陽春三月，萬物復蘇。度過了人生中最為漫長的寒冬，終于迎來了春光明媚，生機盎然。因為疫情的肆虐，紐約的生活節(jié)奏驟然舒緩了許多，心情也為之沉靜，從而可以從容地整理書稿，潛心數(shù)學推演、計算機編程調試之中。

書的封面用圖：Costa極小曲面的共形結構。

丘成桐先生和顧險峰同學歷經十年撰寫的《計算共形幾何（理論篇）》教材終于脫稿，進入校對階段，很快會付梓印刷，由高等教育出版社與波士頓國際出版社聯(lián)合出版發(fā)行。

2009年，丘先生在清華大學成立了丘成桐數(shù)學科學中心。丘先生嘔心瀝血，親力親為引進全世界的數(shù)學人才，從青年才俊到學術宗師，帶領中心的全體學者師生，十年間將清華數(shù)學的世界排名提高到前二十名，超越了北京大學。每年暑期，丘先生邀請世界各地的學者到中心講學，承蒙丘先生的垂青，顧同學也在中心講授了十年的《計算共形幾何》暑期課程。

聽眾包括數(shù)學方向的本科和研究生，計算機、電子、自動化等工程方向的學生，更有來自工業(yè)界的同行，例如來自互聯(lián)網(wǎng)、動漫動畫、計算機視覺、AI等領域的工程師，流體力學、計算力學等領域的研究員，醫(yī)學圖像、醫(yī)院診所的專業(yè)人員，也有其他高校的教授學者。特別是有一些文科背景的學生，出于對美學的追求來旁聽這門課程。很多聽眾來自于武漢、大連、昆明、杭州等外地城市，因此顧同學將課程大多安排在周末。暑期的北京酷熱難捱，同學們不辭辛勞、集聚一堂，其熾烈的學習熱情，對于自然真理的由衷渴望，令顧同學十分感動！

計算共形幾何涉及很多數(shù)學分支，代數(shù)拓撲、復變函數(shù)、幾何測度論、微分幾何、黎曼面理論、幾何偏微分方程、Teichmuller理論、Ricci流理論等等；同時，計算機科學方面，這門課程涉及到計算幾何、有限元、數(shù)值偏微分方程、優(yōu)化、數(shù)字幾何處理、計算機輔助幾何設計等領域。傳統(tǒng)上，這里面的每一門課程都要耗費一學期的課時，并且這些分支相距較遠，很多現(xiàn)代理論散落在各種數(shù)學、計算機科學文獻之中?，F(xiàn)存的數(shù)學教材假設讀者已經具備相當?shù)臄?shù)學涵養(yǎng)，不再覆蓋基本的概念理論，橫空出世，恣肆汪洋，令計算機科學背景的學生望而卻步。數(shù)學教材強調嚴密性和形式化，并不交代來龍去脈，掌故沿革，特別是不交代引入抽象概念的根本動機和潛在應用，令人如墮云霧，難以深入。計算機方面的教材只給出算法，對于算法所依賴的數(shù)學理論，設計算法的核心思想，算法解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性，語焉不詳，令人知其然不知其所以然。

十年前，丘先生和顧同學開始思考如何編寫一部自洽統(tǒng)一的教材，以初等數(shù)學概念為基礎，平地起高樓，以現(xiàn)代理論為目的，有機地組織龐大豐富的知識體系，貫穿諸多數(shù)學分支，橫跨數(shù)學和計算機科學，既有陽春白雪、又有下里巴人，同時滿足純粹數(shù)學的前沿學者和工業(yè)實踐中的工程師們的迫切需求。

為了積累素材，顧同學開了公眾號“老顧談幾何”，鞭策自己及時記錄下課堂講義，以及感悟心得，同時獲得讀者反饋，調整改進，以求積沙成塔、集腋成裘。經過十年的探索和實踐，結合自身的科研經驗，我們最終編寫了這部長達六百頁的教材，希望能夠不負眾望，造福桑梓。

這部書具有如下的鮮明特色：

書中圖10.2 人臉曲面的Riemann映射。

理論算法兼顧 傳統(tǒng)的數(shù)學教材介紹概念和理論，其目的在于推動數(shù)學自身的發(fā)展；而這本教材的目的同時兼顧數(shù)學自身的發(fā)展和工業(yè)實踐的要求。同時，作為計算機科學領域的學者，顧同學深知對于一個計算機背景的工程人員而言，對一套理論最為真誠的理解方式就是動手編制相應的程序，在設計數(shù)據(jù)結構和調制性能中得到體悟升華。因此，我們力求為所介紹的概念和理論都發(fā)明出相應的算法，從而銜接抽象的理論和切實的應用。

