《無(wú)言的宇宙》

 出版社：北京聯(lián)合出版公司

 領(lǐng)讀者：楊羽

 時(shí)間：2017年12月6日開(kāi)始

在本節(jié)中提到一個(gè)關(guān)于數(shù)軸上的磚塊和膠水的問(wèn)題，是磚塊多還是膠水多，載我讀初中的時(shí)候也遇到過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題：數(shù)軸上的數(shù)，是有理數(shù)多還是無(wú)理數(shù)多。

當(dāng)時(shí)很容易就想出來(lái)了，無(wú)理數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于有理數(shù)，因?yàn)槊恳粋€(gè)有理數(shù)加上無(wú)理數(shù)都是無(wú)理數(shù)。我們?nèi)∫粋€(gè)無(wú)理數(shù)π，每一個(gè)有理數(shù)加上π都是無(wú)理數(shù)，拿這一塊的無(wú)理數(shù)和有理數(shù)比，那就一樣多了，更不要說(shuō)其他無(wú)理數(shù)了。

可是有理數(shù)本身也是一個(gè)無(wú)窮大量，假設(shè)一個(gè)集合A是有理數(shù)+π和有理數(shù)+e的并集，那A應(yīng)該是有理數(shù)集的兩倍大。可是有理數(shù)集本身又是無(wú)限大，無(wú)限的兩倍是什么？這不是和無(wú)限違背了嗎？

后來(lái)微積分里可以用等階無(wú)窮、高階無(wú)窮來(lái)比較無(wú)窮之間的關(guān)系，也就是說(shuō)，雖然大家都是無(wú)窮的，但是變化的速度是不一樣的。但是變化速度是人為給的一個(gè)概念，一個(gè)集合本身就在那里安安靜靜的呆著，哪來(lái)的變化速度呢？

哥德?tīng)栍谜軐W(xué)來(lái)暫時(shí)使得試圖思考無(wú)窮的數(shù)學(xué)家們得到解脫，但是這種方式并不能讓所有數(shù)學(xué)家不再質(zhì)疑思考，未來(lái)也許會(huì)有新的思想的沖擊，來(lái)使得無(wú)窮集合不再讓人頭疼。

關(guān)于直面問(wèn)題。本節(jié)主要圍繞集合展開(kāi)討論，本以為數(shù)學(xué)集合學(xué)的還可以的我，看這個(gè)應(yīng)該不吃力，可看到一半我就蒙了。返回來(lái)從開(kāi)頭重新看，雖然沒(méi)有明顯的改觀，但意外的被一句話戳醒。這是一句第一遍閱讀時(shí)漏掉的句子，很隱蔽。

原話是這么說(shuō)的：“諸如愛(ài)因斯坦等偉大科學(xué)家經(jīng)常是那些愿意直面這些不方便事實(shí)的人們，而其他的科學(xué)家卻避而不見(jiàn)?！痹掅槍?duì)的是集合論。

因?yàn)殚L(zhǎng)久以來(lái)，大家基本都認(rèn)為，構(gòu)建數(shù)學(xué)大廈的是數(shù)字，其實(shí)，并不是顯而易見(jiàn)容易理解的數(shù)字，大廈的基礎(chǔ)，其實(shí)是更難被理解的——集合。

這句話細(xì)細(xì)想來(lái)，蠻深刻。日常生活中，大家都有選擇性，包括選擇性看待事物、選擇性完成任務(wù)，喜歡的就做，不喜歡、覺(jué)得難的就不做。不是我們看不見(jiàn)，而是我們怕麻煩，不愿意費(fèi)腦筋，想繞道走。

其實(shí)，困難中蘊(yùn)藏了機(jī)遇，麻煩中包含了潛在的轉(zhuǎn)機(jī)，直面問(wèn)題，才能解決問(wèn)題。發(fā)現(xiàn)集合的過(guò)程，不正是最好的啟示嗎?

