從先天易圖到布爾代數(shù)——自萊布尼茨談起

劍光斷夜 2020-07-02

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一、

羅素在其《西方哲學史》中曾說，萊布尼茨是位“千古絕倫的大智者”。而萊布尼茨的大智慧，不僅繼承了西方的道統(tǒng)，同時也吸收了來自中國的思想。在我看來萊氏是位東西合璧的學者，否則他的成就便不會有那么大。李約瑟在其《中國科學技術史》專門辟有一節(jié)“朱熹、萊布尼茨和有機主義哲學”。美國萊布尼茨專家孟德衛(wèi)也有專著《萊布尼茨和儒學》問世。他們都承認萊布尼茨受到了中國的影響。其實，萊布尼茨在世時也曾出版過有關中國的著作，例如，《中國近事》和《論中國人的自然神學》。并希望在他的辦公室掛一塊“中國辦事處”的牌子。

萊布尼茨不懂中文，但他卻是位的“中國粉”（Sinophile）。因此，探討萊布尼茨與中國的關系就成為一個比較有價值的大課題。由于課題過大，不可能面面俱到，我就只能挑一個小小的方面切入中國思想對他的影響，以及他對中國哲學理解的不足和我的拓展研究。

在我們普通人的眼中，萊布尼茨首先是為數(shù)學家，發(fā)明了微積分等。可是我們要討論的不是這方面的內(nèi)容，而是他對先天易圖所做出的貢獻。萊布尼茨曾與法國來華傳教士、數(shù)學家白晉有過很多封通信。其中就有白晉寄給他的邵雍的先天易圖（方圓圖）。

萊布尼茨發(fā)明了二進制算術，寫過一篇“數(shù)的新科學”的文章給法蘭西皇家科學院，希望籍此文評為院士。但是卻受到科學院的拒絕，認為他的那篇文章不過是數(shù)學游戲，沒有什么應用價值。但收到白晉寄給他的邵雍的方圓圖后，他發(fā)現(xiàn)先前的“數(shù)的新科學”一文終于找到了應用價值，于是又將該文重新修訂，起了一個新的名稱：“二進制算術解說——關于用二個數(shù)字0和1的的用途以及它所給出的中國古代伏羲圖的意義的評注”。將其再次提交法國科學院。憑借這篇文章他成為法蘭西科學院院士。

那么從中方來看，萊布尼茨的這篇論文實際上是開創(chuàng)了易學研究的新路徑。傳統(tǒng)的中國易學研究有象數(shù)派和義理派，但萊布尼茨的研究卻開創(chuàng)了易學的“數(shù)理派”先河。萊布尼茨對先天易圖的貢獻主要有以下二個方面：

1、易圖雖然是二元邏輯運算結構，但它本身并非二進制算術?？墒撬麑㈥庩栘匙x成二進制。卦畫的讀法是從下往上讀，例如下震上坤的復卦讀成初九、六二、六三、六四、六五、上六，根本不是011111。而他的二進制算術卻橫著寫為逢二進一的格式。

2、陰陽爻被寫成數(shù)字0和1，我們從未將陰陽爻寫成0和1。阿拉伯數(shù)字進入中國的時間并不晚，但真正普及開來卻還是20世紀的事情。那么在萊布尼茨那個年代他就將其寫成0和1，對我們而言不能不說是件“新鮮事”。

由于現(xiàn)代計算機用到了二進制，所以萊布尼茨的二進制算術是否來自中國曾經(jīng)是中國學界的一樁公案?？墒乾F(xiàn)代計算機用的是布爾代數(shù)而非萊布尼茨的二進制算術，因此我認為中國學界的公案沒什么大的意義。我倒是認為，萊布尼茨的貢獻應該承認。首先給出了易圖的新讀法，其次將卦畫的寫法數(shù)字化，僅此而已。

我們從來不知道萊布尼茨還對易圖有過研究并做出如此貢獻。這還要感謝日本政治學學者五來欣造，20世紀他留學法國，見到17~18世紀歐洲文化有那么多中國留下的影響，感到很好奇。于是他便來到德國漢諾威萊布尼茨檔案館，將萊布尼茨對中國易圖的研究發(fā)掘出來?；貒髮懗梢徊俊度褰踏为氁菡嗡枷毪思挨埭护胗绊憽?，其中以很大篇幅談論了萊布尼茨關于先天易圖的研究，是他首次發(fā)掘出萊布尼茨所見到的先天易圖。不幸五來關于萊布尼茨易圖研究在日本幾乎沒有影響，原因在于科學史家及易學專家對政治學不感興趣，而政治學者則對二進制算術不感興趣。

