1. 簡諧運動中的對稱性

例1. 勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，下端掛一個質(zhì)量為m的小球，小球靜止時距地面的高度為h，用力向下拉球使球與地面接觸，然后從靜止釋放小球（彈簧始終在彈性限度以內(nèi)）則：

A. 運動過程中距地面的最大高度為2h

B. 球上升過程中勢能不斷變小

C. 球距地面高度為h時，速度最大

D. 球在運動中的最大加速度是kh/m

解析：因為球在豎直平面內(nèi)做簡諧運動，球從地面上由靜止釋放時，先做變加速運動，當(dāng)離地面距離為h時合力為零，速度最大，然后向上做變減速運動，到達最高點時速度為零，最低點速度為零時距平衡位置為h，利用離平衡位置速度相同的兩點位移具有對稱性，最高點速度為零時距平衡位置也為h，所以球在運動過程中距地面的最大高度為2h，由于球的振幅為h，由可得，球在運動過程中的最大加速度為，球在上升過程中動能先增大后減小，由整個系統(tǒng)機械能守恒可知，系統(tǒng)的勢能先減小后增大。所以正確選項為ACD。

2. 靜電場中的對稱性

例2. 如圖1所示，帶電量為＋q的點電荷與均勻帶電薄板相距為2d，點電荷到帶電薄板的垂線通過板的幾何中心。若圖中b點處產(chǎn)生的電場強度為零，根據(jù)對稱性，帶電薄板在圖中b點處產(chǎn)生的電場強度大小為多少，方向如何？（靜電力恒量為k）。

圖1

解析：在電場中a點：

板上電荷在a、b兩點的電場以帶電薄板對稱，帶電薄板在b點產(chǎn)生的場強大小為，方向水平向左。

題目中要求帶電薄板產(chǎn)生的電場，根據(jù)中學(xué)物理知識僅能直接求點電荷產(chǎn)生的電場，無法直接求帶電薄板產(chǎn)生的電場；由E_a＝0，可以聯(lián)想到求處于靜電平衡狀態(tài)的導(dǎo)體的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的場強的方法，利用來間接求出帶電薄板在a點的場強，然后根據(jù)題意利用對稱性求出答案。

例3. 靜電透鏡是利用靜電場使電子束會聚或發(fā)散的一種裝置，其中某部分靜電場的分布如圖2所示。虛線表示這個靜電場在xOy平面內(nèi)的一簇等勢線，等勢線形狀相對于Ox軸、Oy軸對稱，等勢線的電勢沿x軸正向增加，且相鄰兩等勢線的電勢差相等。一個電子經(jīng)過P點（其橫坐標(biāo)為）時，速度與Ox軸平行。適當(dāng)控制實驗條件，使該電子通過電場區(qū)域時僅在Ox軸上方運動。在通過電場區(qū)域過程中，該電子沿y方向的分速度v_y，隨位置坐標(biāo)x變化的示意圖是：

圖2

解析：由于靜電場的電場線與等勢線垂直，且沿電場線電勢依次降低，由此可判斷Ox軸上方區(qū)域y軸左側(cè)各點的場強方向斜向左上方，y軸右側(cè)各點的場強方向斜向左下方。電子運動過程中，受到的電場力的水平分力沿x軸正方向，與初速方向相同，因此，電子在x方向上的分運動是加速運動，根據(jù)空間對稱性，電子從x＝運動到過程中，在y軸左側(cè)運動時間比在y軸右側(cè)運動的時間長。電子受到電場力的豎直分力先沿y軸負(fù)方向，后沿y軸正方向。因此電子在y方向上的分運動是先向下加速后向下減速，但由于時間的不對稱性，減速時間比加速時間短，所以，當(dāng)時，的方向應(yīng)沿y軸負(fù)方向。正確答案為D。

3. 電磁現(xiàn)象中的對稱性

例4. 如圖3所示，在一水平放置的平板MN的上方有勻強磁場，磁感應(yīng)強度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向里。許多質(zhì)量為m帶電量為＋q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個方向，由小孔O射入磁場區(qū)域。不計重力，不計粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中R＝。哪個圖是正確的？（ ）

圖3

解析：由于是許多質(zhì)量為m帶電量為＋q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個方向，由孔O射入磁場區(qū)域。所以，重點是考慮粒子進入磁場的速度方向。

