數(shù)學(xué)是人類智慧的結(jié)晶，是人類文明的重要組成部分。無論是遠(yuǎn)古時(shí)期的屈指計(jì)數(shù)，還是現(xiàn)代社會(huì)電子計(jì)算數(shù)字文明的高速發(fā)展；無論是基于農(nóng)耕文明生產(chǎn)生活實(shí)際需求的數(shù)學(xué)計(jì)算，還是后工業(yè)文明大數(shù)據(jù)模型的普遍應(yīng)用，在人類歷史的文明長(zhǎng)河中，數(shù)學(xué)如同標(biāo)識(shí)人類文明進(jìn)步歷程的標(biāo)尺不斷延伸，一代代數(shù)學(xué)家在前人的基礎(chǔ)上開拓創(chuàng)新、砥礪前行，共同建構(gòu)了輝煌壯麗的人類數(shù)學(xué)文明史。中國(guó)是一個(gè)歷史悠久、文化燦爛的文明古國(guó)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)以其獨(dú)特的起源模式和發(fā)展歷程成為了世界數(shù)學(xué)史研究中不可或缺的重要組成部分。近日，中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所研究員鄒大海以《竹簡(jiǎn)上的數(shù)學(xué)世界》為題的云課程，闡述了出土簡(jiǎn)牘上的數(shù)學(xué)資料價(jià)值與中國(guó)古代社會(huì)的數(shù)學(xué)成就。

　　古老的簡(jiǎn)牘蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)資料

　　現(xiàn)代社會(huì)主要以紙作為記錄信息和知識(shí)的載體，近幾十年來又出現(xiàn)計(jì)算機(jī)、網(wǎng)絡(luò)等高科技手段。紙的發(fā)明很早，但具有重要實(shí)用和推廣價(jià)值的造紙術(shù)是公元2世紀(jì)初年由蔡倫發(fā)明的。大約又過了兩個(gè)世紀(jì)，紙才成為主要的書寫材料。在此之前，中國(guó)古代曾使用過甲骨、銅器、石頭、簡(jiǎn)牘和布帛等來記錄信息和知識(shí)。其中前三樣用在特殊的場(chǎng)合，不具有日常使用的價(jià)值。布帛使用起來很方便，但價(jià)格昂貴，不便推廣。所以在紙流行以前，中國(guó)古代主要使用簡(jiǎn)牘作為書寫材料。簡(jiǎn)牘是由竹子、木頭加工成的片狀物，材料易得、成本低廉、加工也相對(duì)容易，在知識(shí)和文化的傳播中發(fā)揮著重要的作用。歷史研究表明，我國(guó)古代的簡(jiǎn)牘主要使用于公元3世紀(jì)及以前，而這一時(shí)期涵蓋人類文明進(jìn)程的第一軸心時(shí)期。近代中國(guó)對(duì)簡(jiǎn)牘的重視源于大約120年前，在中國(guó)西北的發(fā)現(xiàn)，此后又不斷有新的簡(jiǎn)牘出土，引起了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，對(duì)中國(guó)歷史和文化的研究產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

