物理學(xué)中包含許多不同的方程式，這些方程描述了從微觀世界的粒子行為到宏觀宇宙的演化。在所有的物理方程中，用來(lái)描述流體如何流動(dòng)的納維-斯托克斯方程（簡(jiǎn)稱NS方程）被認(rèn)為極具挑戰(zhàn)性的，因此被克雷數(shù)學(xué)研究所列為七個(gè)“千禧年大獎(jiǎng)問(wèn)題”之一（無(wú)論是誰(shuí)解決了其中一個(gè)難題，都將獲得100萬(wàn)美元的獎(jiǎng)勵(lì)）。

NS方程可以看作是牛頓第二定律的流體版本。牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律告訴我們：

質(zhì)量 × 加速度 = 力

它描述了一個(gè)物體的速度在外力作用下會(huì)如何改變。

在NS方程中，等式左邊包含的是密度和加速度，右邊包含了壓強(qiáng)的變化、內(nèi)力的變化，還有作用在流體上的外力的變化。

NS方程的歷史可追溯到19世紀(jì)20年代，現(xiàn)已被廣泛用來(lái)模擬各種物理系統(tǒng)，例如流出水龍頭的水，或流過(guò)飛機(jī)機(jī)翼的氣流。從物理學(xué)的角度來(lái)看，NS方程運(yùn)作良好，似乎有著非?？煽康念A(yù)測(cè)能力；但在數(shù)學(xué)家心中，它們的數(shù)學(xué)合理性卻一直存疑，數(shù)學(xué)家想要證明無(wú)論對(duì)于什么樣的流體，也無(wú)論對(duì)其流動(dòng)的預(yù)測(cè)發(fā)生在多遠(yuǎn)的未來(lái)，這些方程在數(shù)學(xué)性上都是正確的。他們想要知道的是有沒(méi)有可能在某些情況下，這些方程會(huì)出現(xiàn)故障，產(chǎn)生不正確的答案，或者根本無(wú)法給出任何答案。

證明NS方程的解永遠(yuǎn)存在是這個(gè)千禧年大獎(jiǎng)問(wèn)題的核心所在。那么，為什么這在數(shù)學(xué)上會(huì)是如此困難的問(wèn)題？

湍流便是這其中的原因。湍流是有序流動(dòng)的流體變化成的看似不可預(yù)知的漩渦，例如一縷青煙在空氣中擴(kuò)散，牛奶和咖啡的混合，生活中的現(xiàn)象都與湍流有關(guān)。然而，熟悉并沒(méi)能孕育出理解，毫不夸張的說(shuō)：湍流是物理世界中最難以理解的部分之一。

據(jù)說(shuō)，對(duì)量子力學(xué)做出巨大貢獻(xiàn)的物理學(xué)家維爾納·海森堡（Werner Heisenberg）曾經(jīng)說(shuō)：“當(dāng)我見到上帝時(shí)，我想問(wèn)他兩個(gè)問(wèn)題：為什么會(huì)有相對(duì)論？為什么會(huì)有湍流？我相信他一定會(huì)有第一個(gè)問(wèn)題的答案?！边@個(gè)說(shuō)法的真實(shí)性雖無(wú)從考證，卻道出了許多科學(xué)家對(duì)湍流的感覺(jué)。

在探討湍流之前，我們可以先來(lái)說(shuō)說(shuō)什么是非湍流。一個(gè)簡(jiǎn)單的非湍流例子就是一條平穩(wěn)流動(dòng)的河，河流中的每個(gè)部分都以相同的速率向相同的方向運(yùn)動(dòng)。而湍流就是阻撓了這條河平穩(wěn)流動(dòng)的存在，它讓不同部分的河流以不同的速度向不同方向運(yùn)動(dòng)。物理學(xué)家首先將湍流的形成描述為是平穩(wěn)流動(dòng)的渦流，然后在這個(gè)渦流中形成了更小的渦流，更小的渦流中又進(jìn)一步形成更加細(xì)小的渦流……這個(gè)過(guò)程循環(huán)往復(fù)，使得流體分裂成許多離散的部分，它們各自運(yùn)動(dòng)，又相互作用。

