知名數(shù)學(xué)科普作家、英國華威大學(xué)的榮譽(yù)數(shù)學(xué)教授伊安·斯圖爾特（Ian Stewart）在《改變世界的17個(gè)方程》（17 Equations That Changed The World）中列舉了人類科技史上17個(gè)最為重要的方程?？梢哉f每一個(gè)方程都引領(lǐng)人類進(jìn)入了科技和經(jīng)濟(jì)發(fā)展的新階段。

從公元前530年到近代，這些方程敘述了人類理性從古至今的里程碑式進(jìn)步。而一個(gè)人所受的科學(xué)教育越多，TA 往往會學(xué)習(xí)發(fā)明/發(fā)現(xiàn)時(shí)間離我們更近的方程。

那么，按照你對下面這些方程的了解程度，你的知識水平目前處于公元多少年呢？

勾股定理

發(fā)明人/發(fā)現(xiàn)人：畢達(dá)哥拉斯/商高

發(fā)明/發(fā)現(xiàn)年代：公元前530年

勾股定理指的是，直角三角形的斜邊的平方等于它的兩條直角邊的平方和。你會在初中接觸到它。

勾股定理常被認(rèn)為是畢達(dá)哥拉斯先發(fā)現(xiàn)的，但是現(xiàn)在關(guān)于誰是勾股定理的首個(gè)發(fā)現(xiàn)者還沒有定論。也許古巴比倫人比畢達(dá)哥拉斯早1000年就領(lǐng)悟了勾股定理。

勾股定理是幾何學(xué)的核心，它也是代數(shù)，還有三角學(xué)的基礎(chǔ)。該公式對于測繪、制圖、導(dǎo)航來說不可或缺。全球定位系統(tǒng)（GPS）就離不開勾股定理。

對數(shù)方程

約翰·納皮爾（John Napier）

1610年

利用對數(shù)方程可以把乘法變?yōu)榧臃?。你大概會在高一接觸它。

對數(shù)方程最初是由蘇格蘭的一個(gè)地主約翰·納皮爾（John Napier）在對大數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)的。納皮爾你家是有多少地？

約翰·納皮爾

對數(shù)是革命性的，它讓繁瑣的計(jì)算變得更方便快捷。在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)前，工程師和天文學(xué)家靠這個(gè)方程讓計(jì)算更快更準(zhǔn)確。當(dāng)然，計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)讓該對數(shù)方程遜色了不少，但是對于科學(xué)家來說對數(shù)方程仍然很重要。

對數(shù)方程還有相關(guān)的指數(shù)方程被用來進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，比如生物的生長，還有放射性衰變。

微積分

牛頓和萊布尼茲

1668年

微積分是計(jì)算瞬時(shí)變化量的數(shù)學(xué)工具。比如，物體運(yùn)動的速度就可以用微積分來解決。你大概要在高中學(xué)習(xí)微積分的初級知識。

17世紀(jì)末，微積分由艾薩克·牛頓（Isaac Newton）和戈特弗里德·萊布尼茨（Gottfried Leibniz）在同一時(shí)期發(fā)現(xiàn)。至于誰先發(fā)現(xiàn)，誰又剽竊了誰，很長時(shí)間里兩人爭論不休，所以現(xiàn)在我們干脆說微積分是他倆發(fā)明的。

萊布尼茨（左）和牛頓（右）

斯圖爾特認(rèn)為，“微積分創(chuàng)造了現(xiàn)代世界”。微積分是測量線、面、體的關(guān)鍵。它也是許多自然法則的基礎(chǔ)，也是微分方程的來源。

任何一個(gè)需要得出最優(yōu)解的數(shù)學(xué)問題都涉及微積分。微積分是醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的必備知識。

萬有引力定律

艾薩克·牛頓（Isaac Newton）

1687年

萬有引力描述的是兩個(gè)物體之間的引力和距離的關(guān)系。你大概要在高中學(xué)習(xí)這個(gè)知識。

艾薩克·牛頓利用翰尼斯·開普勒（Johannes Kepler）的天文學(xué)和數(shù)學(xué)研究得到了該定律。 但是，牛頓也有可能剽竊了同時(shí)代英國博物學(xué)家、發(fā)明家羅伯特·胡克（Robert Hooke）的研究。

在相對論出現(xiàn)之前，我們一直使用萬有引力來描述世界是如何運(yùn)行的。時(shí)至今日在衛(wèi)星和探測器的軌道設(shè)計(jì)中我們依然需要應(yīng)用萬有引力。

在發(fā)射航天器時(shí)，我們用萬有引力來尋找最佳的路徑，節(jié)約航天器燃料。

波動方程

達(dá)朗貝爾(J- d’Almbert)

1746年

波動方程描述的是波的運(yùn)動，比如小提琴琴弦的振動。你大概在大學(xué)學(xué)到（或者永遠(yuǎn)不會學(xué)到）。

波動方程可以解釋聲波的傳播、地震的原理，以及海浪的行為。

石油公司在尋找油藏（石油勘探）時(shí)，常會引爆炸彈，然后利用波動方程來分析地質(zhì)構(gòu)造，從而錨定油藏所在地。

虛數(shù)