　　然而，在中國(guó)數(shù)學(xué)史研究中，簡(jiǎn)牘的作用曾長(zhǎng)期非常有限。最早是王國(guó)維先生整理了九九殘簡(jiǎn)，也就是后來我們所熟知的乘法口訣，大家耳熟能詳?shù)乃渍Z“小九九”即源于此?！毒友訚h簡(jiǎn)考釋釋文之部》出版后，嚴(yán)敦杰先生發(fā)掘出了其中與數(shù)學(xué)相關(guān)的材料，并且和相關(guān)傳世文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比研究，發(fā)表了《居延漢簡(jiǎn)算書》，但在此之后很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，學(xué)者對(duì)此領(lǐng)域的研究多未超出嚴(yán)敦杰先生的研究范疇，這種沉寂的狀態(tài)延續(xù)了四十年。直到1983年12月至1984年1月，在湖北江陵張家山247號(hào)漢墓出土的整部竹簡(jiǎn)算書《算數(shù)書》，原有的沉寂狀態(tài)才得以改觀。此書共存190枚簡(jiǎn)，原有書名“算數(shù)書”三字，題寫在一支簡(jiǎn)的背面?！端銛?shù)書》共69個(gè)標(biāo)題，統(tǒng)領(lǐng)著各部分內(nèi)容。出土《算數(shù)書》的漢墓約在呂后二年即公元前186年下葬，距今已有兩千二百年。此書于2000年9月在《文物》上公布，很快引起國(guó)際中國(guó)數(shù)學(xué)史界的重視，出現(xiàn)了一批相關(guān)成果。說來也怪，進(jìn)入21世紀(jì)以來，又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了多種簡(jiǎn)牘數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，其中清華大學(xué)藏戰(zhàn)國(guó)竹簡(jiǎn)“大九九”《算表》、湖南大學(xué)岳麓書院藏秦簡(jiǎn)中的數(shù)學(xué)著作《數(shù)》已全文公布，而睡虎地漢簡(jiǎn)數(shù)學(xué)著作《算術(shù)》、北京大學(xué)藏秦簡(jiǎn)中的多部數(shù)學(xué)著作等已公布了部分內(nèi)容。這些新材料使得中國(guó)古代數(shù)學(xué)史的研究走向了一個(gè)前所未有的繁榮局面。下面就讓我們?cè)卩u大海老師的帶領(lǐng)下，品味原汁原味的中國(guó)古代先賢的數(shù)學(xué)智慧。

　　2000多年前原汁原味的數(shù)學(xué)智慧

　　中國(guó)古代一直使用十進(jìn)制，在甲骨文中數(shù)字的特殊記法，已有位值制的含義，被稱為準(zhǔn)十進(jìn)位值制。算籌是中國(guó)古代長(zhǎng)期使用的主要計(jì)算工具，算籌記數(shù)法是成熟的十進(jìn)位值制記數(shù)法，其產(chǎn)生在春秋早期或更早。作為實(shí)物，算籌就是長(zhǎng)條形小棍，用竹、木制成，也有用金屬甚至象牙制作的，而以竹制為主。戰(zhàn)國(guó)時(shí)代的墓葬中時(shí)有算籌的發(fā)現(xiàn)。比如，甘肅天水縣公元前三世紀(jì)秦國(guó)墓出土二十一根圓形竹棒，長(zhǎng)二十厘米，徑零點(diǎn)三厘米；更早的長(zhǎng)沙左家公山公元前四世紀(jì)楚墓出土了竹算籌，置于竹笥中，與筆、砝碼和梳妝用具放在一起。

　　算籌記數(shù)時(shí)采用縱、橫兩種形式，表示1至9的基本數(shù)字，非常直觀明了：1至5，是幾就用幾根算籌；6-9，用一根算籌放在上方表示其中的5，其余差幾就放幾根；不論縱式、橫式，表示5的算籌總是在上方。算籌記錄多位數(shù)字時(shí)，采取從低位到高位以縱式、橫式相間的方法排列，如遇到0，則空著該位。這種算籌記數(shù)法，與現(xiàn)代流行的印度-阿拉伯?dāng)?shù)字記數(shù)法本質(zhì)上是一樣的，非常簡(jiǎn)潔明了。中國(guó)古代用“九九”口訣配合算籌記數(shù)和運(yùn)算，功能強(qiáng)大，不僅可以進(jìn)行四則運(yùn)算，而且可以開方甚至表示方程、方程組并進(jìn)行求解。后來的珠算盤記數(shù)和運(yùn)算的方法，就是將算籌的記數(shù)和運(yùn)算方法加以改造而形成的。算籌的使用一直延續(xù)到明代，對(duì)我國(guó)古代數(shù)文化的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。