#有一點(diǎn)兒無(wú)限#

康托爾發(fā)明了基數(shù)以表示集合大小的絕對(duì)測(cè)度，而所有的實(shí)數(shù)的集合的基數(shù)性，從而證明了數(shù)軸上有理數(shù)只是小部分，更多的部分是由超越數(shù)和無(wú)理數(shù)。而從集合的冪集的基數(shù)是2的集合基數(shù)次冪，也可以得到不存在最大的無(wú)限基數(shù)這一概念。

康托爾進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)不存在一個(gè)包含所有集合的集合，與這一概念相似的，哥德?tīng)栕C明了公理體系內(nèi)一定包含正確但同時(shí)不可證的陳述，這使得公理本身的一致性無(wú)法證明。邏輯學(xué)在此時(shí)，更全面地介入到數(shù)學(xué)領(lǐng)域中。

偉大體現(xiàn)在直面不方便的事實(shí)，而不是避而不見(jiàn)。康托爾直面無(wú)限這個(gè)光怪陸離的世界，發(fā)明了集合大小的絕對(duì)測(cè)度，基數(shù)。不過(guò)他在他所處的時(shí)代也倍受爭(zhēng)議。

基數(shù)也叫勢(shì)，指集合論中刻畫(huà)任意集合所含元素?cái)?shù)量多少的一個(gè)概念。兩個(gè)能夠建立元素間一一對(duì)應(yīng)的集合稱(chēng)為互相對(duì)等集合。例如3個(gè)人的集合和3匹馬的集合可以建立一 一對(duì)應(yīng)，是兩個(gè)對(duì)等的集合。

根據(jù)對(duì)等這種關(guān)系對(duì)集合進(jìn)行分類(lèi)，凡是互相對(duì)等的集合就劃入同一類(lèi)。這樣，每一個(gè)集合都被劃入了某一類(lèi)。任意一個(gè)集合A所屬的類(lèi)就稱(chēng)為集合A的基數(shù)，記作(或|A|，或cardA)。

這樣，當(dāng)A 與B同屬一個(gè)類(lèi)時(shí)，A與B 就有相同的基數(shù)，即|A|=|B|。而當(dāng) A與B不同屬一個(gè)類(lèi)時(shí)，它們的基數(shù)也不同。

如果把單元素集的基數(shù)記作1，兩個(gè)元素的集合的基數(shù)記作2，等等，則任一個(gè)有限集的基數(shù)就與通常意義下的自然數(shù)一致 ?？占幕鶖?shù)也記作0。于是有限集的基數(shù)也就是傳統(tǒng)概念下的“個(gè)數(shù)”。

但是，對(duì)于無(wú)窮集，傳統(tǒng)概念沒(méi)有個(gè)數(shù)，而按基數(shù)概念，無(wú)窮集也有基數(shù)，例如，任一可數(shù)集與自然數(shù)集N有相同的基數(shù)，即所有可數(shù)集是等基數(shù)集?？低袪栕C明實(shí)數(shù)集R與可數(shù)集的基數(shù)不同，有更大的基數(shù)性。這一證明是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最根本、最基礎(chǔ)的突破之一。

連續(xù)統(tǒng)的概念出現(xiàn)?！霸趯?shí)數(shù)集里實(shí)數(shù)可以連續(xù)變動(dòng)”，實(shí)數(shù)集即直線上點(diǎn)的集合為連續(xù)統(tǒng)，也就可以說(shuō)實(shí)數(shù)集是個(gè)連續(xù)統(tǒng)?？低袪柌聹y(cè)在可數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)基數(shù)之間沒(méi)有別的基數(shù)，這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。它又被稱(chēng)為希爾伯特第一問(wèn)題。

康托爾在無(wú)限集合上的工作存在很大的爭(zhēng)議，引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的一次危機(jī)。哥德?tīng)栍眠壿媽W(xué)證明連續(xù)統(tǒng)假說(shuō)不能通過(guò)策-弗公理證明為偽，科恩用“力迫法”證明連續(xù)統(tǒng)假說(shuō)不能通過(guò)策-弗公理證明為真。

于是我們知道連續(xù)統(tǒng)假說(shuō)獨(dú)立于集合論的其他公理。于是我們體會(huì)出來(lái)跨界很重要。