一、三角函數(shù)的定義：

1. 定義： 在Rt△ABC中，∠C=90°，當(dāng)∠A的大小確定時，∠A的對邊與斜邊的比、∠A的鄰邊與斜邊的比、∠A的對邊與鄰邊的比也是分別確定的；我們把∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，統(tǒng)稱為∠A的三角函數(shù).

2.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）正弦：

（2）余弦：

（3）正切：

溫馨提示：（1）正弦、余弦、正切都是兩條線段的比值，沒有單位；

（2）函數(shù)值大小只與角的大小有關(guān)，與邊的長短和直角三角形的位置無關(guān)；

（3）sinA是一個整體符號，即表示∠A的正弦；當(dāng)銳角是用一個字母或一個希臘字母表示時，通常省去“∠”符號，但不能寫成sin·A；當(dāng)銳角用三個字母表示時，則不能省去“∠”符號，如sin∠BAC不能寫成sin BAC.

二、特殊角的三角函數(shù)值

1.根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義和直角三角形的有關(guān)性質(zhì),可得到30°,45°,60°

角的三角函數(shù)值,列表如下:

2.30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的記憶方法

（1）圖形記憶法:如圖所示，由三角函數(shù)的定義可得30°、45°、60°角的三角函數(shù)值.

（2）增減規(guī)律記憶法：①sinA的值隨A的增大而增大，依次為1/2、√2/2、√3/2.

②cosA的值隨A的值增大而減小，依次為√3/2、√2/2、1/2.

③tanA的值隨A的值增大而增大，依次為√3/3、1、√3.?

三、銳角三角函數(shù)的性質(zhì)

1.自變量和函數(shù)值的取值范圍：

當(dāng)0°<A<90°時，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0.

2.三角函數(shù)常用的推導(dǎo)公式：

①sinA=cos(90°-A)

②sin2A+cos2A=1；sin2A+sin2(90°-A）=1

③

④tanA·tan(90°-A)=1

3.求三角函數(shù)值的方法：

（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求值；

（2）借助邊的數(shù)量關(guān)系求值；

（3）借助等角求值；

（4）根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求值；

（5）構(gòu)造直角三角形求函數(shù)值.

四、解直角三角形

1.解直角三角形的概念：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形.

2.直角三角形的邊角關(guān)系：

（1）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；

（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=∠C=90°；

（3）邊角之間的關(guān)系:

3.解直角三角形的五種類型

在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c.

#銳角三角函數(shù)#

五、三角函數(shù)的應(yīng)用

1.解直角三角形在幾何圖形中的應(yīng)用

（1）一般三角形問題：通過作高把銳角三角形或鈍角三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形求解；

（2）平行四邊形與梯形問題：通過作高把平行四邊形或梯形轉(zhuǎn)化為含有直角三角形的圖形求解

（3）矩形、菱形與正方形問題：通過連接對角線把矩形、菱形或正方形轉(zhuǎn)化為含有直角三角形的圖形求解

2.解直角三角形與圓在實際問題中的綜合運用

?。?）利用切線和連接切點與圓心的半徑構(gòu)造直角三角形；

（2）利用圓的弦與垂直于弦的半徑構(gòu)造直角三角形.

3.解直角三角形的應(yīng)用——仰角、俯角問題

　　如圖，當(dāng)我們進(jìn)行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角.

4. 解直角三角形的應(yīng)用——方向角問題

　　如圖，過觀測點O作一條水平線(一般向右為東)和一條鉛垂線(一般向上為北),則觀測點O與目的地的連線與表示南北方向的鉛垂線的夾角叫做方向角.

4.坡度問題

坡角：坡面與水平面的夾角記做α，稱為坡角.

坡度：坡面的垂直高度h與水平寬度l的比稱為坡度.坡度常用字母表示為i=h：l=tanα.