平行四邊形有關(guān)的知識(shí)定理和題型是初中幾何重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容?？v觀近幾年全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試題，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)平行四邊形有關(guān)的試題因其內(nèi)容的特殊性，一直深受命題老師的青睞，成為中考的必考內(nèi)容。

如一些試題會(huì)從拼圖、剪切和分割到閱讀理解，科學(xué)探究發(fā)現(xiàn)應(yīng)有盡有，題型涉及填空題、選擇題和解答題等多種形式，尤其值得關(guān)注的是與平行四邊形有關(guān)的開(kāi)放探索性問(wèn)題。

學(xué)好平行四邊形，才能為后續(xù)學(xué)好矩形、菱形、正方形等特殊四邊形打好基礎(chǔ)，這樣才能順利拿下中考幾何的分?jǐn)?shù)。在一些省市的中考數(shù)學(xué)試卷當(dāng)中，平行四邊形有關(guān)的壓軸題大多以“存不存在”的形式出現(xiàn)，需要學(xué)生根據(jù)題意結(jié)合平行四邊形相關(guān)知識(shí)利用分類討論法和數(shù)形結(jié)合思想畫(huà)圖與分析相關(guān)情況，考生在面對(duì)此類問(wèn)題的時(shí)候，往往難以準(zhǔn)確畫(huà)圖和分析。

因此，我們今天對(duì)平行四邊形有關(guān)問(wèn)題的方法和技巧進(jìn)行分析，體會(huì)具體解決過(guò)程，提煉解題方法，熟悉題型，從而達(dá)到解一題會(huì)一類的效果，提升中考復(fù)習(xí)效率。

如圖，已知平行四邊形ABCD，過(guò)A作AM⊥BC于M，交BD于E，過(guò)C作CN⊥AD于N，交BD于F，連結(jié)AF、CE．

（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；

（2）當(dāng)AECF為菱形，M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí)，求AB：AE的值．

考點(diǎn)分析：

平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形

題干分析：

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、垂直的定義、平行線的判定定理可以推知AE∥CF；然后由ASA推知△ADE≌△CBF；最后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等知AE=CF，根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定得出結(jié)論。

（2）如圖，連接AC交BF于點(diǎn)0．由菱形的判定定理推知平行四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的鄰邊相等知AB=BC；然后結(jié)合已知條件“M是BC的中點(diǎn)，AM丄BC”證得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE=CF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），從而證得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求得CF：BC=tan∠CBF=√3/3，利用等量代換知（AE=CF，AB=BC）AB：AE=√3。

平行四邊形是中考必考內(nèi)容，主要考查平行四邊形的性質(zhì)及其判定：

1、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

2、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

3、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

4、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

平行四邊形有關(guān)的綜合試題，我們要關(guān)注其綜合性、開(kāi)放性、探索性和應(yīng)用性等多方面。此類試題綜合性強(qiáng)，知識(shí)覆蓋面廣，對(duì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求較高，不少考生解答此類壓軸題感到困難。

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在正比例函數(shù)y=x的圖象上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0）。以點(diǎn)P為圓心，√5m為半徑的圓交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于C、D兩點(diǎn)（D點(diǎn)在點(diǎn)C的上方）。點(diǎn)E為平行四邊形DOPE的頂點(diǎn)（如圖）。

（1）寫出點(diǎn)B、E的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）連接DB、BE，設(shè)△BDE的外接圓交y軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q異于點(diǎn)D），連接EQ、BQ。試問(wèn)線段BQ與線段EQ的長(zhǎng)是否相等？為什么？

（3）連接BC，求∠DBC－∠DBE的度數(shù)。

考點(diǎn)分析：

直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理和逆定理，圓的對(duì)稱性，平行四邊形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。

題干分析：

（1）過(guò)點(diǎn)P 作PH⊥x軸于點(diǎn)H，PF⊥y軸于點(diǎn)F，連接OE，BP。

∵點(diǎn)P在正比例函數(shù)y=x的圖象上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0），

∴ P（m，m），H（m，0），F(xiàn)（0，m），OH=OF=HP= m。

∵PB=√5m，∴HB=2m。

∴OB=3 m。∴B（3m，0）。

∵根據(jù)圓的對(duì)稱性，點(diǎn)D點(diǎn)B關(guān)于y=x對(duì)稱，

∴D（0，3m）。

∵四邊形DOPE是平行四邊形，

∴PE=OD=3m，HE=4m。

∴E（m，4 m）。

（2）由勾股定理和逆定理，易知△BDE是直角三角形，從而根據(jù)圓周角定理和垂徑定理可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而根據(jù)勾股定理可求出BQ和EQ的長(zhǎng)比較即得。

（3）求出有關(guān)線段的長(zhǎng)，可得OC/DE=OB/DB，從而證得△COB∽△EDB，得到∠OBC=∠DBE。因此∠DBC－∠DBE=∠DBC－∠OBC=∠DBO=450。

要想在中考里正確解決平行四邊形有關(guān)的壓軸題，拿到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)，一方面除了要鞏固好知識(shí)定理，另一方面更要總結(jié)題型，提煉解題方法，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行加工、演變、拓展、變式訓(xùn)練，必定能戰(zhàn)勝中考。