例如，幾乎所有的復變函數(shù)教材都以平面黎曼映射為終結，但是絕少給出計算實例。我們的教材給出曲面黎曼映射的多種算法，包括基于全純微分形式的算法和基于Ricci流的方法，也簡介了經典的Schwartz-Christopher公式，以及Zipper算法，并且配以相應的圖像、視頻以及線上演示。學生們初步掌握這些算法后，可以將黎曼映照應用于自己的領域，例如動漫、動畫領域的紋理貼圖，計算機視覺領域的三維人臉識別，CAD領域的樣條擬合，CAM領域的求解線彈性問題，醫(yī)學領域的牙齒正畸等等。

書中圖25.7 Riemann曲面上的全純1-形式構成復線性空間。

黎曼面理論中的大多數(shù)概念和理論都遠離日常生活經驗，依賴于抽象的想象。我們在教材中詳盡地介紹了這些抽象概念的計算方法，圖25.7顯示了全純微分的計算結果。在人類歷史上，250年前黎曼發(fā)現(xiàn)了這一概念，20年前我們團隊首次將這一概念計算出來。任何人看到這幅圖像，就會立即體悟到全純微分的要義。圖中八邊形的中心是全純微分的零點，這些零點的位置全局依賴于曲面的幾何和全純微分的整體拓撲（上同調類）。通過觀察零點的變動，我們能夠理解Abel-Jacobin理論的奧妙，從而體會到全純線叢示性類的精髓。相信當讀者們真正領會了這些定理之后，會對近代數(shù)學家能夠在沒有任何直覺體驗的情況下，僅憑抽象思維就能夠洞察自然界如此深邃的真理，建立如此深刻優(yōu)美的數(shù)學理論而驚嘆不已！更為令人驚訝的是，如此抽象的理論居然具有非常切實的應用：在機械制造業(yè)中，所有的曲面都表示成樣條曲面，工程中的T-Spline等價于亞純四次微分，T-Spline的奇異點滿足Abel定理，如圖1.14所示。

書中圖1.14 彌勒佛樣條曲面。

以戰(zhàn)養(yǎng)戰(zhàn)、以學治學 學生們在頭腦中建立嚴密深刻的理論體系，絕非朝夕之功，深邃玄奧的概念，往往在真正應用之后才能領悟其精髓。因此，我們在介紹抽象的概念和理論之后，立即給出實際應用，令讀者思考如何應用剛剛習得的概念加以解決，從而在實戰(zhàn)之中體會到這些概念和定理的強大力量。

例如，我們在介紹了代數(shù)拓撲同倫群、同調群的基本概念之后，立即給出了Brower不動點、Lefschetz不動點的證明。不動點理論在證明方程解的存在性方面具有根本的重要性。在計算機科學領域，很多優(yōu)化算法解的存在性和收斂性證明，都是依賴于不動點理論。

顧同學有一位清華室友，大學時代深深地迷戀圍棋。作為東方文明的最高智慧代表，圍棋一直是超凡絕倫、神秘深邃的文化符號。清華室友一直癡迷于用AI的方法來攻克圍棋。這位室友精力旺盛，五年間所有的午休時間都花在設計AI圍棋程序上面。數(shù)十年后，“阿法狗”橫空出世，一舉擊敗人類，“阿法零”更是摒棄了人類數(shù)千年積累的棋譜，無情地擊碎了人類的虛榮。顧同學相信這位迷戀圍棋的室友一定會百感交集，悲喜交加。但是，“阿法狗”是基于增強學習算法，而增強學習算法的收斂性證明恰是基于不動點理論。如此看來，不動點的拓撲理論是自然界的一部分，而圍棋棋譜卻是人為的。圍繞圍棋棋譜設計的AI專家系統(tǒng)，最終敗于基于拓撲不動點的AI增強學習算法。由此可見，數(shù)學才是認識自然的正確途徑，年輕的時候應該多學習一些數(shù)學。

共形幾何具有極大的實用價值，根本原因之一在于自然界中曲面間的映射（微分同胚）絕大多數(shù)都是擬共形映射，被Teichmuller擬共形幾何理論所刻畫。書中所介紹的共形幾何算法，可以直接被推廣成擬共形映射算法，如圖28.3所示。計算視覺、醫(yī)學圖像領域的很多應用都是基于曲面間的擬共形微分同胚。

