專題07  不等式

易錯(cuò)點(diǎn)1  忽視不等式隱含條件致誤

易錯(cuò)點(diǎn)2  忽略不等式性質(zhì)成立的條件

錯(cuò)點(diǎn)3  忽略對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論導(dǎo)致錯(cuò)誤

易錯(cuò)點(diǎn)4  解含參不等式時(shí)不能正確分類導(dǎo)致錯(cuò)誤

易錯(cuò)點(diǎn)5 不能準(zhǔn)確把握目標(biāo)函數(shù)的幾何意義致誤

易錯(cuò)點(diǎn)6  忽略等號(hào)成立的一致性導(dǎo)致錯(cuò)誤

一、不等關(guān)系與不等式

1．比較大小的常用方法

（1）作差法的一般步驟是：作差，變形，定號(hào)，得出結(jié)論．

注意：只需要判斷差的符號(hào)，至于差的值究竟是什么無(wú)關(guān)緊要，通常將差化為完全平方式的形式或者多個(gè)因式的積的形式.

（2）作商法的一般步驟是：作商，變形，判斷商與1的大小，得出結(jié)論．

注意：作商時(shí)各式的符號(hào)為正，若都為負(fù)，則結(jié)果相反.

（3）介值比較法：

①介值比較法的理論根據(jù)是：若a>b,b>c,則a>c，其中b是a與c的中介值.

②介值比較法的關(guān)鍵是通過(guò)不等式的恰當(dāng)放縮，找出一個(gè)比較合適的中介值.

2．不等式的性質(zhì)及應(yīng)用

（1）應(yīng)用不等式性質(zhì)解題的指導(dǎo)思想：理解不等式的性質(zhì)時(shí)，首先要把握不等式性質(zhì)成立的條件，特別是實(shí)數(shù)的正負(fù)和不等式的可逆性；其次，要關(guān)注常見函數(shù)的單調(diào)性對(duì)于理解不等式性質(zhì)的指導(dǎo)性.

（2）解決此類問(wèn)題常用的兩種方法：一是直接使用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證；二是利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案．利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件．

3．求代數(shù)式的取值范圍的一般思路

（1）借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答；

（2）借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；

（3）結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解；

（4）要注意不等式同向可乘性的適用條件及整體思想的運(yùn)用.

二、一元二次不等式及其解法

1．解一元二次不等式的一般步驟

（1）一化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．

（2）二判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．

（3）三求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有沒有實(shí)根．

（4）四寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．

2．解含有參數(shù)的一元二次不等式的步驟

（1）二次項(xiàng)系數(shù)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．

（2）判斷方程的根的個(gè)數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．

（3）確定無(wú)根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式.

4．已知不等式的解集求參數(shù)的解題方法

已知不等式的解集求參數(shù)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是考查三個(gè)“二次”間的關(guān)系.其解題的一般思路為:

（1）根據(jù)所給解集確定相應(yīng)方程的根和二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào);

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系，或直接代入方程，求出參數(shù)值或參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而求解.

四、基本不等式

1．利用基本不等式求最值的方法

利用基本不等式，通過(guò)恒等變形及配湊，使“和”或“積”為定值.常見的變形手段有拆、并、配.

（1）拆——裂項(xiàng)拆項(xiàng)

對(duì)分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離——分離成整式與“真分式”的和，再根據(jù)分式中分母的情況對(duì)整式進(jìn)行拆項(xiàng)，為應(yīng)用基本不等式湊定積創(chuàng)造條件.

（2）并——分組并項(xiàng)

目的是分組后各組可以單獨(dú)應(yīng)用基本不等式，或分組后先由一組應(yīng)用基本不等式，再組與組之間應(yīng)用基本不等式得出最值.

（3）配——配式配系數(shù)

有時(shí)為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用基本不等式得出定值，或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后，使積式中的各項(xiàng)之和為定值.

注意：①基本不等式涉及的量為正實(shí)數(shù)，同時(shí)驗(yàn)證等號(hào)能否取到．

②分子、分母有一個(gè)一次，一個(gè)二次的分式結(jié)構(gòu)的函數(shù)以及含有兩個(gè)變量的函數(shù)，適合用基本不等式求最值.取倒數(shù)以應(yīng)用基本不等式是對(duì)分式函數(shù)求最值的一種常見方法.

2．有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)際問(wèn)題的解題技巧

（1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值．

（2）設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．

（3）解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍．

（4）在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

答案解析