對(duì)科學(xué)家來(lái)說(shuō)，他們想要了解的是平穩(wěn)的流動(dòng)會(huì)如何分解成湍流，以及如何模擬已產(chǎn)生湍流的流體的形狀變化。而數(shù)學(xué)家想要解決的問(wèn)題則更為基礎(chǔ)的問(wèn)題：證明方程的解永遠(yuǎn)存在，即探尋方程是否能從任何起始條件開始，對(duì)任意流體進(jìn)行無(wú)限的描述。

因此，總結(jié)說(shuō)來(lái)，NS方程難題可以被分為兩個(gè)部分：

第一個(gè)是關(guān)于方程解的存在性；

第二個(gè)是關(guān)于這些解是否有邊界（是有限的值）。

第一個(gè)部分說(shuō)的是，對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)說(shuō)，無(wú)論它多么復(fù)雜，若要想代表這個(gè)物理世界，那么它首先必須有解。目前在實(shí)踐中，雖然NS方程為流體的運(yùn)動(dòng)提供了許多很好的預(yù)測(cè)，但是這些都是NS方程的完整解的近似。而之所以會(huì)產(chǎn)生近似值，是因?yàn)槲覀兺ǔ](méi)有簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式可用，只能用計(jì)算機(jī)進(jìn)行近似的數(shù)值計(jì)算以求解這些方程。雖然科學(xué)家相信這些近似解就是正確的，但在數(shù)學(xué)上仍缺乏一個(gè)能正式表明這些解確實(shí)存在的證明。

第二部分則需要探討這些方程的解是否會(huì)出現(xiàn)奇點(diǎn)，或者說(shuō)無(wú)窮大。這個(gè)問(wèn)題之所以重要，是因?yàn)槿绻贜S方程中存在這樣一個(gè)無(wú)法計(jì)算的無(wú)窮大值，那么NS方程就會(huì)失效，解也不復(fù)存在，這直接表明了我們可能漏掉了某些重要的、尚未可知的物理學(xué)。流體力學(xué)的歷史充滿了簡(jiǎn)化版的NS方程的解，這些方程產(chǎn)生奇異解。在這種情況下，奇異的解往往暗示著一些以前在簡(jiǎn)化模型中沒(méi)有考慮過(guò)的物理現(xiàn)象。識(shí)別出這種新的物理現(xiàn)象促使著研究人員進(jìn)一步地完善他們的數(shù)學(xué)模型，從而提高模型與現(xiàn)實(shí)之間的一致性。

所以，對(duì)存在性和光滑性問(wèn)題的追問(wèn)是為了讓我們徹底地明白在物理世界里真正發(fā)生了什么。許多數(shù)學(xué)家都嘗試過(guò)尋找這個(gè)問(wèn)題的答案，但都以失敗告終。一些物理學(xué)家認(rèn)為，對(duì)強(qiáng)耦合的理解的新進(jìn)展，或許會(huì)有助于破解NS方程。

每當(dāng)我們從數(shù)學(xué)角度談?wù)撐锢矸匠虝r(shí)，很自然的就會(huì)想要知道：這些會(huì)改變我們對(duì)物理世界的看法嗎？經(jīng)過(guò)近200年的實(shí)驗(yàn)，我們可以清楚地看出這些方程是有效的：由NS方程預(yù)測(cè)的流動(dòng)與實(shí)驗(yàn)中觀察到的流動(dòng)總是相符的。如果你是一個(gè)實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家，或許這樣的一致性就已經(jīng)足夠了。但是，數(shù)學(xué)家對(duì)存在性和光滑性問(wèn)題的追問(wèn)，才能讓我們徹底地明白在物理世界里真正發(fā)生了什么，這有助于我們準(zhǔn)確地看到對(duì)有著任意初始配置的流體是如何發(fā)生瞬時(shí)變化的，甚至能精確定位湍流的開始。