書中圖28.3 共形映射和擬共形映射比較。

視覺審美 人類歷經漫長的進化，大腦皮層中絕大多數(shù)的神經元都用于處理視覺信息，因此，人類天生具有強烈的幾何直覺，能夠本能地體悟到幾何結構的內在和諧。因此，我們用現(xiàn)代計算機圖形學的技術，結合計算共形幾何的算法，制作了上百幅插圖、十數(shù)個視頻，同時也準備了幾十個線上演示。讀者通過掃描二維碼，可以在手機上查看插圖，觀賞視頻，特別是可以與線上演示交互，通過放大、平移、旋轉來觀察幾何曲面，通過紋理貼圖來體會曲面上的各種幾何結構。很多自然幾何結構會引起人類強烈的審美體驗，通過直覺，讀者可以迅速掌握抽象概念的要義。

書中圖1.8 曲面上的葉狀結構。

例如，“調和”是共形幾何中的一個基本概念，丘先生曾經說過“調和切向量場就是最為光滑、光滑得無以復加的場?！比~狀結構是一個難以理解的抽象概念，葉狀結構與全純二次微分的關系也是比較深刻的一個理論結果。調和葉狀結構具有強烈的美感，任何人看到圖1.8中的圖案，會立刻體會到調和葉狀結構內在的和諧優(yōu)美，和引進這一概念的自然而然。調和葉狀結構與全純二次微分之間的關系也呼之欲出。因此這一概念經常被應用于建筑設計之中，例如哈迪德（Hadid）設計的大興國際機場，其理念就是基于調和葉狀結構。

書中圖12.8 拓撲四邊形的極值長度。

連續(xù)離散的統(tǒng)一 經典的共形幾何理論是建立在光滑流形上面的，大量的微積分運算需要流形的可微結構。但是在計算機科學領域，基本的數(shù)據(jù)結構都是離散的，例如計算機圖形學、計算力學領域中常用的曲面表示是所謂的三角網(wǎng)格，三角網(wǎng)格只是連續(xù)曲面，經典的數(shù)學概念，例如絕對微分、曲率、聯(lián)絡、黎曼度量張量等，無法直接定義。因此，我們需要將經典的幾何概念和定理系統(tǒng)地推廣到離散情形。

書中圖12.5 方塊填充。

這里有兩種思路，一種是用離散解來逼近連續(xù)，例如用經典的有限元方法求解偏微分方程；另外一種更加本質，更加徹底，那就是我們認為連續(xù)和離散的區(qū)分來自人為的理論工具的限制，自然界并不區(qū)分連續(xù)和離散，基本的連續(xù)幾何定理必然有著離散的對應定理。我們需要做的是離散整個理論體系，而非用離散來逼近連續(xù)。

例如，如圖12.8所示，給定一張人臉曲面，我們在邊界上固定4個角點，則存在共形映射，將連續(xù)曲面映射到平面長方形上。圖12.5顯示了對應的離散定理，給定一個平面圖，固定邊界上4個頂點，我們將每個頂點用方塊替代，則存在一組方塊的邊長，使得這些方塊緊密填充在一個平面的長方形之中。這本教材采用離散化理論體系的觀點，從而建立了離散曲面Ricci流理論，離散單值化定理，如圖1.5所示。雖然離散定理更加直觀，但是其理論深度和證明的技巧性與連續(xù)情形不分伯仲。

書中圖1.5 離散曲面的單值化定理。

獨創(chuàng)前沿 傳統(tǒng)的數(shù)學教材一般傳授比較經典的理論內容。這本教材有近三分之一的內容是作者們近二十年來的研究成果。書中很多篇幅用于闡述離散曲面Ricci流的理論和算法，給出離散單值化定理的詳盡證明，這是目前世上這方面唯一的一本教材，因此獨創(chuàng)性很強。相對于計算機科學領域各種算法綜述的教程，這本書中的算法具有堅實的理論根基，更能夠經得起長期的歷史考驗。

物理世界中的任何曲面都有天然的共形結構，共形幾何是大自然的一部分。計算共形幾何的興起歸功于兩個主要因素：一個是三維技術的蓬勃發(fā)展，特別是激光技術、DMD芯片、TOF技術的發(fā)展，CT、MRI等醫(yī)學圖像技術的成熟，使得三維幾何數(shù)據(jù)的獲取變得異常方便。但是三維幾何數(shù)據(jù)分析成為技術瓶頸，傳統(tǒng)的線性方法不再勝任，而計算共形幾何提供了強有力的方法，適用于大形變曲面間配準、分析和歸類。相比于計算拓撲方法，共形幾何提供了更多的信息，計算結果更加精確；相比于黎曼幾何，共形幾何更加靈活，可以將曲面變換成平面，而黎曼幾何中的等距變換無法改變曲率，無法處理一般的拓撲同胚。另外一個因素是計算能力的增加，使得求解幾何偏微分方程變得切實可行。

