“三角形分類(lèi)”是北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域中的“圖形的認(rèn)識(shí)”。三角形分類(lèi)的過(guò)程是借助“個(gè)別”獲得“一般性”結(jié)論的歸納過(guò)程。正如東北師范大學(xué)教授史寧中所言：“歸納推理是一個(gè)基于類(lèi)的推理，歸納推理也適用于類(lèi)形成的過(guò)程?！北竟?jié)課借助超腦麥斯學(xué)具“千變?nèi)f化”（簡(jiǎn)稱(chēng)“扣條”）完成了歸納教學(xué)的展開(kāi)過(guò)程。

一、從具體到抽象，異中求同，通過(guò)共相得到類(lèi)

（一）異中求同，發(fā)現(xiàn)分類(lèi)線(xiàn)索

上課伊始，學(xué)生從觀(guān)察生活中物體圖片上的三角形到畫(huà)出兩個(gè)不同三角形再到用pad得到更多的三角形，將一個(gè)個(gè)具體的三角形逐漸抽象為一般的三角形。當(dāng)教師依次追問(wèn)“這無(wú)數(shù)的三角形有什么共同特點(diǎn)”“我們要研究三角形，你認(rèn)為把無(wú)數(shù)個(gè)三角形一個(gè)一個(gè)進(jìn)行研究，可行嗎”“要給三角形分類(lèi)，你認(rèn)為可以從哪里尋找到分類(lèi)線(xiàn)索”三個(gè)問(wèn)題后，學(xué)生自然而然理解了將三角形的共同特征（頂點(diǎn)除外）中“3個(gè)角”“3條邊”作為分類(lèi)線(xiàn)索的合理性。

（二）異中求同，初步獲得分類(lèi)結(jié)果

師：拿出課前我們用“扣條”圍成的三角形學(xué)具，觀(guān)察它的每個(gè)角都是什么角，再看一看哪些三角形的角有共同特征，利用學(xué)具依據(jù)這些特征給三角形分一分類(lèi)。（學(xué)生個(gè)人學(xué)習(xí)后小組進(jìn)行交流與分享）

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學(xué)習(xí)指南

學(xué)習(xí)任務(wù)：觀(guān)察三角形角的特征，給三角形分類(lèi)。

·獨(dú)立學(xué)習(xí)（建議時(shí)間3分鐘）

1. 觀(guān)察每個(gè)三角形的角都是什么角？看一看哪些三角形的角有共同特征。

2. 用三角形學(xué)具實(shí)際分一分，分完后想一想這樣分是否合理？

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師：哪個(gè)小組愿意與全班分享一下你們的分類(lèi)過(guò)程和分類(lèi)結(jié)果？并說(shuō)清楚你們的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。

生1：我們小組是按照是否存在直角把三角形分成了兩類(lèi)。有直角的為一類(lèi)，沒(méi)有直角的為另一類(lèi)。（學(xué)具貼到黑板上）

師：大家看看這樣分可不可以？有沒(méi)有什么補(bǔ)充或質(zhì)疑的？

生2：老師，我們最初也像他們這樣分成兩類(lèi)。后來(lái)小組討論時(shí)，就把沒(méi)有直角的三角形進(jìn)行了細(xì)分，最后分成了三類(lèi)。3個(gè)角都是銳角的為一類(lèi)，2個(gè)銳角和1個(gè)鈍角的為一類(lèi)，2個(gè)銳角和1個(gè)直角的為一類(lèi)。

生3：老師，我們可以說(shuō)得簡(jiǎn)單點(diǎn)，就是有直角的一類(lèi)，有鈍角的一類(lèi)，三個(gè)角都是銳角的一類(lèi)。

……

以上是學(xué)生從眾多三角形3個(gè)角的觀(guān)察出發(fā)橫向上“異中求同”的分類(lèi)過(guò)程，是學(xué)生“通過(guò)共相得到類(lèi)”的學(xué)習(xí)過(guò)程。

二、從個(gè)別到一般，同中求異，通過(guò)異相劃分類(lèi)

史寧中教授表示：“對(duì)于比較復(fù)雜的問(wèn)題，在頭腦中形成一個(gè)合理的分類(lèi)絕不是自然而然的，這需要一個(gè)由混沌到清晰的思維過(guò)程。”當(dāng)學(xué)生有了初步的分類(lèi)結(jié)果后，并不是所有的學(xué)生都能明白這樣分類(lèi)的道理，思維處于“半信半疑”的“混沌”狀態(tài)。因此，有必要對(duì)初步的分類(lèi)結(jié)果進(jìn)行辨析。

