  編者按 近年來，各地中考試題中不斷出現(xiàn)有關(guān)求動點運動的路徑長問題，隱含了解析幾何“求點的運動軌跡方程”的雛形。這類題目中，條件點隨整個幾何圖形的運動而運動，其背景模糊，軌跡不明，計算繁雜，造成學(xué)生的解題思路受阻。這類題目常設(shè)計為填選壓軸題，，顯得極為重要，從動點所經(jīng)過的路徑來分類，常見的有線段和圓弧。本文擬通過典型中考試題加以解析。探究這類問題的解題思路。 原題呈現(xiàn)
（2018荊門）如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，當(dāng)點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長為（ ?。?/p>  01 中垂線定軌跡  根據(jù)“直角三角形斜邊中線，等于斜邊一半”易知MQ=MC，故點M在線段AC的垂直平分線上，當(dāng)點P與點C重合時，點M在點H處，當(dāng)點P與點A重合時，點M在點G處，故點M的運動路徑長也就是△ACB的中位線GH的長。故點M的運動路徑長=1/2AB=1. 02 中位線定軌跡 02  構(gòu)造如圖矩形PCQN，有PQ=CN，故問題可轉(zhuǎn)化為動點N從A到B運動，其中點M的運動路徑長為多少？顯然當(dāng)N與A重合時，點M與AC的中點K重合，在運動過程中始終有M為NC的中點，故KM=1/2AN，所以點M的運動路徑長就等于點N運動路徑長的一半。問題得解。 03 旋轉(zhuǎn)相似定軌跡 03  過點O作OK⊥AC，易證△OKM∽△OAP，且相似比為1：√2，故點P運動的路徑長等于點M運動路徑長的√2倍，由AB=2，可求得AC=√2，則M運動路徑長為1.
 連接CO取其中點D，根據(jù)中位線性質(zhì)有DM=1/2PO，由題意易求PO=1，故DM=1/2，點D為定點，DM為定長，故點M運動軌跡為圓弧，應(yīng)為主動點P在半圓上運動，故從定點M運動軌跡長是D為圓心，半徑為1/2的半圓弧長。  初中數(shù)學(xué)中動點軌跡的問題，一般有兩種情況：線段或圓?。谘芯看藛栴}時，可以分三步： (1).利用函數(shù)描點法大膽猜想:即對目標(biāo)點描出它的起點、中點、末點時的位置，連接起來，猜想它是什么形狀； （2）尋找不變量，嚴格證實猜想： 在運動中尋找不變的量，即不變的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系．如果動點的軌跡是一條線段，那么其中不變的量便是該動點到某條直線的距離始終保持不變；如果動點的軌跡是一段圓弧，則該動點到某個定點的距離始終保持不變．因此，解決此類動點軌跡問題便可轉(zhuǎn)化為尋找定直線或定點. （3）利用特殊值算出動點路徑長 動點軌跡往往是直線或者圓的一部分。①線段。當(dāng)動點到某條直線或線段的距離相等時，動點的軌跡很可能是條線段；②當(dāng)動點是一個固定角的頂點時，軌跡很可能是條弧。③當(dāng)動點到某定點的長度一定時，軌跡是一條圓弧.  ?  |
|
|
