認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：“理解實質(zhì)上就是一個學(xué)習(xí)者以信息的傳輸、編碼為基礎(chǔ)，根據(jù)已有的信息建構(gòu)內(nèi)部心理表征，并進(jìn)而獲得心理意義的過程。”與一般的“理解”相比，數(shù)學(xué)理解具有典型的學(xué)科韻味。首先，理解的對象是數(shù)學(xué)的概念及其關(guān)系,理解意味著對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延的準(zhǔn)確把握，對概念之間相互關(guān)系的清晰認(rèn)識。其次，數(shù)學(xué)理解是過程與結(jié)果的統(tǒng)一。從過程方面看，數(shù)學(xué)理解是學(xué)生與數(shù)學(xué)知識溝通對話，相互融合，不斷成生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。從結(jié)果方面看，數(shù)學(xué)理解則可以看成是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種“獲得”，是外在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)在個體心理上的投射。
基于如上認(rèn)識，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)要素，突出意義的建構(gòu)過程，并完成習(xí)得數(shù)學(xué)知識在一定程度上關(guān)聯(lián)與閉合，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)的真正“理解”。
英國學(xué)者P·歐內(nèi)斯特說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)的問題并不在于尋找最好的教學(xué)方式，而在于明白數(shù)學(xué)是什么，如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便永遠(yuǎn)解決不了教學(xué)上的爭議?！币话阏J(rèn)為，數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，既表現(xiàn)為隱藏在客觀事物背后的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)規(guī)律，又表現(xiàn)為隱藏在數(shù)學(xué)知識背后的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)教學(xué)教什么？無用置疑，擺在第一位的一定是教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)和內(nèi)涵。小數(shù)的意義是什么？追根溯源，小數(shù)并不是由分?jǐn)?shù)改寫而產(chǎn)生的，而是自然數(shù)的十進(jìn)位值計數(shù)規(guī)則加以擴(kuò)展的結(jié)果，它是以10的N次冪為分母的另外一種表示形式，是十進(jìn)制計數(shù)向相反方向衍生的結(jié)果，其本質(zhì)就是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的另一種表現(xiàn)形式。小數(shù)和整數(shù)在形式上是統(tǒng)一的，小數(shù)的出現(xiàn)也使十進(jìn)制計數(shù)法從整數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)，數(shù)的內(nèi)涵更加豐富了。數(shù)的形式改變了，但其中不變的是相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率還是10。借助生活。“小數(shù)的意義”怎么進(jìn)入學(xué)生視野呢？可以從生活中常見的測量身高現(xiàn)象為載體構(gòu)成情境串展開。第一則情境圍繞“小軍的身高是1.4米”，讓學(xué)生思考“這里的1和4分別表示什么”，使其明白，這里的“4”是4格，表示把1米平均分成10份，取了其中的4份，表示0.4米，接著以此為基點逐漸建立起一位小數(shù)的基本含義，即“一位小數(shù)表示十分之幾”；第二則情境圍繞“半個學(xué)期后，小軍再一次量了身高，身高到了1.4到1.5之間，你能想出辦法知道他現(xiàn)在的身高嗎？”展開，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解：可以把1.4與1.5之間繼續(xù)平均分成10份，現(xiàn)在高出的3小格，每一小格是0.01米，即他現(xiàn)在的身高就是1.43米，并在大量素材的比較中建立起兩位小數(shù)的意義，即“兩位小數(shù)表示百分之幾”；然后，以大問題“你覺得還有幾位小數(shù)？請你任選一個兩位以上的小數(shù)，利用表格或紙片進(jìn)行研究”驅(qū)動，把學(xué)生帶到一個更大的空間之中，任學(xué)生的思維自由馳騁，在自我感悟、全班共研的環(huán)境中形成對更多位小數(shù)意義的理解。