師：我們把這類(lèi)中的3個(gè)銳角，也寫(xiě)成“2個(gè)銳角和1個(gè)銳角”。那么，三類(lèi)三角形中都有了2個(gè)銳角，大家想一想，這樣的“2個(gè)銳角”能不能作為區(qū)分它是哪一類(lèi)三角形的標(biāo)準(zhǔn)？

生：不能。

師：誰(shuí)能？

生：排除每個(gè)三角形都有的2個(gè)銳角后剩下的第三個(gè)角就可以區(qū)分了。

師：（指板書(shū)）1直、1鈍或1銳能區(qū)分，那它們也就成了每類(lèi)三角形所獨(dú)有的特征，這個(gè)獨(dú)有特征就是這三類(lèi)三角形的差異所在。

……

通過(guò)對(duì)三角形3個(gè)角特征的辨析，學(xué)生完成了縱向比較、尋找差異的“同中求異”的思考過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了依賴(lài)“個(gè)別”三角形“通過(guò)異相劃分類(lèi)”的分類(lèi)目的。為深入體會(huì)分類(lèi)思想，獲得一般性結(jié)論，師生又展開(kāi)了進(jìn)一步的操作體驗(yàn)。

師：剛剛我們借助三角形學(xué)具按照角的特征將三角形分成了三類(lèi)。記得剛上課時(shí)，同學(xué)們?cè)趐ad里感受到有無(wú)數(shù)個(gè)千變?nèi)f化的三角形。那么，是不是所有的三角形都能歸入這三類(lèi)當(dāng)中呢？有沒(méi)有不屬于這三類(lèi)的？（學(xué)生用pad操作體驗(yàn)）

生：都能分到這三類(lèi)里，沒(méi)有不屬于這三類(lèi)的。

師：現(xiàn)在老師也拖動(dòng)一個(gè)三角形，這是什么三角形？

生：直角三角形。

師：老師拖動(dòng)直角所在的這個(gè)頂點(diǎn)，不斷地向上拖動(dòng)，你來(lái)說(shuō)一說(shuō)它變成了什么三角形？

生：銳角三角形。

師：我們這次再?gòu)闹苯侨切沃苯撬诘捻旤c(diǎn)不斷地向下拖動(dòng)?，F(xiàn)在是什么三角形了？

生：鈍角三角形。

師：通過(guò)剛剛的操作與觀(guān)察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)下面的兩個(gè)角為銳角時(shí)，第三個(gè)角是什么角這個(gè)三角形就是什么三角形。

生2：直角三角形處在中間，有區(qū)分銳角三角形和鈍角三角形的作用。

生3：我感覺(jué)直角三角形像一個(gè)分界線(xiàn)。

……

學(xué)生通過(guò)再次操作pad和觀(guān)察分析，進(jìn)一步體會(huì)到無(wú)論是哪類(lèi)三角形，都至少有兩個(gè)銳角，要判斷一個(gè)三角形是什么三角形，關(guān)鍵要看第三個(gè)角。“第三個(gè)角”便是區(qū)別不同類(lèi)三角形的“異相”，這正是直角三角形是銳角三角形和鈍角三角形的分水嶺的道理所在，分類(lèi)結(jié)論具有了一般性。有了基于“角”特征進(jìn)行分類(lèi)的活動(dòng)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，按照“邊”特征進(jìn)行分類(lèi)自然不是問(wèn)題。無(wú)論是按“角”還是按“邊”給三角形分類(lèi)，學(xué)生都經(jīng)歷了從“通過(guò)共相得到類(lèi)”到“通過(guò)異相劃分類(lèi)”一個(gè)類(lèi)的形成過(guò)程，這一過(guò)程就是學(xué)生歸納思維發(fā)展的過(guò)程。

（作者單位系東北師范大學(xué)附屬小學(xué)，本文系吉林省教育科學(xué)規(guī)劃課題：依托“超腦麥斯”課程提升小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實(shí)踐研究GH171422）

《中國(guó)教師報(bào)》2020年09月23日第5版

作者：劉仙玲