閱讀了本文，你對(duì)群的認(rèn)知已經(jīng)優(yōu)于高斯。

——題記

(本文敘述了利用圓引導(dǎo)出群的基本概念，文章約1300字，閱讀時(shí)間約需180秒)

(a)抽象的數(shù)學(xué)概念有萬千表象

情侶倆久別重逢，男的高興地將女朋友抱起來旋轉(zhuǎn)。

文學(xué)家見此情景，感慨萬千：“久旱逢甘雨。”

數(shù)學(xué)家見此情景，有些動(dòng)容。不知為何，卻不假思索就想起來圓的軌跡。他的所想可能有如視頻(請點(diǎn)擊視頻的鏈接：向量在圓上的旋轉(zhuǎn)(1)）所見。

數(shù)學(xué)家被這些圖景迷住了，他天馬行空地想象著這些畫面。他好像想到了什么，他認(rèn)為有數(shù)學(xué)語言能描述視頻里的現(xiàn)象。

(b)模擬群的概念的抽象的過程

本文不妨順著這個(gè)數(shù)學(xué)家的思考，來模擬數(shù)學(xué)家怎么抽象一個(gè)數(shù)學(xué)概念的過程，一窺他們的些許智慧。雖然提出如今所見的群的概念的歷史比這遠(yuǎn)遠(yuǎn)復(fù)雜漫長得多，但在群的概念定義以公理形式真正明確下來的時(shí)候，或許本文模擬的過程在某種程度上能印證數(shù)學(xué)家們當(dāng)時(shí)的創(chuàng)造性的想法。

數(shù)學(xué)家有數(shù)學(xué)家獨(dú)特的語言，有別于文學(xué)家。他認(rèn)為視頻的畫面有普遍的意義，他想努力找出一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，對(duì)此作精準(zhǔn)的闡述。

在中學(xué)教科書里，人們已經(jīng)在用坐標(biāo)來描述圓。假設(shè)以原點(diǎn)為圓心，r = 1為圓的半徑,那么圓可以用橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的方程式來表示為方程(2)

(2)單位圓的坐標(biāo)方程

圓上的點(diǎn)為有序?qū)?x, y)，由三角函數(shù)方程(3)

(3)三角函數(shù)

得到啟發(fā)，由表達(dá)式可見這個(gè)圓能用三角函數(shù)方程(3)表示。

三角函數(shù)方程(3)蘊(yùn)含著x,y與圓的半徑r的數(shù)量對(duì)應(yīng)(4)

(4)

三角函數(shù)(3)比較精確的表達(dá)為(5)

(5)單位圓方程

用已經(jīng)知道的數(shù)學(xué)工具在筆記本記下了各種各樣隨意的想法。漸漸地，他概括出一些有意義的性質(zhì)，一些數(shù)學(xué)對(duì)象的輪廓清晰了起來。

借助三角函數(shù)的公式(6)

(6)三角函數(shù)公式

令α=β, 他得到一種被他命名為矩陣的乘法規(guī)則，將三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)成矩陣乘法(7)。

(7)三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)成矩陣乘法

用以表達(dá)cos(α + α)。所謂矩陣為形如(8)

(8)

的數(shù)學(xué)符號(hào)，cosα, sinα是矩陣的元素。請注意矩陣?yán)锏母黜?xiàng)元素是怎么對(duì)應(yīng)的。以此類推，還得到(9)

(9)

將兩個(gè)表達(dá)式的左邊的矩陣拼成一個(gè)矩陣，如圖左邊的矩陣(10)， 右邊的矩陣保持不變。

(10)

兩個(gè)矩陣的乘積等于(11)

(11)

這種乘法的意義何在呢？相當(dāng)于讓代表圓的半徑的向量在坐標(biāo)系上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了α度的角，向量與x軸的夾角變成了2α(12)。

(12)圓的半徑的向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度

繼續(xù)用矩陣(13)

(13)

乘以圖(11)右邊的矩陣可得到(14)

(14)

繼續(xù)繼續(xù)，進(jìn)一步得到(15)

(15)

很容易看出這些乘積的規(guī)律性。數(shù)學(xué)家想讓這種規(guī)律性更顯然，所以他令nα=2π。如此一來，向量能正好旋轉(zhuǎn)到x軸上，即坐標(biāo)點(diǎn)為(1, 0)，如圖(16)。

(16)

在做運(yùn)算的過程中，數(shù)學(xué)家還發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律。

圖(11)右邊的矩陣為左邊的矩陣的第一列，數(shù)學(xué)家想看看在右邊的矩陣的最右邊再添加一列，看看兩個(gè)完全相同的矩陣的乘積是什么(17)(18)(19)。

(17)

(18)

(19)

原來相同矩陣相乘與向量的旋轉(zhuǎn)有相似性。數(shù)學(xué)家心想：“這一定意味著什么！”

數(shù)學(xué)家打算深究這些乘積意味著什么。他繼續(xù)演算，但好像沒有什么特別多的進(jìn)展。他暫時(shí)放下這個(gè)問題，去寫論文了。有一天，他從有理數(shù)的性質(zhì)獲得了啟發(fā)，重新回到這個(gè)問題的研究上來。

經(jīng)過不懈的努力，研究有了重大的突破。以此為契機(jī)，他建立了群的抽象概念。

（本文的續(xù)篇將重點(diǎn)敘述數(shù)學(xué)家如何建立了群的抽象概念）