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）

1750年

虛數(shù)的平方為負(fù)1。你大概要在高中學(xué)習(xí)這個(gè)知識。

斯圖爾特認(rèn)為，“...如果沒有虛數(shù)，很多現(xiàn)代科技，如電燈和數(shù)碼相機(jī)都不可能發(fā)明?！碧摂?shù)繼續(xù)發(fā)展，就變成了數(shù)學(xué)的一支——復(fù)分析，工程師可以利用復(fù)分析來進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

虛數(shù)廣泛應(yīng)用于電氣工程學(xué)、信號處理和數(shù)學(xué)理論。

多面體歐拉定理

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）

1751年

多面體歐拉定理描述了一個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E及面數(shù)F間的關(guān)系。比如，一個(gè)立方體有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，6個(gè)面，所以 8 6-12=2。你大概會在高中學(xué)到。

多面體歐拉定理是一個(gè)重要數(shù)學(xué)分支——拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)。拓?fù)鋵W(xué)研究的是平面連續(xù)形變后的幾何性質(zhì)。

在現(xiàn)代科學(xué)里，拓?fù)鋵W(xué)可以用來研究 DNA 的功能，也可以用來研究社交媒體還有因特網(wǎng)。

正態(tài)分布

高斯(C. F. Gauss)

1810年

正態(tài)分布是一種鐘形曲線，用來描述一個(gè)數(shù)值被觀測到的概率。你大概在大學(xué)學(xué)到（或者永遠(yuǎn)不會學(xué)到）。

正態(tài)分布的鐘形曲線

正態(tài)分布是現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，科學(xué)，尤其是醫(yī)學(xué)、生物學(xué)和社會科學(xué)鐘愛正態(tài)分布，也離不開正態(tài)分布。幾乎對所有的科學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析都離不開正態(tài)分布。

比如，利用正態(tài)分布可以確定在臨床試驗(yàn)中，某個(gè)藥物是否有效。

傅立葉變換

約瑟夫·傅里葉(J. Fourier)

1822年

傅立葉變換描述的是時(shí)間和頻率的關(guān)系。你大概在大學(xué)學(xué)到（或者永遠(yuǎn)不會學(xué)到）。

傅立葉變換可以將成分復(fù)雜的波（比如歌曲、人的語言的聲波）庖丁解牛，把它的成分一一分離出來。傅立葉變換對于信號分析來說至關(guān)重要。

傅立葉變換可以用來壓縮文件。比如，一個(gè)音頻文件可以被傅立葉變換分解成不同的聲波，這樣我們就可以去掉那些人類聽不到的高音（高頻波）和低音（低頻波），從而精簡文件。同理，可以利用傅立葉變換把圖像壓縮為 JPEG 格式。傅立葉變換也可以用來發(fā)現(xiàn)分子的結(jié)構(gòu)。

納維-斯托克斯方程

納維和斯托克斯(C. Navier, G. Stokes)

1845年

納維-斯托克斯方程是描述流體運(yùn)動的基本方程。你大概在大學(xué)學(xué)到（或者永遠(yuǎn)不會學(xué)到）。

我們現(xiàn)在還不能完美地求解納維-斯托克斯方程。誰能求解這個(gè)方程，就可以拿走著名的千禧年大獎，以及附帶的一百萬美金獎勵(lì)。

好在現(xiàn)在的計(jì)算機(jī)的計(jì)算性能已經(jīng)很強(qiáng)大，可以給出納維-斯托克斯方程的近似解，所以物理學(xué)家和工程師才能研究復(fù)雜的流體問題，設(shè)計(jì)符合空氣動力學(xué)的車輛和飛機(jī)。

麥克斯韋方程組

詹姆斯·麥克斯韋(J.C. Maxwell)

1865年

麥克斯韋方程組描述的是電場和磁場之間的關(guān)系。你大概在大學(xué)學(xué)到（或者永遠(yuǎn)不會學(xué)到）。

英國物理學(xué)家邁克爾·法拉第對電磁之間的關(guān)系做了開創(chuàng)性的研究，但由于數(shù)學(xué)不好，他并沒有為這些現(xiàn)象做出數(shù)學(xué)上的解釋。后來，詹姆斯·麥克斯韋把他的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化為方程，這就是麥克斯韋方程組的來源。

麥克斯韋方程組從根本上改變了物理學(xué)，它是電磁學(xué)的基礎(chǔ)，現(xiàn)代電學(xué)和相關(guān)技術(shù)都依賴這個(gè)方程。有了它，才有雷達(dá)、電視和現(xiàn)代通信。

熱力學(xué)第二定律

路德維?！げ柶澛?L. Boltzmann)