　　湖南省西部龍山縣里耶鎮(zhèn)一號(hào)古井第六層中發(fā)現(xiàn)的記錄“九九”表的木牘，說明在先秦時(shí)期“九九”乘法表已經(jīng)廣為流傳。清華大學(xué)藏戰(zhàn)國(guó)竹簡(jiǎn)《算表》由21支簡(jiǎn)復(fù)原拼合而成，是一特殊的表格。它最上一行從左至右、最右一列從下至上都分別寫著表示從1/2，1，2，……，10，20，……90的文字，上行之下、右行之左分別各有一排小孔，用來穿繩。各行、各列的交叉處寫著乘積，所以這個(gè)表直接給出了1/2，1，2，……，10，20，……90中任意兩個(gè)數(shù)字的乘積。這個(gè)表給出的乘積種類遠(yuǎn)超過九九口訣，所以被稱為“大九九”。它可以用來做乘除運(yùn)算，現(xiàn)代學(xué)者還可以用它來開方，但當(dāng)時(shí)未必有這樣的功能。這個(gè)算表進(jìn)一步證明，“九九”是早已有之的。

　　張家山漢簡(jiǎn)《算數(shù)書》包括十分豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，涉及整數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、比例、面積、體積、負(fù)數(shù)、盈不足（雙設(shè)法）等，很可能還有一個(gè)勾股類問題。岳麓書院藏秦簡(jiǎn)《數(shù)》，是首次發(fā)現(xiàn)的秦簡(jiǎn)數(shù)學(xué)著作，它與《算數(shù)書》大體上相似，但也有一些特色，比如有很多租稅類問題、有比較完整的衡制，值得注意的是它有一不定問題，用盈不足術(shù)來求定解，非常獨(dú)特，在以前的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中從來沒有出現(xiàn)過類似的算題。

　　竹簡(jiǎn)數(shù)學(xué)著作中，記錄大量有關(guān)比例、比例分配、面積、體積等算法和相應(yīng)的算題，證明先秦時(shí)期這些算法已經(jīng)很成熟了。比如，對(duì)于圓臺(tái)體積的算法在岳麓秦簡(jiǎn)《數(shù)》和張家山漢簡(jiǎn)《算數(shù)書》都有記載。岳麓秦簡(jiǎn)《數(shù)》記載：“乘園（圓）亭之述曰：下周耤之，上周耤之，各自乘也，以上周壹乘下周，以高乘之，卅六而成一”。張家山漢簡(jiǎn)《算數(shù)書》：“睘（圜）亭圜亭上周三丈，（大）[下]周四丈，高二丈，積二千五十五尺卅六分尺廿。術(shù)曰：下周乘上周，周自乘，皆并，以高乘之，卅六成[一]。今二千五十五尺[卅六]分[尺]廿。”如果用C1、 C2分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表示高的話，

，這實(shí)際上都是取圓周率為3而展開的計(jì)算，如果不考慮圓周率3的誤差，這個(gè)公式是完全正確的。在鄒大海先生看來，出土數(shù)學(xué)文獻(xiàn)資料展現(xiàn)新的數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以驗(yàn)證以前利用傳世文獻(xiàn)所得出的結(jié)論和所用的研究方法，進(jìn)而改進(jìn)研究方法和思路。

　　簡(jiǎn)牘數(shù)學(xué)文獻(xiàn)有助消解對(duì)中國(guó)早期數(shù)學(xué)智慧的某些疑慮

　　由于中國(guó)古代流傳至今的數(shù)學(xué)著作的最早版本是宋代的刻本，流傳過程中幾經(jīng)抄寫、印刻，難免出現(xiàn)變化甚至于差錯(cuò)，所以書中的有些內(nèi)容，特別是比較高級(jí)的內(nèi)容，會(huì)不會(huì)是后人加上的？這一點(diǎn)容易讓人生疑。另一方面，早期數(shù)學(xué)著作的成書年代，有的古人沒有記載，有的雖有記載，但記載的成書年代與記載人的年代存在兩三個(gè)世紀(jì)的差距，所以對(duì)這些著作的成書年代，也容易引起懷疑。現(xiàn)代學(xué)者對(duì)這些問題，都曾有過不同的判斷，有的西方學(xué)者的懷疑甚至更甚。

