提要

平面幾何是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，它的基礎(chǔ)知識(shí)在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用，又是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的基礎(chǔ)。但許多初中生對(duì)解幾何題感到困難，不知道怎么把已知條件和結(jié)論聯(lián)系在一起。其實(shí)解幾何問題就像過河，要過河就需要解決橋和船的問題，在幾何圖形中，輔助線就好比溝通已知和未知的橋和船。輔助線添加得巧妙，解題就可以達(dá)到“一橋飛架南北，天塹變通途”的效果。

知識(shí)全解

一．輔助線法的概念

通過添加輔助線解題的方法稱作輔助線法

二．需要添加輔助線的情況

當(dāng)圖形比較簡(jiǎn)單，圖形已知條件比較分散，基本圖形中的條件缺失時(shí)，就需要通過添加輔助線來溝通已知和未知的聯(lián)系，把分散的條件集中到一個(gè)圖形中，或還原或構(gòu)造基本圖形，從而方便地利用已有知識(shí)解決問題。

許多輔助線的添加是有規(guī)律可循的，要不斷地總結(jié)添加方法，這樣有助于拓寬思路，豐富聯(lián)想，以達(dá)到融會(huì)貫通的目的。

三．輔助線法的解題策略

要掌握添加輔助線的方法和技巧，應(yīng)從具體問題入手，把相同類型的題目以及添加輔助線的方法進(jìn)行類比，歸納，總結(jié)規(guī)律，以后遇到類似的題目就會(huì)有應(yīng)對(duì)的技巧或思路

添加輔助線是手段，而不是目的，不能見到題目就漫無目的地添加輔助線。一則沒用，二則輔助線越多，圖形越亂，反而妨礙思考問題。

學(xué)法指導(dǎo)

類型1 平行線中的輔助線

例1 如圖所示，已知AB‖DE，∠ABC=70度，∠CDE=140度，則∠BCD的值為（）

A.20度 B.30度 C.40度 D.70度

【解析】過點(diǎn)C 作CG‖AB，則∠BCG=∠ABC=70度，又因?yàn)锳B‖DE，所以DE‖CG，所以∠CDE+∠DCG=180度。因?yàn)椤螩DE=140度，所以∠DCG=40度，所以∠BCD=30度。故選B

【點(diǎn)評(píng)】本題還可以反向延長(zhǎng)DE交BC于點(diǎn)F，利用平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)求解。

類型2 三角形中的輔助線

例2 已知，如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90度，點(diǎn)D,E在邊BC上，∠CAE=∠B，E是CD的中點(diǎn)，且AD平方∠BAE

求證：BD=AC

【解析】此題乍看起來毫無思路，但考慮到AE為DC邊上的中線，可延長(zhǎng)AE至點(diǎn)F，使AE=FE，連接FD

這樣，在△AEC和△FED中

AE=FE，∠AEC=∠FED，CE=DE

所以△AEC≌△FED（SAS）

所以AC=FD，∠CAE=∠F

至此，此題思路基本已通，接下來，只需證明FD=BD

在△ABD和△AFD中

∠B=∠F，∠DAB=∠DAF，AD為公共邊

所以△ABD≌△AFD(AAS)

所以BD=FD=AC

【點(diǎn)評(píng)】涉及三角形中線（或中點(diǎn)）問題時(shí)，常采用延長(zhǎng)中線一倍的方法構(gòu)造全等三角形來解決問題。

此題還有另外一種添加輔助線的思路：過點(diǎn)D作AC的平行線交AE的延長(zhǎng)線于F，則∠CAE=∠F。此時(shí)，在△AEC和△FED中，∠CAE=∠F，∠AEC=∠FED，CE=DE，由AAS可證得△AEC≌△FED。接下來的證明與上面解析中相同。

因?yàn)閮芍本€平行，同位角（或內(nèi)錯(cuò)角）相等，可以為證明兩三角形全等創(chuàng)造條件，所以過一點(diǎn)作一條線段的平行線是在證明三角形全等時(shí)常用的一種輔助線。

類型3 四邊形中的輔助線

例3 如圖所示，在梯形ABCD中，AD‖BC，AD=3，AB=CD=4，BC=7，求∠B的度數(shù)。

【解析】過點(diǎn)D作DE‖AB交BC于點(diǎn)E，四邊形ABED為平行四邊形

∴DE=AB=CD=4，BE=AD=3

∴CE=BC-BE=BC-AD=7-3=4

∴CE=DE=CD

∴△CDE是等邊三角形

∴∠B=∠DEC=60度

【點(diǎn)評(píng)】一般地，在解決梯形內(nèi)部沒有對(duì)角線的問題時(shí)，我們經(jīng)常通過平移一腰，在梯形的內(nèi)部構(gòu)造平行四邊形和三角形，從而把有限的已知條件集中到一個(gè)三角形中，這樣對(duì)解決問題更加方便有效。

類型4 圓中的輔助線

例4 如圖所示，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30度，BC=4√3，D是線段BC的中點(diǎn)且在⊙O上。過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E。求證：直線DE是⊙O的切線。

【解析】證明：連接OD

∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)

∴OD‖AC

又∵DE⊥AC

∴∠EDO=90度

又∵OD是⊙O的半徑

∴DE是⊙O的切線

【點(diǎn)評(píng)】如果題目中的直線與圓的公共點(diǎn)明確時(shí)，則連接公共點(diǎn)和圓心，然后證明公共點(diǎn)與圓心的連線垂直于已知直線。