后來中國學者劉白閔發(fā)現(xiàn)，該書還是很有價值的。于是便將其譯成中文，由商務印書館出版。這才引起中國學者的注意。在我看來，五來欣造的這一關聯(lián)，可以說是誤導了整整一代學者，讓他們將大量寶貴的精力耗費在這種無用的爭執(zhí)上，甚至成了這個研究領域的“心病”。德國斯圖加特大學教授胡必希曾指出，二進制從它被發(fā)明之日起，本來與技術并無關聯(lián)，萊布尼茨作為發(fā)明者“也根本沒有考慮到這一理論與計算機的關系。”我以為胡必希的意見是值得重視的。

由于萊布尼茨對易圖的貢獻，使我們有了啟示和跳板，將易圖與布爾代數(shù)銜接起來。讓當代信息技術和計算機科學也能在中國文化中扎根，這才是重要的。

二、

萊布尼茨的研究畢竟是純粹的數(shù)學研究，是易學的數(shù)理派的先驅?？墒撬难芯看_實與現(xiàn)代信息技術和計算機科學無關。那么如何超越萊布尼茨直接將先天圖和布爾代數(shù)在數(shù)學之間建立起聯(lián)系，是我所做的工作之一。萊布尼茨見到過邵雍的先天易圖（方圓圖），并對其進行了研究。北宋有五位著名的理學家，他們分別是周敦頤、邵雍、張載、程顥和程頤。他們之中，除了邵雍有數(shù)學家（不是現(xiàn)代意義下的數(shù)學家）的稱謂外，其他都沒有。不難看出，邵雍的獨到之處。同時邵雍的思想也與現(xiàn)代的有許多相通之處。

邵雍終生不仕，潛心學問。除了文字作品如《皇極經(jīng)世·內(nèi)外編》、《漁樵問對》和眾多詩詞歌賦外，最重要的是他傳世的四幅易圖：《伏羲八卦次序圖》、《伏羲八卦方位圖》、《伏羲八卦先天六十四卦次序圖》和《伏羲八卦先天六十四卦方位圖》。這四幅重要的圖均載于南宋大儒朱熹（1130~1200）注的《周易》卷首傳世。

北宋的易學有個大的“范式轉移”，也就是說，以邵雍為首的先天易學取代了以前的后天易學。先天易學與卜筮之學有很大關系，因此后世往往把邵雍作為這個行當?shù)淖鎺煚?。可向有“善易者不卜”的說法。所以，要把邵雍的精華部分提煉出來就是“科學易”最終達到“易科學”，這就是易學數(shù)理派的精髓。

邵雍的思想與當代社會有相通之處。他在《皇極經(jīng)世書：觀物外編》中說：“有意必有言，有言必有象，有象必有數(shù)，數(shù)立則象生，象生則言著彰，言著彰則意顯，象數(shù)則筌蹄（工具）也，言意則魚兔也，得魚兔而忘筌蹄可也，舍筌蹄而求魚兔，則未見其得也。”不難看出，邵雍對數(shù)的重視。接著他又說：“……數(shù)起于形，數(shù)起于質，名起于言，意起于用。天下之數(shù)出乎理，違乎理而入于術，世人以數(shù)而入于術，故失于理也?！边@段話講了數(shù)最終和理是統(tǒng)一的?？墒瞧胀ㄈ送鶎?shù)和理用于“術”，難怪算命打卦把邵雍片面的理解為“術”之鼻祖了。這便誤解了邵雍！

邵雍上述思想可以用當代的語言詮釋。人腦中的思想，可以用言語來表達，因之就將其畫出來，有了圖像，就可以將其轉換為數(shù)字。那么反過來數(shù)字也會還原為圖像，進而圖像又會轉換為言語，言語就會還原為原來的思想。這個過程就是“理”。中間環(huán)節(jié)不可或缺。那么要實現(xiàn)這種轉換就需要工具（筌蹄），在他看來，意、言、象、數(shù)的轉換的特殊工具就是“月窟”（0）和“天根”（1）。“月窟天根”的反復疊加，無窮變換既能實現(xiàn)意、言、象、數(shù)的互變過程。

