“拒人問題”的數(shù)學(xué)模型

為了便于我們分析，讓我們把生活中各種復(fù)雜糾紛的戀愛故事抽象成一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)過程。假設(shè)根據(jù)過去的經(jīng)驗(yàn)，MM 可以確定出今后將會(huì)遇到的男生個(gè)數(shù)，比如說(shuō) 15 個(gè)、30 個(gè)或者 50 個(gè)。不妨把男生的總?cè)藬?shù)設(shè)為 n。這 n 個(gè)男生將會(huì)以一個(gè)隨機(jī)的順序排著隊(duì)依次前來(lái)表白。每次被表白后，MM 都只有兩種選擇：接受這個(gè)男生，結(jié)束這場(chǎng)“征婚游戲”，和他永遠(yuǎn)幸福地生活在一起；或者拒絕這個(gè)男生，繼續(xù)考慮下一個(gè)表白者。我們不考慮 MM 腳踏兩只船的情況，也不考慮和被拒男生破鏡重圓的可能。最后，男人有好有壞，我們不妨假設(shè) MM 心里會(huì)給男生們的優(yōu)劣排出個(gè)名次來(lái)。

聰明的 MM 會(huì)想到一個(gè)好辦法：先和前面幾個(gè)男生玩玩，試試水深；大致摸清了男生們的底細(xì)后，再開始認(rèn)真考慮，和第一個(gè)比之前所有人都要好的男生發(fā)展關(guān)系。從數(shù)學(xué)模型上說(shuō)，就是先拒掉前面 k 個(gè)人，不管這些人有多好；然后從第 k 1 個(gè)人開始，一旦看到比之前所有人都要好的人，就毫不猶豫地選擇他。不難看出，k 的取值很講究，太小了達(dá)不到試的效果，太大了又會(huì)導(dǎo)致真正可選的余地不多了。這就變成了一個(gè)純數(shù)學(xué)問題：在男生總數(shù) n 已知的情況下，當(dāng) k 等于何值時(shí)，按上述策略選中最佳男生的概率最大？

如何求出最優(yōu)的 k 值？

對(duì)于某個(gè)固定的 k，如果最適合的人出現(xiàn)在了第 i 個(gè)位置（k

用 x 來(lái)表示 k/n 的值，并且假設(shè) n 充分大，則上述公式可以寫成：

對(duì) -x · ln x 求導(dǎo)，并令這個(gè)導(dǎo)數(shù)為 0，可以解出 x 的最優(yōu)值，它就是歐拉研究的神秘常數(shù)的倒數(shù)—— 1/e ！

也就是說(shuō)，如果你預(yù)計(jì)求愛者有 n 個(gè)人，你應(yīng)該先拒絕掉前 n/e 個(gè)人，靜候下一個(gè)比這些人都好的人。假設(shè)你一共會(huì)遇到大概 30 個(gè)求愛者，就應(yīng)該拒絕掉前 30/e ≈ 30/2.718 ≈ 11 個(gè)求愛者，然后從第 12 個(gè)求愛者開始，一旦發(fā)現(xiàn)比前面 11 個(gè)求愛者都好的人，就果斷接受他。由于 1/e 大約等于 37%，因此這條愛情大法也叫做 37% 法則。

不過，37% 法則有一個(gè)小問題：如果最佳人選本來(lái)就在這 37% 的人里面，錯(cuò)過這 37% 的人之后，她就再也碰不上更好的了。但在游戲過程中，她并不知道最佳人選已經(jīng)被拒，因此她會(huì)一直癡癡地等待。也就是說(shuō)，MM 將會(huì)有 37% 的概率“失敗退場(chǎng)”，或者以被迫選擇最后一名求愛者的結(jié)局而告終。

37% 法則“實(shí)測(cè)”！

37% 法則的效果究竟如何呢？我們?cè)谟?jì)算機(jī)上編寫程序模擬了當(dāng) n = 30 時(shí)利用 37% 法則進(jìn)行選擇的過程（如果 MM 始終未接受求愛者，則自動(dòng)選擇最后一名求愛者）。編號(hào)越小的男生越次，編號(hào)為 30 的男生則表示最佳選擇。程序運(yùn)行 10000 次之后，竟然有大約 4000 次選中最佳男生，可見 37% 法則確實(shí)有效啊。

計(jì)算機(jī)模擬 10000 次后得到的結(jié)果