專題12  計(jì)數(shù)原理

易錯(cuò)點(diǎn)1  分類計(jì)數(shù)時(shí)考慮不全

1．能用分類加法計(jì)數(shù)原理解決的問題具有如下特點(diǎn):

(1)完成一件事有若干種方法,這些方法可以分成n類;

(2)用每一類中的每一種方法都可以完成這件事;

(3)把各類的方法數(shù)相加,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).

2．使用分類加法計(jì)數(shù)原理遵循的原則：

有時(shí)分類的劃分標(biāo)準(zhǔn)有多個(gè)，但不論是以哪一個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)，都應(yīng)遵循“標(biāo)準(zhǔn)要明確，不重不漏”的原則．

3．應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理要注意的問題：

（1）明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些辦法，怎樣才算是完成這件事．

（2）完成這件事的n類方法是相互獨(dú)立的，無論哪種方案中的哪種方法都可以單獨(dú)完成這件事，而不需要再用到其他的方法．

（3）確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確地對(duì)“這件事”進(jìn)行分類，要求每一種方法必屬于某一類方案，不同類方案的任意兩種方法是不同的方法，也就是分類時(shí)必須既不重復(fù)也不遺漏．

易錯(cuò)點(diǎn)2  未選準(zhǔn)分步依據(jù)

1．能用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的問題具有如下特點(diǎn):

（1）完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟,缺一不可;

（2）完成每一步有若干方法;

（3）把各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).

2．應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理要注意的問題：

（1）明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，單獨(dú)用題目中所給的某一步驟的某種方法是不能完成這件事的，也就是說必須要經(jīng)過幾步才能完成這件事．

（2）完成這件事需要分成若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少哪一步驟，這件事都不可能完成．

（3）根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，各步驟之間既不能重復(fù)也不能遺漏．

    易錯(cuò)點(diǎn)3  忽視排列數(shù)、組合數(shù)公式的隱含條件

易錯(cuò)點(diǎn)4  重復(fù)計(jì)數(shù)與遺漏計(jì)數(shù)

1．沒有限制條件的排列問題,即對(duì)所排列的“元素”或所排列的“位置”沒有特別的限制,這一類題相對(duì)簡(jiǎn)單,分清“元素”和“位置”即可.

無約束條件的組合問題,只需按照組合的定義,直接列出組合數(shù)即可,注意分清元素的總個(gè)數(shù)及取出元素的個(gè)數(shù).有時(shí)還需分清完成一件事是需要分類還是分步.

2．“在”與“不在”的有限制條件的問題，一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置.這一類問題通常以三種途徑考慮：

（1）以元素為主考慮，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；

（2）以位置為主考慮，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；

（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù).

3．解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個(gè)不同元素排成一排，其中某k個(gè)元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個(gè)元素“捆綁在一起”，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其他元素一起排列，然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，最后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.

解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將n個(gè)不同元素排成一排，其中某k個(gè)元素互不相鄰（k<=n-k+1），求不同排法種數(shù)的方法是：先將n-k個(gè)元素排成一排,然后把k個(gè)元素插入n-k+1個(gè)空隙中，最后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.

易錯(cuò)點(diǎn)5  要正確區(qū)分分堆與分配問題

易錯(cuò)點(diǎn)6  混淆項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

答案解析

【名師點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理某一項(xiàng)的項(xiàng)的系數(shù)求法，由于表達(dá)式是由兩個(gè)因式構(gòu)成，所以解題時(shí)應(yīng)該對(duì)前面因式中每一項(xiàng)進(jìn)行拆分，采用分類討論法，可簡(jiǎn)化運(yùn)算難度.