一元三次方程都可化為x3+px+q=0。它的解是：

其中。

根與系數(shù)的關(guān)系為。

判別式為。當(dāng)時(shí)，有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)復(fù)根；時(shí)，有三個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)三重零根，時(shí)，三個(gè)實(shí)根中有兩個(gè)相等；時(shí)，有三個(gè)不等實(shí)根。

三個(gè)根的三角函數(shù)表達(dá)式（僅當(dāng)時(shí)）為

其中。

一般的一元三次方程可寫成的形式。上式除以，并設(shè)，則可化為如下形式：

，其中，。

可用特殊情況的公式解出，則原方程的三個(gè)根為

。

三個(gè)根與系數(shù)的關(guān)系為

。

三次方程應(yīng)用廣泛。用根號(hào)解一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹公式，并有相應(yīng)的判別法，但使用卡爾丹公式解題比較復(fù)雜，缺乏直觀性。范盛金推導(dǎo)出一套直接用a、b、c、d表達(dá)的較簡(jiǎn)明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，并建立了新判別法——盛金判別法。

1.盛金公式

一元三次方程aX+bX+cX+d=0，（a,b,c,d∈R，且a≠0）

重根判別式

總判別式Δ=B－4AC。

當(dāng)A=B=0時(shí)，

盛金公式1：

當(dāng)Δ=B－4AC>0時(shí)，

盛金公式2：

盛金公式2的三角式：

其中，。

當(dāng)Δ=B－4AC=0時(shí)，

盛金公式3：

其中。

當(dāng)Δ=B－4AC<0時(shí)，

盛金公式4：

其中，（A>0，－1<T<1）。

2.盛金判別法

當(dāng)A=B=0時(shí)，方程有一個(gè)三重實(shí)根。

當(dāng)Δ=B－4AC>0時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根和一對(duì)共軛虛根。

當(dāng)Δ=B－4AC=0時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)根，其中有一個(gè)二重根。

當(dāng)Δ=B－4AC<0時(shí)，方程有三個(gè)不相等的實(shí)根。

3.盛金定理

當(dāng)b=0，c=0時(shí)，盛金公式1無(wú)意義；當(dāng)A=0時(shí)，盛金公式3無(wú)意義；當(dāng)A≤0時(shí)，盛金公式4無(wú)意義；當(dāng)T<－1或T>1時(shí)，盛金公式4無(wú)意義。

當(dāng)b=0，c=0時(shí)，盛金公式1是否成立？盛金公式3與盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T<－1或T>1的值？盛金定理給出如下回答：

盛金定理1：當(dāng)A=B=0時(shí)，若b=0，則必定有c=d=0（此時(shí)，方程有一個(gè)三重實(shí)根0，盛金公式1仍成立）。

盛金定理2：當(dāng)A=B=0時(shí)，若b≠0，則必定有c≠0（此時(shí)，適用盛金公式1解題）。

盛金定理3：當(dāng)A=B=0時(shí)，則必定有C=0（此時(shí)，適用盛金公式1解題）。

盛金定理4：當(dāng)A=0時(shí)，若B≠0，則必定有Δ>0（此時(shí)，適用盛金公式2解題）。

盛金定理5：當(dāng)A<0時(shí)，則必定有Δ>0（此時(shí)，適用盛金公式2解題）。

盛金定理6：當(dāng)Δ=0時(shí)，若A=0，則必定有B=0（此時(shí)，適用盛金公式1解題）。

盛金定理7：當(dāng)Δ=0時(shí)，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此時(shí)，適用盛金公式3解題）。

盛金定理8：當(dāng)Δ<0時(shí)，盛金公式4一定不存在A≤0的值。（此時(shí)，適用盛金公式4解題）。

盛金定理9：當(dāng)Δ<0時(shí)，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出現(xiàn)的值必定是-1<T<1。

顯然，當(dāng)A≤0時(shí)，都有相應(yīng)的盛金公式解題。

注意：盛金定理逆之不一定成立。如：當(dāng)Δ>0時(shí)，不一定有A<0。

盛金定理表明：盛金公式始終保持有意義。任意實(shí)系數(shù)的一元三次方程都可以運(yùn)用盛金公式直觀求解。

當(dāng)一元三次方程的系數(shù)是復(fù)數(shù)時(shí)，直接使用卡丹公式求解，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。此時(shí)，可使用下面的公式：