共形結構作為自然界的一個基本幾何結構，在工程和醫(yī)療的很多領域中都有深入和廣泛的應用。在過去的二十年間，我們和很多領域的學者合作，日益推廣計算共形幾何的應用：我們和Paul Thompson，陳繁昌，王雅琳，雷樂銘等教授合作，將共形幾何應用于腦神經科學領域，創(chuàng)立共形腦圖算法；我們和Arie Kaufman，梁崢嶸教授合作，應用于虛擬腸鏡領域；與秦宏教授合作，應用于計算機輔助設計領域，開創(chuàng)了流形樣條理論；與高潔教授合作，應用于無線傳感器網(wǎng)絡領域；與Dimitris Samaras教授合作，應用于3D計算機視覺，特別是曲面配準和追蹤；與Tom Hughes、羅鐘鉉、雷娜教授合作，應用于等幾何分析和計算力學；與斯杭博士合作，應用于網(wǎng)格生成領域；與陳士魁教授合作，應用于拓撲優(yōu)化、超材料設計領域。其中基于計算共形幾何的癌癥診斷算法，經由西門子公司的推廣而遍布世界各地。

目前，計算共形幾何的發(fā)展方興未艾，依然存在大量的理論方面的開放問題；同時各種計算方法依然存在改進的空間，大量抽象數(shù)學概念的計算方法依然沒有解決；計算共形幾何的思想方法日益滲透到其他工程和醫(yī)學領域，很多天馬行空的應用等待年輕人去開發(fā)實現(xiàn)。

當代社會分工精細，從工程技術角度來看，我們可以將社會分工鏈簡化成：物理學家、基礎數(shù)學家、應用數(shù)學家、計算機科學家、軟件工程師、企業(yè)家。物理學家觀察自然，尋找規(guī)律，將自然規(guī)律用偏微分方程表述出來；基礎數(shù)學家證明偏微分方程解的存在性、唯一性和正則性；應用數(shù)學家設計變分法，離散逼近方法，迭代格式，證明收斂階，估計精度誤差；計算機科學家設計高效的數(shù)據(jù)結構，精密的算法，并行方法，提高計算精度和效率；軟件工程師保證高質量的算法實現(xiàn)，設計良好的用戶界面，窮盡各種實用場景，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性；企業(yè)家思考爆款產品，精準市場定位。不同的社會分工角色具有非常不同的價值觀念和文化特色，例如物理學家強調物理直覺，并不太在意數(shù)學的嚴密性；基礎數(shù)學家強調認識問題的深刻程度和美學價值，對于復雜度沒有任何限制，但是強調發(fā)現(xiàn)前人沒有發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；計算機科學家對于理論嚴密性相對寬容，但是計算復雜度卻是致命的因素，同時強調能夠算出前人無法計算的問題。每個社會分工都需要才華和創(chuàng)意，都需要積累加苦干。傳統(tǒng)的教材，只集中于這一分工鏈條的某個步驟，這本教材涵蓋了從基礎數(shù)學家到計算機科學家這些步驟。我們認為培養(yǎng)跨領域通才，促進各個領域的合作與融合，更加適合時代的發(fā)展。我們也計劃在不久的未來再編寫一本《計算共形幾何（編程篇）》，專門為計算機科學家和軟件工程師講解算法實現(xiàn)細節(jié)。

另一方面，當今時代，年輕人都希望成為企業(yè)家，將商業(yè)價值凌駕于科學價值之上，因此社會趨于急功近利，日漸喧囂浮躁。我們希望這本教材，能夠給年輕人一個窺視自然奧秘的視角，能夠激發(fā)年輕人強烈的好奇心和持續(xù)的審美體驗，將虛妄縹緲的冥想化成嚴密和諧的邏輯思辨，在選擇人生道路的時候，能夠坦誠面對自己，追隨內心，將激情和職業(yè)相結合，將短暫的生命融入自然的永恒，為人類文明的發(fā)展貢獻自己的青春！

我們由衷感謝高等教育出版社的趙天夫、李鵬與和靜編輯, 他們不辭辛苦, 認真細致地審讀了全部書稿, 完善了細節(jié), 并提升了質量。我們感謝陳偉、溫成峰等同學，他們精心地設計實現(xiàn)了算法，用WebGL編寫了線上演示程序。我們由衷感謝所有過去和現(xiàn)在的合作者們，所有過去和現(xiàn)在的學生們！我們對所有提供幫助的朋友都表示由衷的感謝!

由于準備時間倉促，教材涵蓋內容過于豐富，新發(fā)展的理論尚未經過歲月的蒸餾，目前的闡述形式可以被進一步精煉，書中有很多錯誤，希望廣大讀者批評指正。