關(guān)注創(chuàng)造。“小數(shù)的意義”還可以怎么進(jìn)入學(xué)生視野呢？我們可以創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生畫“0.46”的大問題，讓學(xué)生的思維一次又一次處于“悱憤”之中。對于畫0.46，大多數(shù)孩子都會想到要涂出比4格多一點，多多少呢？在深度卷入中逐漸明白，可以將第5格再平均分成10份，涂6份。進(jìn)而引思：同一幅圖中出現(xiàn)了兩個計數(shù)單位，怎么才能統(tǒng)一計數(shù)單位呢？從而畫出了更為精確的網(wǎng)格圖，將正方形平均分成了100份，這樣，計數(shù)單位悄悄變化，凸顯了相鄰十進(jìn)制計數(shù)單位之間的關(guān)系，進(jìn)而引出兩位小數(shù)的意義。
如上設(shè)計，學(xué)生在理解一位小數(shù)意義的基礎(chǔ)上進(jìn)行已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗的正向遷移，通過一系列的追問，促使學(xué)生將已有十進(jìn)制知識進(jìn)行再創(chuàng)造，經(jīng)歷“做”數(shù)學(xué)的過程，建構(gòu)出兩位小數(shù)對應(yīng)的概念表征，理解了兩位小數(shù)的意義。
二、經(jīng)歷過程，讓學(xué)生卷入“怎么理解”
讓學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)，既是教學(xué)的目標(biāo)，也是理解數(shù)學(xué)的方式。當(dāng)只有教師教，沒有給學(xué)生真正學(xué)習(xí)關(guān)鍵思想和關(guān)聯(lián)點的機(jī)會時，學(xué)生的理解也就無從談起。因此，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程，讓學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)知識。弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)的根源在于普通常識，數(shù)學(xué)實質(zhì)上是人類常識的系統(tǒng)化，因此，每個學(xué)生都可以在一定的指導(dǎo)下，通過自己的實踐活動來獲得這些知識。強(qiáng)化“變式”。比如，在學(xué)生初步理解了一位小數(shù)的意義后，可以讓學(xué)生用正方形的紙片，通過折一折、畫一畫等方法表示0.3。在理解了一位小數(shù)的意義后，再又讓學(xué)生拿出剛剛的那張正方形紙片，在原作品上表示想研究的一個兩位小數(shù)。并對學(xué)生作品進(jìn)行逐一評析，讓其明白，無論畫的是一維的線段還是二維的平面圖形，只要把它們平均分成10份、100份，其中的幾份都可以用小數(shù)來表示，促進(jìn)其進(jìn)一步加深理解對小數(shù)意義的理解和深化。再比如，在學(xué)習(xí)了一位小數(shù)的意義之后，還可以編擬這樣的練習(xí)題，使理解發(fā)生。
第一幅圖沒有“老老實實”地按順序涂三格而是跳著涂；第二幅圖是線段，0.2也是截取的中間一段，打破學(xué)生的思維定勢；第三幅圖是立體圖形，拓展了“1”的外延，發(fā)展學(xué)生的空間思維；而第四幅圖沒有平均分成10分，啟發(fā)思考：如果看不到平均分成10份，還能用小數(shù)表示嗎？使學(xué)生打破思維的定勢，觸及到知識的本質(zhì)，即無論能看到還是看不到平均分成10份，都可以用小數(shù)來表示。豐富“表征”。每一個抽象的數(shù)學(xué)概念，都可以有不同的數(shù)學(xué)表征。不同表征之間的“互譯”，可以豐富兒童對概念內(nèi)涵的把握和洞察。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，鼓勵學(xué)生用“自定義”有意義的形式表征他們的數(shù)學(xué)觀點，在不同的表征方式之間形成豐富的聯(lián)系，有利于形成豐富的概念意象，促進(jìn)對數(shù)學(xué)知識的深入理解。