鏈接中考

考點(diǎn)1 添加輔助線求角度

例1 如圖1所示，四邊形ABCD中，∠C=50度，∠B=∠D=90度，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)是（）

A.50度 B.60度 C.70度 D.80度

【解析】如圖2所示，點(diǎn)A關(guān)于直線CD，CB的對(duì)稱點(diǎn)分別為M,N，則AF=MF,AE=NE，所以△AEF的周長(zhǎng)=AF+EF+AE=MF+EF+NE，要使該三角形周長(zhǎng)取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)M,F,E,N四點(diǎn)共線（如圖3）時(shí)成立。因?yàn)椤螦BC=∠ADC=90度，∠C=50度，所以∠BAD=130度，根據(jù)軸對(duì)稱性可得：∠FMD=∠FAD,∠ENB=∠EAB；又由三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可得在△MAN中，因?yàn)椤螹AN=130度，所以∠ENA+∠FMA=50度。所以∠FAD+∠EAB=50度，∠EAF=130-50=80,故選D

【點(diǎn)評(píng)】利用對(duì)稱是求最值問題的常用方法。本題通過添加輔助線構(gòu)造軸對(duì)稱，進(jìn)而將三角形周長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度問題，為求角度奠定了基礎(chǔ)。

考點(diǎn)2 添加輔助線求邊長(zhǎng)

例2 如圖所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，點(diǎn)P是AB邊上一點(diǎn)（不與A,B重合），連接CP，過點(diǎn)P作PQ⊥CP交AD于點(diǎn)Q，連接CQ

（1）當(dāng)△CDQ≌△CPQ時(shí)，求AQ的長(zhǎng)

（2）取CQ的中點(diǎn)M，連接MD,MP，若MD⊥MP，求AQ的長(zhǎng)

【解析】（1）當(dāng)△CDQ≌△CPQ時(shí)，DQ=PQ,CP=CD

設(shè)AQ=x，則PQ=3-x

在Rt△BCP中，由勾股定理，得PB=4,AP=1

解得：x=4/3，即AQ=4/3

(2) 延長(zhǎng)DM交BC于點(diǎn)R，連接PD,PR

易證：△DMQ≌△RMC，∴DQ=CR,DM=MR,∴AQ=BR

∵M(jìn)為CQ得中點(diǎn)

∴DM=PM

∴△DPR和△PMD都是等腰直角三角形

∴△DAP≌△PBR

∴AP=BR=2

∴AQ=2

【點(diǎn)評(píng)】通過添加輔助線，使分散的條件集中化

考點(diǎn)3 添加輔助線證相似

例3 如圖1所示，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是ABCD的中點(diǎn)。過點(diǎn)E作AB的垂線，過點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接GA,GB,GC,GD,EF。若∠AGD=∠BGC

（1）求證：AD=BC

（2）求證：△AGD≌△EGF

（3）如圖2所示，若AD,BC所在直線互相垂直，求AD/EF的值

【解析】（1）證明：∵GE是AB的垂直平分線，∴GA=GB。同理GD=GC。

在△AGD和△BGC中，∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,CD=GC

∴△AGD≌△BGC

∴AD=BC

（1）證明:∵∠AGD=∠BGC,∴∠AGB=∠DGC

在△AGB和△DGC中，GA/GD=GB/GC,∠AGB=∠DGC

∴△AGB∽△DGC

∴AG/DG=EG/FG

又∵∠AGE=∠DGF

∴∠AGD=∠EGF

∴△AGD∽△EGF

(3)如圖3所示，延長(zhǎng)AD交GB于點(diǎn)M，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則AH⊥BH

由△AGD≌△BGC，知∠GAD=∠GBC

在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC,∠GMA=∠HMB

∴∠AGB=∠AHB=90度，∠AGE=1/2∠AGB=45度

∴AG/EG=√2

又∵△AGD∽△EGF

∴AD/EF=AG/EG=√2

【點(diǎn)評(píng)】本題(3)小題的解法有多種，還可按圖4和圖5作輔助線求解。

考點(diǎn)4 判斷說理

例4 如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，E,F,G分別是AB,CD,DA上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH。

（1）求證：四邊形EFGH是正方形

（2）判斷直線EG是否經(jīng)過某一點(diǎn)，說明理由

（3）求四邊形EFGH面積的最小值

【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形

∴∠A=∠B=90度，AB=DA

∵AE=DH，∴BE=AH

∴△AEH≌△BFE

∴EH=FE,∠AHE=∠BEF

同理：FE=GF=HG

∴EH=FE=GF=HG

∴四邊形EFGH是菱形

∵∠A=90度、

∴∠AHE+∠AEH=90度

∴∠BEF+∠AEH=90度

∴∠FEH=90度

∴菱形EFGH是正方形

（2）直線EG經(jīng)過正方形ABCD的中心

理由如下：連接BD交EG于點(diǎn)O，如上圖所示

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB‖DC，AB=DC

∴∠EBD=∠GDB

∵AE=CG

∴BE=DG

∵∠EOB=∠GOD

∴△EOB≌△GOD

∴BO=DO,即點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)

∴直線EG經(jīng)過正方形ABCD的中點(diǎn)

（3）設(shè)AE=DH=x，則AH=8-x

在Rt△AEH中，

∴四邊形EFGH面積的最小值為32平方厘米

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（2）中，需要通過添加輔助線證明三角形全等才能得出結(jié)果。