導論

《數(shù)論》堪稱數(shù)學中的數(shù)學，主要研究和探索“數(shù)字”的奧秘，人類歷史記載，系統(tǒng)的數(shù)論研究從公元前300年就已經開始，在這兩千年中有無數(shù)數(shù)學家，對數(shù)論研究的發(fā)展做出了巨大貢獻，本文從中挑選幾位，讓我們膜拜一下他們的神奇。

歐幾里得（Eculid）

歐幾里得（公元前325-公元前265），古希臘杰出的數(shù)學家。歐幾里得是第一個系統(tǒng)、完整開辟平面幾何學研究的偉大數(shù)學家，其著作《幾何原本》，成為平面幾何學的奠基，平面幾何因此也被稱為歐氏幾何。

除了在幾何學方面的研究，歐幾里得也是數(shù)論的先驅者，他在數(shù)論領域貢獻頗多。首先，他非常完整地證明了“有無限個素數(shù)”，這也是數(shù)論史上第一個被嚴格證明的定理。其次，他憑借敏銳的直覺，發(fā)現(xiàn)了數(shù)論學的基礎定理——算術基本定理。算術基本定理是什么意思呢？解釋一下。

任何一個大于2的正整數(shù)都可以分解為有限個素因數(shù)的乘積，如不考慮因數(shù)相乘的順序，這種分解是唯一的。舉個例子，120=2*2*2*3*5，無論因子順序怎樣顛倒，永遠是三個2，一個3，一個5相乘得到120，所以這種正整數(shù)的素數(shù)分解方式是唯一的。歐幾里得意識到了這個定理的存在，但他沒能證明它，經過了兩千多年，19世紀偉大的數(shù)學家高斯才給出了嚴格的證明。

歐幾里得在數(shù)論領域還有一個非常大的貢獻，就是解決如何求出兩個正整數(shù)的最大公因數(shù)問題。他發(fā)現(xiàn)了“輾轉相除法”，將兩個正整數(shù)做k步輾轉相除后得到余數(shù)0，則最后一個非零余數(shù)就是兩個正整數(shù)的最大公因數(shù)。輾轉相除法雖然很樸素，但其遞歸的思想，直到信息化高度發(fā)達的今天，其解體思路依然運用在計算機遞歸算法中。

費馬（Fermat）

費馬（1607-1665），法國人，被稱為業(yè)余數(shù)學家之王，他的正式職業(yè)是律師。雖然數(shù)學是業(yè)余愛好，但讓后人銘記的不是他在法律方面的貢獻，而是費馬做為近代數(shù)論的開創(chuàng)者，微積分學研究的先驅。費馬的研究奠定了概率論基礎，同時費馬在天文、物理方面也貢獻巨大。

費馬憑借其超人的直覺和敏銳的觀察力，提出了很多數(shù)論領域前所未有的命題。他首先提出了費馬數(shù)，他提出任何一個自然數(shù)n，則

永遠為素數(shù)，雖然這個命題被證明是錯誤的，前5個費馬數(shù)是素數(shù)，從第6個開始費馬數(shù)都是合數(shù)，但費馬數(shù)依然有廣泛應用，被用來證明很多數(shù)論命題。

費馬小定理是數(shù)論學的四大基礎理論之一，對于一個素數(shù)p，和任何整數(shù)a都滿足關系：a的p次方整除p的余數(shù)與a整除p的余數(shù)相等。比如你求50的7次方除以7的余數(shù)是多少？顯然這很難求出，但運用費馬小定理，可以非常容易算出來，答案為1。

費馬在數(shù)論領域經常被人們提起的是費馬大定理。費馬曾經在一筆書的邊角上寫下，我已經找到了多元高次方程無整數(shù)解的巧妙證明，但是我寫不下了。這個方程就是：

就是因為這一段話，在此后的三百年中，世界上所有最具智慧的數(shù)學家?guī)缀醵紖⑴c了這個猜想的證明，但最終都以失敗而告終。每年都有很多人宣布自己證明了費馬大定理，但是都逐一被宣布證明有誤。

懷爾斯

1993年英國牛津大學任教的一流數(shù)學家懷爾斯（Wiles）宣布證明了費馬大定理，但不幸的是，經過數(shù)學家們的審核，找出了懷爾斯證明過程中的一處漏洞。又經過2年的努力，1996年懷爾斯修補了證明過程，無懈可擊地完成了費馬大定理的證明。

