本文經(jīng)授權(quán)摘編自《我們?cè)谒木S空間可以做什么》

撰文：馬特·帕克

譯文：李軒

求取上面這個(gè)數(shù)的立方，然后再求它的9次方、27次方。不斷提高冪次，但要保證這些冪次是3的冪，看看你能發(fā)現(xiàn)什么。

這個(gè)數(shù)是米爾斯常數(shù), 通常用希臘字母θ表示。1947年，普林斯頓數(shù)學(xué)家威廉·米爾斯用一篇只有一頁(yè)的論文證明了這個(gè)數(shù)的存在，但他并不知道具體的數(shù)值是多少。實(shí)際上，米爾斯常數(shù)有很多個(gè)，上面那個(gè)數(shù)是最小的米爾斯常數(shù)。2005年，它的前6850位被計(jì)算了出來(lái)。這個(gè)數(shù)很有意思，它可以產(chǎn)生無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)。你可能已經(jīng)注意到，求取米爾斯常數(shù)的冪次時(shí)，如果冪次是3的冪，那么將結(jié)果向下取整總會(huì)得到一個(gè)素?cái)?shù)。是的，出乎意料的是，這個(gè)數(shù)可以獨(dú)自產(chǎn)生無(wú)限多個(gè)素?cái)?shù)。

當(dāng)我第一次看到米爾斯常數(shù)時(shí)，我的反應(yīng)和大多數(shù)人一樣：我簡(jiǎn)直不敢相信自己的眼睛，心想這怎么可能。實(shí)際上，米爾斯常數(shù)并沒(méi)有那么神奇，它之所以具有這個(gè)性質(zhì)，是經(jīng)過(guò)專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)的。計(jì)算它的數(shù)值時(shí)，是先確定素?cái)?shù)，然后反過(guò)來(lái)找到產(chǎn)生這些素?cái)?shù)的θ。這就好像先往一面墻扔飛鏢，然后再在墻上畫(huà)圓靶。由于計(jì)算米爾斯常數(shù)要先知道它要產(chǎn)生的素?cái)?shù)，它并不能幫助我們尋找素?cái)?shù)。

此外，我們并不能完全確認(rèn)上面的常數(shù)確實(shí)就是米爾斯常數(shù)，它只是目前我們知道的最小米爾斯常數(shù)。我們知道這個(gè)數(shù)一定存在，但有可能真正的米爾斯常數(shù)比它大。之所以不能確定，是因?yàn)槲覀円_保每?jī)蓚€(gè)立方數(shù)之間存在一個(gè)素?cái)?shù)，但目前我們還不能證明素?cái)?shù)的密度可以滿(mǎn)足這一點(diǎn)。令人驚異的是，從黎曼假設(shè)出發(fā)，可以推出這個(gè)結(jié)論。所以，這個(gè)米爾斯常數(shù)數(shù)值的正確性取決于黎曼假設(shè)是否正確。如果黎曼假設(shè)被證明是正確的，許多命題都會(huì)成立，上述推論便是眾多命題之一。

不過(guò)米爾斯常數(shù)倒是啟發(fā)了我們，如果我們想讓某個(gè)數(shù)具有某種性質(zhì)，不妨自己構(gòu)建出來(lái)。這并不是說(shuō)這個(gè)數(shù)是“假”的，它確實(shí)落在數(shù)軸上，和π、 √5 及7一樣“真實(shí)”。因?yàn)槲覀冊(cè)谏钪杏玫降臄?shù)很少，所以我們很容易忘記我們還有非常多的數(shù)。數(shù)軸不僅包含所有人類(lèi)使用過(guò)的數(shù)，還包括你能寫(xiě)出來(lái)的任何數(shù)字串。

為了更好地理解“數(shù)”這個(gè)群體，數(shù)學(xué)家喜歡把它們分門(mén)別類(lèi)，這聽(tīng)上去是一件很有用的事。我們已經(jīng)使用過(guò)整數(shù)和分?jǐn)?shù)（我稱(chēng)它們?yōu)椤靶袨槎苏臄?shù)”），它們要么包含有限的數(shù)字（如1/4 = 0.25），要么反復(fù)重復(fù)一串?dāng)?shù)字（如1/7 = 0.142857 142857 142857 …），但是有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)其實(shí)是一回事，它們?nèi)Q于你使用什么計(jì)數(shù)系統(tǒng)。1/2在十進(jìn)制下是一個(gè)完美的有限小數(shù)——0.5，但是在三進(jìn)制下就會(huì)變成0.111111…；同理，2/3在十進(jìn)制下是0.6666…，但在三進(jìn)制下就可以寫(xiě)成0.2。但無(wú)論是循環(huán)小數(shù)還是有限小數(shù)，它們的數(shù)字都是可預(yù)測(cè)的：它們是“有理” 可循的。 