當(dāng)時(shí)

當(dāng)時(shí)

當(dāng)時(shí)

當(dāng)時(shí)

一元三次方程 x+px+q=0,(p，q∈R) 的求根公式是1545年由意大利學(xué)者卡爾丹發(fā)表在《關(guān)于代數(shù)的大法》一書中，人們就把它叫做卡爾丹公式（有的數(shù)學(xué)資料叫“卡丹公式”）。可是事實(shí)上，發(fā)現(xiàn)公式的人并不是卡爾丹（卡丹）本人，而是塔塔利亞（Tartaglia N.，約1499~1557）。

發(fā)現(xiàn)此公式后，曾據(jù)此與許多人進(jìn)行過(guò)解題競(jìng)賽，他往往是勝利者，因而他在意大利名聲大震。醫(yī)生兼數(shù)學(xué)家卡丹得知塔塔利亞總是獲勝的消息后，就千方百計(jì)地找塔塔利亞探聽他的秘密。當(dāng)時(shí)學(xué)者們通常不急于把自己所掌握的秘密向周圍的人公開，而是以此為秘密武器向別人挑戰(zhàn)比賽，或等待懸賞應(yīng)解，以獲取獎(jiǎng)金。 盡管卡爾丹千方百計(jì)地想探聽塔塔利亞的秘密，但是在很長(zhǎng)時(shí)間中塔塔利亞都守口如瓶。可是后來(lái)，由于卡丹一再懇切要求，而且發(fā)誓對(duì)此保守秘密，于是塔塔利亞在1539年把他的發(fā)現(xiàn)寫成了一首語(yǔ)句晦澀的詩(shī)告訴了卡丹，但是并沒(méi)有給出詳細(xì)的證明。

卡丹并沒(méi)有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的藝術(shù)》一書中向世人公開了這個(gè)解法。他在此書中寫道：“這一解法來(lái)自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亞的塔塔利亞。塔塔利亞在我的懇求之下把這一方法告訴了我，但是他沒(méi)有給出證明。我找到了幾種證法。證法很難，我把它敘述如下。”從此，人們就把一元三次方程的求根公式稱為卡丹公式。 塔塔利亞知道卡丹把自己的秘密公之于眾后，怒不可遏。按照當(dāng)時(shí)人們的觀念，卡丹的做法無(wú)異于背叛，而關(guān)于發(fā)現(xiàn)法則者是誰(shuí)的附筆只能被認(rèn)為是一種公開的侮辱。于是塔塔利亞與卡丹在米蘭市的教堂進(jìn)行了一場(chǎng)公開的辯論。 許多資料都記述過(guò)塔塔利亞與卡丹在一元三次方程求根公式問(wèn)題上的爭(zhēng)論，可是，名為卡丹公式的一元三次方程的求解方法，確實(shí)是塔塔利亞發(fā)現(xiàn)的；卡丹沒(méi)有遵守誓言，因而受到塔塔利亞及許多文獻(xiàn)資料的指責(zé)，卡丹錯(cuò)有應(yīng)得，但是卡丹在公布這一解法時(shí)并沒(méi)有把發(fā)現(xiàn)這一方法的功勞歸于自己，而是如實(shí)地說(shuō)明了這是塔塔利亞的發(fā)現(xiàn)，所以算不上剽竊；而且證明過(guò)程是卡丹自己給出的，說(shuō)明卡丹也做了工作?？ǖび米约旱墓ぷ鲗?duì)塔塔利亞泄露給他的秘密加以補(bǔ)充，違背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人類探索一元n次方程根式解法的進(jìn)程。不過(guò)，公式的名稱，還是應(yīng)該稱為方塔納公式或塔塔利亞公式；稱為卡丹公式是歷史的誤會(huì)。 一元三次方程應(yīng)有三個(gè)根。塔塔利亞公式給出的只是一個(gè)實(shí)根。又過(guò)了大約200年后，隨著人們對(duì)虛數(shù)認(rèn)識(shí)的加深，到了1732年，才由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉找到了一元三次方程三個(gè)根的完整的表達(dá)式。