1998年，四年一度的數(shù)學家大會召開，數(shù)學家們一致同意給懷爾斯頒發(fā)一個“菲爾茲特別獎”。菲爾茲獎是數(shù)學界的最高獎項，有數(shù)學界的“諾貝爾獎”之稱，每4年頒發(fā)一次。但菲爾茲獎只頒發(fā)給40歲以下的青年數(shù)學家，彼時懷爾斯已經45歲，按照慣例他不能被授予菲爾茲獎，但由于他證明了費馬大定理，解決了這個300年的數(shù)論難題，評委們決定為他定制頒發(fā)一枚銀質的“菲爾茲特別獎”。這也是迄今為止菲爾茲獎唯一的特別獎。另外在1996年，懷爾斯也獲得了代表數(shù)學家終身成就的沃爾夫獎。

歐拉（Euler）

歐拉（1707-1783），瑞士人，歷史上最偉大的數(shù)學家之一，一生勤奮共寫出856篇論文和31篇專著，在數(shù)論、微積分、力學、天文方面都有卓越貢獻，數(shù)學中的很多符號都來自于歐拉，如π表示圓周率，∑表示求和，f(x)表示函數(shù)等。

歐拉在數(shù)論領域貢獻太多，以致于難以在這里一一羅列出來。他定義了歐拉函數(shù)，對于任何大于1的整數(shù)m，以?(m)表示與m互素的整數(shù)個數(shù)，那么這個數(shù)是可求出來的，而且

其中pi和αi分別對應m素數(shù)分解式中的素數(shù)與其階數(shù)。

在求出歐拉函數(shù)值的基礎上，歐拉定理被證明：對于正整數(shù)m，任何與m互素的整數(shù)a，則整數(shù)a的?(m)次方除以m，余數(shù)為1。

歐拉在數(shù)論領域的貢獻還有很多，他證明了費馬斷言的很多命題，發(fā)現(xiàn)了二次互反律等。由于連續(xù)計算彗星軌道，29歲時他右眼失明，59歲因過度勞累左眼也失明。在雙目失明以后，他仍以頑強的拼搏精神與罕見的心算能力發(fā)表了幾百篇論文，并發(fā)現(xiàn)了第8個梅森素數(shù)，歐拉是歷史上文獻最多的數(shù)學家，《歐拉全集》總共編寫了72卷才將他所有的著作收錄完成，人們將他位列人類歷史上四大數(shù)學家之一。

高斯（Gauss）

高斯（1777-1855），德國人，先講一個高斯的故事。

18歲時高斯在哥廷根大學讀大二，有一天數(shù)學老師（大數(shù)學家貝努力）在課堂上布置了三道作業(yè)題，下課后高斯快速做出了前兩道題，但是第三道題他卻想不出如何解決。這更加激起了他的解題欲望，高斯不停地思考，花了整整一夜的時間，終于將這道題做出來了。第二天他對老師說，自己前兩道題很快做出來了，但是第三道題卻花了很久的時間才解出來，實在有些慚愧。貝努力說他不信，因為貝努力布置的第三題是古希臘數(shù)學家歐幾里得留下的一個千年難題：運用尺規(guī)作圖畫出正17邊形，包括牛頓在內的數(shù)學大神都無法解決，他怎么也不相信一個大二的學生能夠解決這個難題。高斯由此聲名大噪。

另外高斯預言非歐幾何一定會存在，后來俄國數(shù)學家羅切巴夫斯基創(chuàng)立了羅氏幾何，證明了高斯的預言。高斯還總結了復數(shù)應用，嚴格證明了n階代數(shù)方程必有n個實數(shù)或者復數(shù)解，在數(shù)論領域，高斯將數(shù)論的研究水平推進到了新的高度。

高斯第一次嚴格證明了歐幾里得時期就已經發(fā)現(xiàn)的數(shù)論學基礎——算術基本定理，高斯創(chuàng)造性地引進了同余符號和同余式，使數(shù)論研究進入到嶄新階段。

高斯證明了二次互反律，這是初等數(shù)論的核心定理，堪稱初等數(shù)論領域最璀璨的定理：

高斯在幾何、物理、天文學方面都有卓越貢獻，可謂是前無古人、后無來者的數(shù)學家，被稱之數(shù)學王子。

后人根據(jù)數(shù)學家的貢獻，選出了數(shù)學史上的四大偉人：阿基米德、歐拉、牛頓、高斯。如果將本文提到的這些大數(shù)學家比喻為天上璀璨的明星，那高斯就是天上的明月，相信讀者們就可以理解高斯的成就了。

最后，再次向大神致敬。