前面講的定點和穩(wěn)定性是研究動力學系統(tǒng)的關鍵點，這是針對簡單的一維動力學系統(tǒng)，二維、三維甚至多維動力學系統(tǒng)則有不一樣的特性。

一維動力學系統(tǒng)的定點往往是單調(diào)的點，二維動力學系統(tǒng)卻體現(xiàn)在振動。環(huán)視我們的周圍，從我們的呼吸、心跳到新陳代謝，從潮起潮落、日出日落到四季變換，從經(jīng)濟的繁榮蕭條到歷史的王朝更替，無一不是振動。可以說整個宇宙就是由不同頻率的振動合奏的一曲最壯觀的交響樂。

為什么振動無處不在？其實依然是因為定點的廣泛存在，振動無非是圍繞定點的波動。回到動力學系統(tǒng)中，振動在相空間中的表現(xiàn)形式就是一個閉合的軌道，因此，在一個二維的動力學系統(tǒng)中，運動形式只有兩種：

1. 平衡態(tài)（定點）

2. 周期運動（振動）

其實定點也無非是振動的一種，在相空間上，定點可以看作是閉合軌道趨于無限小。

下圖就是一個二維動力學系統(tǒng)在相平面上的運動軌跡，可以看到是圍繞某個區(qū)域的一個個閉合軌道組成。

于是，對動力學系統(tǒng)的研究就變成了研究系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)，這種把各種不同形式的系統(tǒng)歸于空間里的拓撲研究的思想，是一種超越性的思想。它標志了數(shù)學在解釋世界的能力上的新高度。 從此，我們對世界的認識，取決于我們對幾何空間的拓撲性的歸類。 那些能夠歸于同一拓撲結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，即使他們的物質(zhì)組成有多不同，但具有相同的動力學本質(zhì)。因此，拓撲的思維具有高屋建瓴，以一敵百的特性。

當系統(tǒng)的維數(shù)達到三維時，混沌（Chaos）就成為了主要特征?；煦缈此齐s亂無章，毫無秩序，但系統(tǒng)依然具有確定性的方程，依然亂中有序。

在一維動力學系統(tǒng)中，穩(wěn)定狀態(tài)是一個點，二維動力學系統(tǒng)中，穩(wěn)定狀態(tài)變成了一個閉合的軌道，那么順著推理下去，按照點---線---面的思路，沒錯！三維動力學系統(tǒng)中，穩(wěn)定狀態(tài)就成為了一個復雜的曲面，這個曲面被稱作“吸引子”。

那么為什么三維非線性動力系統(tǒng)可以產(chǎn)生混沌？就是因為物體的運動軌跡被曲面所吸引，即使最終落入該曲面上，它也可以具備無數(shù)條軌道（曲面上的線是無數(shù)條），軌道變得復雜不可預測，所以混沌。

美國的氣象學家洛倫茲用他優(yōu)美絕倫的洛倫茲方程搞出了我們常說的蝴蝶效應，就是用來描述混沌的，原話是指南美洲一只蝴蝶扇動一下翅膀，就可能引起北美洲的颶風。然而這并非是洛倫茲的本意，因為蝴蝶效應指的其實是動力學流形在相空間中的形態(tài)非常像一只翩翩起舞的蝴蝶。

從上圖可以看出，這個三維系統(tǒng)有兩個吸引中心，系統(tǒng)圍繞這兩個吸引中心旋轉(zhuǎn)，軌道變得復雜不可琢磨，而這些軌道的集合看起來就像一只美麗的蝴蝶。

在三維系統(tǒng)中，這個吸引子曲面是由兩個定點構(gòu)成的，系統(tǒng)時而圍繞其中一個定點旋轉(zhuǎn)，時而圍繞另外一個旋轉(zhuǎn)，但它何時從圍繞一個定點到圍繞另一個定點卻是不可預測的。

這只美麗的蝴蝶是兩個定點構(gòu)成的吸引子，在一些復雜的系統(tǒng)中，還會出現(xiàn)“奇怪吸引子”。什么是“奇怪吸引子”，以下是百度百科的內(nèi)容：

看到了嗎？這奇怪吸引子還能有自相似結(jié)構(gòu)，咦！？我知道你在想什么，是不是類似股票走勢中的中樞和級別，別急，等下章把分形和分維介紹之后，解決纏論動力學的知識點基本就齊全了。