塔爾塔利亞是意大利人，出生于1500年。他12歲那年，被入侵的法國(guó)兵砍傷了頭部和舌頭，從此說(shuō)話結(jié)結(jié)巴巴，人們就給他一個(gè)綽號(hào)“塔爾塔利亞”(在意大利語(yǔ)中，這是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自學(xué)成才，成了數(shù)學(xué)家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人聽了不服氣，來(lái)找他較量，每人各出30道題，由對(duì)方去解。結(jié)果，塔爾塔利亞30道三次方程的解全做了出來(lái)，對(duì)方卻一道題也沒(méi)做出來(lái)。塔爾塔利亞大獲全勝。這時(shí)，意大利數(shù)學(xué)家卡丹出場(chǎng)，請(qǐng)求塔爾塔利把解方程的方法告訴他，可是遭到了拒絕。后來(lái)卡丹對(duì)塔爾塔利假裝說(shuō)要推薦他去當(dāng)西班牙炮兵顧問(wèn)，并稱自己有許多發(fā)明，唯獨(dú)無(wú)法解三次方程而內(nèi)心痛苦。還發(fā)誓，永遠(yuǎn)不泄漏塔爾塔利亞解一元三次方程式的秘密。塔爾塔利亞這才把解一元三次方程的秘密告訴了卡丹。六年以后，卡丹不顧原來(lái)的信約，在他的著作《關(guān)于代數(shù)的大法》中，將經(jīng)過(guò)改進(jìn)的三次方程的解法公開發(fā)表。后人就把這個(gè)方法叫作卡丹公式，塔爾塔利亞的名字反而被湮沒(méi)了，正如他的真名在口吃以后被埋沒(méi)了一樣。

塔爾塔利亞對(duì)卡丹的背信行為非常惱怒，互相寫信指罵對(duì)方。最終在一個(gè)不明的夜晚，卡丹派人秘密刺殺了塔爾塔利亞。

至于一元四次方程ax+bx+cx+dx+e=0 求根公式由卡丹的學(xué)生費(fèi)拉里找到了。

關(guān)于三次、四次方程的求根公式，因?yàn)橐婕皬?fù)數(shù)概念，復(fù)數(shù)是指能寫成如下形式的數(shù) a+bi ，這里 a 和 b 是實(shí)數(shù)， i 是虛數(shù)單位（即 -1 開根）。 由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入，經(jīng)過(guò)達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受。 復(fù)數(shù)有多種表示法，諸如向量表示、三角表示，指數(shù)表示等。它滿足四則運(yùn)算等性質(zhì)。它是復(fù)變函數(shù)論、解析數(shù)論、傅里葉分析、分形、流體力學(xué)、相對(duì)論、量子力學(xué)等學(xué)科中最基礎(chǔ)的對(duì)象和工具。

一元三次、四次方程求根公式找到后，人們?cè)谂ふ乙辉宕畏匠糖蟾?，三百年過(guò)去了，但沒(méi)有人成功，這些經(jīng)過(guò)嘗試而沒(méi)有得到結(jié)果的人當(dāng)中，不乏有大數(shù)學(xué)家。

后來(lái)年輕的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾于 1824 年所證實(shí)， n(n≥5)次方程沒(méi)有公式解。不過(guò)，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究，其實(shí)并沒(méi)結(jié)束，因?yàn)槿藗儼l(fā)現(xiàn)有些 n(n≥5)次方程可有求根公式。那么又是什么樣的一元n次方程才沒(méi)有求根公式呢？不久，這一問(wèn)題在19世紀(jì)上半期，被法國(guó)天才數(shù)學(xué)家伽羅華利用他創(chuàng)造的全新的數(shù)學(xué)方法所證明，由此一門新的數(shù)學(xué)分支“群論”誕生了。

一元三次方程 系數(shù)和根的關(guān)系如下：

求出 X,Y ，后有

這是個(gè)線性方程，其中為原方程的三個(gè)根。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)