邵雍的這一思想與萊布尼茨的有相通之處。萊布尼茨也是希望發(fā)明一種可以表達萬事萬物的簡單語言，這樣整個自然世界的和思想世界也可以用這種基本要素來考慮。這就是他所謂的“人類思想字母表”。借助這個思想表人類世界的一切都可以實現(xiàn)計算化。他于1666年發(fā)表的《論組合的藝術》這篇數(shù)理邏輯的論文，的基本思想就是把理論的真理性論證歸結為一種計算的結果。其中就表現(xiàn)出某些現(xiàn)代計算機理論先驅的模型：一切推理、一切發(fā)現(xiàn)等，均能歸結為數(shù)、字、聲、色這些基本元素的有序組合。從這個角度看邵雍和萊布尼茨在思想上是相通的。

邵雍與萊布尼茨在思想上基本相同。到了21世紀，計算機的迅猛發(fā)展讓人類社會進入了信息時代。而計算機所用的是布爾代數(shù)，不是萊布尼茨的二進制算術。計算機只會處理0和1這二個數(shù)。那么既然萊布尼茨把易圖的陰陽爻寫成了0和1，那么如何將其與布爾代數(shù)關聯(lián)起來，就是我一直在思索的問題。我如何超越萊布尼茨的二進制算術，直接將易圖與布爾代數(shù)做一個等價的數(shù)學證明呢？如果能夠成功，從思想史上看，還是有價值的。證明其中存在一種大跨度的形式傳統(tǒng)存在，即邵雍-萊布尼茨-布爾傳統(tǒng)。

三、

萊布尼茨的二進算術與現(xiàn)代計算機用的布爾代數(shù)不是一回事。但在我看來，萊布尼茨對易圖的最大貢獻是開辟了一條新的研究路徑。中國人多少年來從來就沒有把陰陽爻寫成阿拉伯數(shù)字（現(xiàn)在也沒有）?？扇R布尼茨卻將其寫成0和1。我認為這是了非常不起的貢獻。符號寫法的不同會產(chǎn)生非常大的影響。牛頓微積分的流數(shù)法所采用的符號，導致英國在微積分上落后于德國100年的樣子。其關鍵就在于人們普遍采用萊布尼茨的符號。那么，萊布尼茨之所以重要，就是他用數(shù)字0和1代替了陰陽爻。可以說，他的這一符號替代，為古老的易圖開辟了新的路徑。可是，還是要承認，如何將易圖和布爾代數(shù)銜接起來才是重要的

當代德國學者倫曾對萊布尼茨的邏輯進行了系統(tǒng)重構，揭示出五個不同的演算系統(tǒng)。分別將其排列為: CL0.4、CL0.8、CL1、PL1和 CL2。其中的CL1可以通過將概念和概念算子映射為命題和命題算子的集合。CL1的演算是由萊布尼茨在1686 年的“General Inquiries”( GI) 中發(fā)展出的完全的概念代數(shù)。它的演繹等同于或者同構于普通的集合代數(shù)。因為萊布尼茨為 CL1 提供了一個完全的公理的集合，因而他早于布爾 160 年發(fā)現(xiàn)了“布爾代數(shù)”。

那么，能否將邵雍的易圖重構為“布爾代數(shù)”呢？

離散數(shù)學是計算機科學的重要分支之一。其中格論又是重要的組成部分。德國數(shù)學家戴德金在1900年研究對偶集時發(fā)現(xiàn)了格。后來經(jīng)過皮爾士以及施羅德等人的工作，格的研究向前推進一大步。美國數(shù)學家伯克霍夫于1940年出版的《格論》一書，是個劃時代的工作。在格論的研究中，數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)，布爾代數(shù)經(jīng)過特殊化處理后也是一種格，叫做布爾格，或有補分配格。我的工作就是將先天易圖與布爾代數(shù)處理為同構的結構。超越萊布尼茨的工作就實現(xiàn)了。那么古老的易圖也可以從格論的角度對現(xiàn)代計算機進行解釋。

現(xiàn)在來看一下如何通過格論使先天易圖與布爾代數(shù)同構?！兑捉?jīng)》的……易有太極，是生二儀，二儀生四象，四象生八卦……。這幾句話，就是刻畫布爾格的遞進?！疤珮O”、“兩儀”、“四象”和“八卦”都是所謂的“格”，然而，太極、二儀、四象雖然是格，但都不是有補分配格或布爾格。只有八卦才是構建布爾代數(shù)不可或缺的。下面就是傳統(tǒng)的先天易圖的八卦卦畫：