從原因到結(jié)果，這種因果觀念是人們一切自覺(jué)活動(dòng)必不可少的邏輯條件。本文將介紹數(shù)理邏輯如何推演因果關(guān)系，從而認(rèn)識(shí)數(shù)理邏輯的思想和意義。

原因和結(jié)果是一對(duì)哲學(xué)范疇，它反映事物、現(xiàn)象之間的相互聯(lián)系和相互制約。當(dāng)我們把事物從普遍聯(lián)系中抽象出來(lái)，就會(huì)看到有序地不斷更替的運(yùn)動(dòng)，一種現(xiàn)象會(huì)引起另一種現(xiàn)象。前者為原因，后者為結(jié)果，這種因果觀念是人們一切自覺(jué)活動(dòng)必不可少的邏輯條件。

原因和結(jié)果是有客觀內(nèi)容的。例如，由于地心吸力的原因，產(chǎn)生了“蘋(píng)果落地”的結(jié)果。但是，人們撤去這些具體內(nèi)容，僅僅考察它的形式方面，就會(huì)看到人類(lèi)的思維具有形式結(jié)構(gòu)，遵循某種形式推理的規(guī)律。例如，有A必有B，那么沒(méi)有B便一定沒(méi)有A。無(wú)論A和B是什么含義，以上的形式推演都是對(duì)的。研究思維形式結(jié)構(gòu)及其規(guī)律的科學(xué)稱(chēng)為形式邏輯，形式邏輯的任務(wù)是研究因果關(guān)系的形式方面。

狹義的數(shù)理邏輯就是精確化、數(shù)學(xué)化的形式邏輯。它研究命題間的“形式的推理規(guī)律”。

數(shù)學(xué)地表示一個(gè)命題，要用謂詞和八個(gè)邏輯常項(xiàng)，即?(任意)，?(存在)，∧(并且)，∨(或)，=(等于)，?(非)，→(蘊(yùn)涵)，?(當(dāng)且僅當(dāng))。我們用?表示“推出”。謂詞S(a)，P(b)意即a是S，b是P。你也可以賦以實(shí)際含義，如S(a)表示a是質(zhì)數(shù)，P(b)表示b是奇數(shù)等等。倘若我們有以下三個(gè)命題：

(1)?x[S(x)→P(x)]；

(2)?P(a)

(3)?S(a)

那么，我們就能從(1)、(2)推出(3)，不論S(a)、P(b)的含義是什么。如果賦以上述特定含義，原(1)表明若對(duì)任何x，由x是質(zhì)數(shù)蘊(yùn)涵x是奇數(shù)，現(xiàn)在a不是奇數(shù)，那么a必不是質(zhì)數(shù)。

由這一簡(jiǎn)單例子，我們看到(1)、(2)是原因，(3)是結(jié)果。不管它們含義是什么，形式的推演總是對(duì)的。

數(shù)學(xué)是形式化了的思想材料，但它畢竟有它自己的內(nèi)容。例如，二次方程ax2+bx+c =0是一種符號(hào)形式，但它畢竟是方程，二次的，是一個(gè)有內(nèi)容的對(duì)象。數(shù)學(xué)的內(nèi)容是現(xiàn)實(shí)內(nèi)容經(jīng)抽象而成。數(shù)理邏輯則純粹是思維形式，它的內(nèi)容是沒(méi)有真實(shí)意義的。S(a)可表示a是奇數(shù)，也可以表示a不是奇數(shù)，留下的只是形式化的不表示真假現(xiàn)實(shí)意義的內(nèi)容S(a)。這是數(shù)理邏輯的特點(diǎn)，它把因果關(guān)系，命題的關(guān)聯(lián)作了最高程度的抽象。

數(shù)理邏輯的思想可遠(yuǎn)溯到萊布尼茨(G.W.Leibniz)。近代的最重要代表是羅素(B.A.W.Russell)。他認(rèn)為數(shù)學(xué)即邏輯。數(shù)學(xué)無(wú)非是由條件(原因)推出結(jié)論(結(jié)果)，因此羅素提出由邏輯規(guī)則可以生出全部數(shù)學(xué)來(lái)，這就是邏輯主義的觀點(diǎn)。但是，羅素最后失敗了，首先是因?yàn)檫壿嬐蒲葜荒苁怯邢薏剑缭讲涣藷o(wú)限，連自然數(shù)全體都達(dá)不到，更不可能得出整個(gè)數(shù)學(xué)了。其次，如前所說(shuō)，數(shù)學(xué)有它自身的概念、理論和現(xiàn)實(shí)價(jià)值，它不可能被沒(méi)有現(xiàn)實(shí)意義的純粹思維形式所取代。羅素的失敗在意料之中。

但是，數(shù)理邏輯方法畢竟是一門(mén)精致的學(xué)問(wèn)，用它來(lái)描述演繹推理，反映因果關(guān)系十分準(zhǔn)確而簡(jiǎn)明，自有其特殊的價(jià)值。計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，更為數(shù)理邏輯方法提供了用武之地。計(jì)算機(jī)只需要做命題的形式推理，這些形式命題的真實(shí)含義是由人去賦予的，把機(jī)械的形式演繹工作交給計(jì)算機(jī)，讓計(jì)算機(jī)來(lái)承受人的一部分工作，并進(jìn)而使思維過(guò)程中的因果關(guān)系演算化，計(jì)算化(在某種程度上)，這便是數(shù)理邏輯方法的重大意義。