　　鄒大海先生根據(jù)簡(jiǎn)牘數(shù)學(xué)文獻(xiàn)對(duì)上述問題進(jìn)行了考察。他以《九章算術(shù)》為例進(jìn)行了分析?！毒耪滤阈g(shù)》是經(jīng)過長(zhǎng)期的代際傳承后流傳下來的中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典。公元3世紀(jì)，劉徽記載說，《九章算術(shù)》有先秦的祖本，秦始皇焚書（其實(shí)還應(yīng)加上秦末的戰(zhàn)亂）導(dǎo)致它受到損壞；到了西漢，張蒼、耿壽昌收集殘存的文本經(jīng)過整理和刪補(bǔ)，形成了《九章算術(shù)》，所以它成書于西漢時(shí)期后期?！毒耪滤阈g(shù)》幾經(jīng)抄寫、印刻才流傳至今，漢代的原本早已失傳，現(xiàn)存最早的《九章算術(shù)》是南宋時(shí)期的翻刻本，這距離《九章算術(shù)》最初成書已有1200多年的歷史。通過將張家山漢墓《算數(shù)書》、岳麓書院藏秦簡(jiǎn)《數(shù)》等數(shù)學(xué)文獻(xiàn)與傳本《九章算術(shù)》進(jìn)行比對(duì)，可以發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中出現(xiàn)的很多數(shù)學(xué)方法和問題不僅在《九章算術(shù)》最后成書的公元前1世紀(jì)可以出現(xiàn)，甚至很多遠(yuǎn)在先秦時(shí)期就已經(jīng)產(chǎn)生了。例如，對(duì)于大家熟悉的雞免同籠之類的問題，中國(guó)古代提出了整套的方法，稱為盈不足術(shù)，在《九章算術(shù)》中專設(shè)一章，章名就叫“盈不足”。老一輩學(xué)者把這種方法追溯到《九章算術(shù)》的成書年代。鄒大海先生多年前根據(jù)張家山漢簡(jiǎn)《算數(shù)書》里面出現(xiàn)的盈不足問題的特點(diǎn)，分析出《九章算術(shù)》里的盈不足方法實(shí)際上在《算數(shù)書》里已得到了應(yīng)用，并推論盈不足方法最初出現(xiàn)的時(shí)間還要從西漢初年往前推到更早的年代，而后來發(fā)現(xiàn)的岳麓書院藏秦簡(jiǎn)《數(shù)》進(jìn)一步證實(shí)了這一點(diǎn)。

　　科學(xué)可以懷疑，科學(xué)也需要懷疑，但由懷疑直接滑落到否定，則未免失于草率。實(shí)際上，通過充分占有和運(yùn)用原始文獻(xiàn)，特別是有明確時(shí)間尺度的出土數(shù)學(xué)文獻(xiàn)資料，完全可以驗(yàn)證傳于后世的早期文獻(xiàn)中的記載是否出于后人的附會(huì)和杜撰。對(duì)于史料的懷疑和審查是必要的，但是懷疑一個(gè)事物在某一時(shí)代存在與肯定其存在，照樣需要基于切實(shí)的證據(jù)和嚴(yán)格的推理。

　　“數(shù)學(xué)是什么？”是人類一直思考的命題。千百年來，無論是學(xué)者，還是門外漢，都很難從哲學(xué)層面給出相對(duì)唯一性的答案，因?yàn)閿?shù)學(xué)是什么，要靠從事數(shù)學(xué)研究的經(jīng)驗(yàn)來回答，隨著時(shí)代的變遷，數(shù)學(xué)的含義和內(nèi)容也會(huì)發(fā)生質(zhì)的改變，而人們的生產(chǎn)生活也伴隨著數(shù)學(xué)的進(jìn)步而產(chǎn)生了根本的變革?！皬哪睦飦?？到哪里去？”是人類的永恒思考。無論現(xiàn)代數(shù)學(xué)、現(xiàn)代科技如何發(fā)達(dá)，當(dāng)我們從古老的出土簡(jiǎn)牘文獻(xiàn)中重新梳理中華先民的數(shù)理智慧的時(shí)候，總能給我們以充滿理性曙光的光明指引。