——談一類參數(shù)取值范圍高考題的解法

含有參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍問題，是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題，解法因題而異多種多樣。其中有一類題目條件設(shè)置巧妙，試題隱藏一個(gè)相同信息：不等式等號(hào)恰好在區(qū)間端點(diǎn)處成立，這一隱而不露的條件是命題人精心設(shè)計(jì)的點(diǎn)睛之筆，也是解題者解決問題的突破口和思維的起點(diǎn)，啟發(fā)解題者思考：若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則不等式恒成立，從而求出參數(shù)的取值范圍，這個(gè)取值范圍就是不等式恒成立的充分條件，有趣的是這個(gè)參數(shù)的取值范圍同時(shí)又是必要條件，當(dāng)然這需要證明。這類試題重點(diǎn)考查考生的探究能力以及運(yùn)算求解和推理論證能力，需要考生有良好的心理素質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能靜下心來挖掘題目隱藏條件，從蛛絲馬跡中尋找解題的突破口，設(shè)計(jì)解題思路猜測(cè)試題結(jié)果。2016年高考全國(guó)卷II文科第20題，以及2016年高考四川卷文科第21題和理科第21題，就是這樣的一類試題，本文用“先充分后必要”的方法給出解答，供參考。

2016年高考全國(guó)卷II文科第20題如下：

  第2問是函數(shù)不等式恒成立，求參數(shù)取值范圍的試題，最容易想到的方法是分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新函數(shù)的最值問題。

可見這一道在高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接處命題且有高等數(shù)學(xué)背景的試題。那么，怎樣用高中知識(shí)來解這道試題呢。不等式恒成立，求參數(shù)取值范圍的試題，當(dāng)分離參數(shù)法失效時(shí)，應(yīng)該考慮等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將不等式變形轉(zhuǎn)化為新的不等式恒成立問題，還可借助數(shù)形結(jié)合思想，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題。根據(jù)不等式的等價(jià)變形情況，本題有三種等價(jià)變形，并且變形后的不等式均可用“先尋找不等式成立的充分條件，再證其為必要條件”的方法進(jìn)行處理求解，解法如下。

無獨(dú)有偶，2016年高考四川卷文科第21題和理科第21題也是這類問題，兩題實(shí)際上是同一個(gè)問題，不同的是文科題目在恒成立問題之前，加了一道不等式證明題，實(shí)際上是增設(shè)了一個(gè)臺(tái)階，降低了試題難度。恒成立問題也可用“先充分后必要”的方法求解，下面給出文科題目與解法。

數(shù)學(xué)全國(guó)卷命題人對(duì)這類不等式恒成立問題似乎情有獨(dú)鐘，在歷年高考中屢見不鮮，如2006年高考全國(guó)卷Ⅱ理科第20題，2007年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第20題，2008年高考全國(guó)卷Ⅱ理科第22題，2010年高考新課標(biāo)全國(guó)卷理科第21題，2010年高考全國(guó)卷Ⅱ理科第22題，在其他省市的高考卷中也時(shí)常見到，這些試題均可從隱藏條件入手用“先探求充分條件，再證其為必要條件”的方法求解，解題的難易及成功與否主要取決于等價(jià)變形后新的不等式。