無(wú)理數(shù)則不同，它們從不按常理出牌。√2 、π 和黃金分割比（φ）就不能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)，并且要預(yù)測(cè)它們后面的數(shù)字也不容易。這就是為什么NASA要不辭勞苦地計(jì)算√2的小數(shù)表示，如果不具體計(jì)算，你不會(huì)知道它的下一位數(shù)字是什么。同樣的，π的每一位數(shù)字也是不可預(yù)測(cè)的，所以才有了各種背π的數(shù)字的大賽。目前的世界紀(jì)錄是有人背出了π的小數(shù)點(diǎn)后67890個(gè)數(shù)字，這顯然比我能記憶2/3的前67890個(gè)數(shù)字厲害多了。

但無(wú)理數(shù)并不是生而平等的，有一些數(shù)更加“無(wú)理”。諸如√2和黃金分割比等無(wú)理數(shù)至少可以由整齊的方程得到：√2可以通過(guò)解方程x²=2得到；黃金分割比可以通過(guò)x=1+1/x得到。如果一個(gè)數(shù)可以由每一項(xiàng)都是有理數(shù)乘以未知數(shù)的整數(shù)冪的方程得到，我們稱(chēng)它為代數(shù)數(shù)。這種方程的正式名稱(chēng)為有理系數(shù)多項(xiàng)式，非正式名稱(chēng)為“整齊方程”（neat equation）。

剩下的無(wú)理數(shù)，例如π和e（2.71828…），則沒(méi)有代數(shù)表示。它們不能由一個(gè)整齊的有限方程得到。除了用符號(hào)π來(lái)表示，π無(wú)法表達(dá)成其他有限的形式，它超越了代數(shù)的表達(dá)能力。雖然我們有一些計(jì)算π的方法，但是這些方法都涉及無(wú)窮級(jí)數(shù)。e同樣如此。因此，這些數(shù)被稱(chēng)為超越數(shù)。它們神秘而狡猾，而且數(shù)量遠(yuǎn)超過(guò)其他種類(lèi)的數(shù)。相比之下，有理數(shù)和代數(shù)數(shù)更像是在超越數(shù)的浩瀚海洋中游動(dòng)的數(shù)，我們對(duì)這片海洋還知之甚少。 

盡管超越數(shù)在數(shù)軸上無(wú)處不在，但要找到它們極其困難。直到1873年，e 才被證明是超越數(shù)，它是超越數(shù)家族中第一個(gè)被人類(lèi)發(fā)現(xiàn)的成員。直到1882 年，π才加入這個(gè)家族。甚至到了今天，我們只知道e+π和e×π中至少有一個(gè)是超越數(shù)，但還不能確定到底是哪個(gè)。在戴維·希爾伯特于1900 年列出的重要數(shù)學(xué)問(wèn)題表中，有一個(gè)問(wèn)題便是確定e^π的超越性。在1934 年，它被證明確實(shí)是超越數(shù)，但是e^e、π^π以及π^e的超越性仍然有待證明。在自然界中，我們極難找到超越數(shù)的足跡。

本文摘編自《我們?cè)谒木S空間可以做什么》（馬克·帕克/著，李軒/譯，后浪出品，2020年7月），經(jīng)出品方授權(quán)使用。

曾是澳大利亞的一名數(shù)學(xué)老師，現(xiàn)居英國(guó)。他既是一名脫口秀演員，又是一名數(shù)學(xué)傳播者。他通過(guò)書(shū)籍、視頻、電臺(tái)節(jié)目、電視節(jié)目和現(xiàn)場(chǎng)喜劇來(lái)傳播數(shù)學(xué)。此外，他還曾是倫敦瑪麗女王大學(xué)數(shù)學(xué)系的公眾參與研究員，擁有自己的YouTube頻道“數(shù)學(xué)棟篤笑”（standupmaths）。他常為《衛(wèi)報(bào)》撰寫(xiě)數(shù)學(xué)方面的文章，在《每日電訊報(bào)》開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)專(zhuān)欄，與布萊恩·考克斯（Brian Cox）長(zhǎng)期搭檔合作BBC4頻道的《無(wú)限猴籠》（The Infinite Monkey Cage）節(jié)目，還曾在探索頻道的《世界工程五霸》（World's Top 5）中出鏡。馬特·帕克于2008年創(chuàng)辦了“數(shù)學(xué)吧”（MathsJam），使其成為數(shù)學(xué)老師、大學(xué)生、學(xué)者和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的非正式聚會(huì)。

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