在考慮時，想到速度方向在空間安排上是具有“空間對稱性”的，所以，本題就要在分析過程用到對稱性。

①當(dāng)粒子沿垂直MN的方向進入磁場時，由其所受到的“洛倫茲力”的方向可以知道，其作圓周運動的位置在左側(cè)。由“洛倫茲力”公式和圓周運動“向心力”公式可以得到：，解得R＝。所以，在左側(cè)可能會出現(xiàn)以O(shè)為一點的直徑為2R的半圓。

②當(dāng)粒子沿水平向右的方向進入磁場時，其應(yīng)該在MN的上方作圓周運動，且另外的半圓將會出現(xiàn)在點O的左邊。直徑也是2R。

③然后，利用對稱性，所有可能的軌跡將會涉及到以點O為轉(zhuǎn)動點，以2R為直徑從右掃到左的一片區(qū)域。即如圖4所示。

圖4

4. 光學(xué)中的對稱性

例5. 1801年，托馬斯·楊用雙縫干涉實驗研究了光波的性質(zhì)。1834年，洛埃利用單面鏡同樣得到了楊氏干涉的結(jié)果（稱洛埃鏡實驗）。

（1）洛埃鏡實驗的基本裝置如圖5所示，S為單色光源，M為一平面鏡。試用平面鏡成像作圖法在答題卡上畫出S經(jīng)平面鏡反射后的光與直接發(fā)出的光在光屏上相交的區(qū)域。

圖5

（2）設(shè)光源S到平面鏡的垂直距離和到光屏的垂直距離分別為a和L，光的波長為，在光屏上形成干涉條紋。寫出相鄰兩條亮紋（或暗紋）間距離的表達式。

解析：（1）如圖6所示。

圖6

（2）

因為，所以。

試題以托馬斯·楊的雙縫干涉實驗為引導(dǎo)，以洛埃鏡實驗為載體，將平面鏡對光的反射與光的干涉綜合在一起，考查考生對“一分為二”及干涉過程的理解和對課本知識的遷移能力。

［模型特征］

在研究和解決物理問題時，從對稱性的角度去考查過程的物理實質(zhì)，可以避免繁冗的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，迅速而準(zhǔn)確地解決問題。

對稱法是從對稱性的角度研究、處理物理問題的一種思維方法，有時間和空間上的對稱。它表明物理規(guī)律在某種變換下具有不變的性質(zhì)。用這種思維方法來處理問題可以開拓思路，使復(fù)雜問題的解決變得簡捷。

如，一個做勻減速直線運動的物體在至運動停止的過程中，根據(jù)運動的對稱性，從時間上的反演，就能看作是一個初速度為零的勻加速直線運動，于是便可將初速度為零的勻加速直線運動的規(guī)律和特點，用于處理末速度為零的勻減速運動，從而簡化解題過程。

具體如：豎直上拋運動中的速度對稱、時間對稱。沿著光滑斜面上滑的物體運動等具有對稱性；簡諧振動中|v|、|a|、|F|、動勢能對稱以平衡位置的對稱性；光學(xué)中的球型對稱等，總之物理問題通常有多種不同的解法，利用對稱性解題不失為一種科學(xué)的思維方法。

利用對稱法解題的思路：①領(lǐng)會物理情景，選取研究對象；②在仔細(xì)審題的基礎(chǔ)上，通過題目的條件、背景、設(shè)問，深刻剖析物理現(xiàn)象及過程，建立清晰的物理情景，選取恰當(dāng)?shù)难芯繉ο笕邕\動的物體、運動的某一過程或某一狀態(tài)；③透析研究對象的屬性、運動特點及規(guī)律；④尋找研究對象的對稱性特點。⑤利用對稱性特點，依物理規(guī)律，對題目求解。

［模型演練］

將一測力傳感器連接到計算機上就可以測量快速變化的力。圖7甲表示小滑塊（可視為質(zhì)點）沿固定的光滑半球形容器內(nèi)壁在豎直平面的AA”之間來回滑動。A、A”點與O點連線與豎直方向之間夾角相等且都為，均小于10°，圖7乙表示滑塊對器壁的壓力F隨時間t變化的曲線，且圖中t＝0為滑塊從A點開始運動的時刻。試根據(jù)力學(xué)規(guī)律和題中（包括圖中）所給的信息，求小滑塊的質(zhì)量、容器的半徑及滑塊運動過程中的守恒量。（g取10m/s²）

圖7

答案：由圖乙得小滑塊在A、A”之間做簡諧運動的周期s

由單擺振動周期公式，得球形容器半徑代入數(shù)據(jù)，得R＝0.1m

在最高點A，有，式中

在最低點B，有，式中

從A到B過程中，滑塊機械能守恒

聯(lián)立解得：，則m＝0.05kg

滑塊機械能