小數(shù)做差的方式來(lái)得到黑洞數(shù)，其實(shí)還有其它的幾種簡(jiǎn)單的黑洞數(shù)已經(jīng)在近幾年的中考試題當(dāng)中有所體現(xiàn)，我們來(lái)看以下的兩個(gè)例子：

（2004年浙江省嘉興市中考題）

有種數(shù)字游戲，可以產(chǎn)生“黑洞數(shù)”，操作步驟如下：第一步，任意寫出一個(gè)自然數(shù)（以下稱為原數(shù)）；第二步，再寫一個(gè)新的三位數(shù)，它的百位數(shù)字是原數(shù)中偶數(shù)數(shù)字的個(gè)數(shù)，十位數(shù)字是原數(shù)中奇數(shù)數(shù)字的個(gè)數(shù)，個(gè)位數(shù)字是原數(shù)的位數(shù)；以下每一步，都對(duì)上一步得到的數(shù)，按照第二步的規(guī)則繼續(xù)操作，直至這個(gè)數(shù)不再變化為止。

不管你開始寫的是一個(gè)什么數(shù)，幾步之后變成自然數(shù)總是相同的。最后這個(gè)相同的數(shù)就叫它為黑洞數(shù)。請(qǐng)你以2004為例嘗試一下（可自選另一自然數(shù)作檢驗(yàn)，不必寫出檢驗(yàn)過(guò)程）2004，一步之后變?yōu)?404 ，再變?yōu)?303 ，再變?yōu)?123 ……黑洞數(shù)是 123 。

（2004年重慶市北碚區(qū)初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試20題）

自然數(shù)中有許多奇妙而有趣的現(xiàn)象，很多秘密等待著我們?nèi)ヌ剿?比如：對(duì)任意一個(gè)自然數(shù)，先將其各位數(shù)字求和，再將其和乘3后加上1，多次重復(fù)這種操作運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果最終會(huì)得到一個(gè)固定不變的數(shù)R，它會(huì)掉入一個(gè)數(shù)字“陷阱”，永遠(yuǎn)也別想逃出來(lái)，沒(méi)有一個(gè)自然數(shù)能逃出它的“魔掌”，那么最終掉入“陷阱”的這個(gè)固定不變的數(shù)R= 13 。

其實(shí)數(shù)學(xué)黑洞的內(nèi)容是相當(dāng)豐富的，歷史上數(shù)學(xué)家們對(duì)于黑洞數(shù)的探索和研究也一直都沒(méi)有停止過(guò)，如果大家有興趣的話，可以利用課后的時(shí)間去搜索一些相關(guān)的資料，加入數(shù)學(xué)家們探索的隊(duì)伍。