1874年

熱力學(xué)第二定律描述的是，能量和熱量隨時(shí)間的推移而消散。熱力學(xué)第二定律的基本概念你大概在初中會接觸到，但是它的進(jìn)階知識你可能會在大學(xué)學(xué)習(xí)。

從左到右：熵增

熱力學(xué)第二定律能解釋能量和宇宙的變化。熵這個(gè)物理量也是基于熱力學(xué)第二定律產(chǎn)生的。有了熱力學(xué)第二定律，我們才能理解為什么熱茶總是會變冷。

在設(shè)計(jì)引擎和發(fā)電廠的時(shí)候，必須要考慮熱力學(xué)第二定律。在證明物質(zhì)是由原子構(gòu)成時(shí)，熱力學(xué)第二定律也起到了一定的作用。

質(zhì)能方程

阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）

1905年

質(zhì)能方程指的是，能量等于質(zhì)量乘以光速的平方。你可能會在高中接觸到它。

許多人都聽說過質(zhì)能方程，但是很少有人知道，在愛因斯坦之前，阿爾伯特·邁克耳孫（Albert Michelson）和愛德華·莫雷（Edward Morley）通過實(shí)驗(yàn)證明了光速守恒。而愛因斯坦則是在理論上解釋了這個(gè)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)。

質(zhì)能方程也許是歷史上最著名的方程，它徹底改變了我們對宇宙和現(xiàn)實(shí)的看法。核武器的發(fā)明就依賴質(zhì)能方程。

薛定諤方程

埃爾溫·薛定諤(E. Schrodinger)

1927年

薛定諤方程是量子物理學(xué)的關(guān)鍵方程之一，它把物質(zhì)描繪成了一種波。你大概在大學(xué)學(xué)到（或者永遠(yuǎn)不會學(xué)到）。

薛定諤

薛定諤方程徹底改變了我們對微觀尺度的看法。薛定諤方程所描述的粒子以概率的方式出現(xiàn)，而且具有不確定性。薛定諤的觀點(diǎn)是顛覆性的，而他的理論也成了量子力學(xué)的基礎(chǔ)。

現(xiàn)在，核能、半導(dǎo)體、激光都和薛定諤方程有關(guān)。

信息論

克勞德·香農(nóng)(C. Shannon)

1949年

克勞德·香農(nóng)

信息論估計(jì)的是一段代碼所包含的信息量。你大概在大學(xué)學(xué)到（或者永遠(yuǎn)不會學(xué)到）。

信息論可以用來估計(jì)任何內(nèi)容（比如書和圖片）的信息量。斯圖爾特說，“這是信息時(shí)代的方程?！?/p>

利用信息論可以計(jì)算圖片最多可以被無損壓縮成多小。除了數(shù)據(jù)壓縮以外，信息論也被廣泛應(yīng)用在密碼學(xué)、數(shù)據(jù)傳輸?shù)扔?jì)算機(jī)科學(xué)中。

人口增長模型

羅伯特·梅（Robert May）

1975年

人口增長模型描述的是在資源有限的情況下，一群生物的數(shù)量增長模式。你大概在大學(xué)學(xué)到（或者永遠(yuǎn)不會學(xué)到）。

人口增長模型，橫坐標(biāo)為生長率，縱坐標(biāo)為數(shù)量。在人口增長模型中，微小的初始條件變化，也會引發(fā)天差地別的后果。

人口增長模型和混沌理論有關(guān)，有助于解釋自然現(xiàn)象?；煦缋碚撝凶顝V為人知的一個(gè)概念就是蝴蝶效應(yīng)——微小的初始值變化會引起截然不同的后果，這就來自于人口增長模型。

現(xiàn)在，人口增長模型在地震預(yù)測和天氣預(yù)報(bào)中都有應(yīng)用。

布萊克-斯科爾斯方程

布萊克和斯科爾斯(F. Black, M. Scholes)

1990年

布萊克-斯科爾斯方程是為一類金融產(chǎn)品（如期貨、期權(quán)）定價(jià)的數(shù)學(xué)模型。你大概在大學(xué)學(xué)到（或者永遠(yuǎn)不會學(xué)到）。

它的發(fā)明者——美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家費(fèi)希爾·布萊克（Fischer Black）和邁倫·舒爾茲（Myron Scholes）因?yàn)檫@個(gè)方程獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。

價(jià)值上萬億美金的金融產(chǎn)品都是布萊克-斯科爾斯方程的“衍生品”。許多人認(rèn)為金融危機(jī)和布萊克-斯科爾斯方程脫不了干系，因?yàn)椴既R克-斯科爾斯方程里包含的一些假設(shè)在現(xiàn)實(shí)生活中站不住腳。

在2008年的金融危機(jī)之后，實(shí)際上銀行家們還在用布萊克-斯科爾斯方程對大多數(shù)金融衍生品進(jìn)行定價(jià)。

你目前的數(shù)學(xué)水平晉級到了人類文明史的哪一關(guān)了呢，還是你已經(jīng)通關(guān)了？