比如，讓學(xué)生在線段、長方形和長方體三種圖形中任選一種來表示0.7、0.23和0.575，從而使其明白：數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的發(fā)展是有規(guī)律可循的，盡管每一種圖都可以表示多位小數(shù)，但是平均分成10份、100份、1000份，分別對應(yīng)一維的線段圖、二維的平面圖和三維的方體圖會顯得更方便些。再比如，在如上舉例中，讓學(xué)生在方格紙上畫出“0.46”，也體現(xiàn)出同樣的特點，在第5份中怎么再平均分成10份呢，有學(xué)生橫著分，也有學(xué)生豎著分，教師引導(dǎo)學(xué)生對兩種表征方式進(jìn)行對比，在肯定都有道理的前提下，引導(dǎo)學(xué)生感覺到，橫著分的優(yōu)勢更明顯：既美觀又明晰，還能更方便把整個正方形平均分成100份。
三、多重關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生實現(xiàn)“理解深刻”
哈佛大學(xué)威金斯教授等人認(rèn)為，理解不是單方面的成就，而是多方面的，可以通過不同類型的證據(jù)表現(xiàn)出來?！罢嬲睦斫狻笨梢栽诹鶄€方面得以體現(xiàn)，即能結(jié)構(gòu)、能解釋、能應(yīng)用、能洞察、能深入、能自知。理解的六個維度表現(xiàn)為評價學(xué)生的數(shù)學(xué)理解提供了多元的指標(biāo)，同時也啟示我們：數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注知識的客觀性標(biāo)準(zhǔn)，也要關(guān)注學(xué)生在理解數(shù)學(xué)時的個性化活動。納入結(jié)構(gòu)。一般情況下，學(xué)習(xí)過程只能按時間順序先后安排，但理解卻并不是直線式的簡單累積，相反，它是螺旋式地發(fā)展、結(jié)構(gòu)式地建造出來的。對于數(shù)學(xué)來說，無論是一個概念的形成，還是整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生，都需要經(jīng)歷一個建構(gòu)的過程。用皮亞杰的話說就是，“每一個結(jié)構(gòu)都是心理發(fā)生的結(jié)果，而心理發(fā)生就是一個從較初級的結(jié)構(gòu)過渡到一個不那么初級的結(jié)構(gòu)?！币虼耍斫獠粌H僅是把新知識與先前的舊有知識產(chǎn)生聯(lián)系，而是創(chuàng)建了一個豐富的、整合的知識結(jié)構(gòu)。比如可以出示這樣的三幅圖，讓學(xué)生填空并思考“它們之間有什么聯(lián)系”；
也可以通過同一個正方體，依次平均分成10份、100份、1000份后所得到一份量，感受不同計數(shù)單位1、0.1、0.01、0.001，進(jìn)一步讓學(xué)生感受一位小數(shù)、兩位小數(shù)與三位小數(shù)的研究模型及其計數(shù)單位之間的關(guān)系。
促進(jìn)闡釋。面對不同的問題人們通常會采取不同的思維方式?；谡鎸嵢蝿?wù)的問題解決將學(xué)校學(xué)習(xí)視為“現(xiàn)實世界中創(chuàng)造性社會實踐中完整的一部分”，對促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解具有重要的作用。真實任務(wù)為學(xué)生提供了一個有意義學(xué)習(xí)并促進(jìn)知識向日常生活動轉(zhuǎn)化的實踐場。在這一實踐場中，知識、思維和學(xué)習(xí)的情境是互相緊密聯(lián)系的，學(xué)生的信念、經(jīng)驗和背景構(gòu)成了解決問題的概念工具。一位老師設(shè)計了這樣一道很有價值的現(xiàn)實問題：“上四年級的小馬在學(xué)校參加了體檢，回家后媽媽問他身高是多少？
小馬回憶了一會兒，說我的身高是這樣的一個小數(shù)，這個小數(shù)里，有數(shù)字9和4，請問，小馬的身高是多少呢？”讓學(xué)生在有趣富有開放性的問題中，運用已經(jīng)理解的小數(shù)意義進(jìn)行解釋和應(yīng)用，同時也有效地建立了數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。還有一位老師在課尾圍繞“有了分?jǐn)?shù)為什么還要學(xué)習(xí)小數(shù)呢”這一思辨性很強(qiáng)的問題進(jìn)行研究，讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)與小數(shù)兩種方法表示結(jié)果，從而感受到用小數(shù)計算比分?jǐn)?shù)來得更加快捷與簡單，進(jìn)而感受到小數(shù)誕生的必要性。
