前言

當我們發(fā)現(xiàn)SQL執(zhí)行很慢的時候，自然而然想到的就是加索引。對于范圍查詢，索引的底層結(jié)構(gòu)就是B+樹。今天我們一起來學(xué)習(xí)一下B+樹哈~

公眾號：「撿田螺的小男孩」

• 樹簡介、樹種類
• B-樹、B+樹簡介
• B+樹插入
• B+樹查找
• B+樹刪除
• B+樹經(jīng)典面試題

樹的簡介

樹的簡介

樹跟數(shù)組、鏈表、堆棧一樣，是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。它由有限個節(jié)點，組成具有層次關(guān)系的集合。因為它看起來像一棵樹，所以得其名。一顆普通的樹如下:

樹是包含n（n為整數(shù)，大于0）個結(jié)點， n-1條邊的有窮集，它有以下特點：

?

• 每個結(jié)點或者無子結(jié)點或者只有有限個子結(jié)點；
• 有一個特殊的結(jié)點,它沒有父結(jié)點，稱為根結(jié)點；
• 每一個非根節(jié)點有且只有一個父節(jié)點；
• 樹里面沒有環(huán)路

?

一些有關(guān)于樹的概念：

?

• 結(jié)點的度：一個結(jié)點含有的子結(jié)點個數(shù)稱為該結(jié)點的度；
• 樹的度：一棵樹中，最大結(jié)點的度稱為樹的度；
• 父結(jié)點：若一個結(jié)點含有子結(jié)點，則這個結(jié)點稱為其子結(jié)點的父結(jié)點；
• 深度：對于任意結(jié)點n,n的深度為從根到n的唯一路徑長，根結(jié)點的深度為0；
• 高度：對于任意結(jié)點n,n的高度為從n到一片樹葉的最長路徑長，所有樹葉的高度為0；

?

樹的種類

按照有序性，可以分為有序樹和無序樹：

?

• 無序樹：樹中任意節(jié)點的子結(jié)點之間沒有順序關(guān)系
• 有序樹：樹中任意節(jié)點的子結(jié)點之間有順序關(guān)系

?

按照節(jié)點包含子樹個數(shù)，可以分為B樹和二叉樹，二叉樹可以分為以下幾種：

?

• 二叉樹：每個節(jié)點最多含有兩個子樹的樹稱為二叉樹；
• 二叉查找樹：首先它是一顆二叉樹，若左子樹不空，則左子樹上所有結(jié)點的值均小于它的根結(jié)點的值；若右子樹不空，則右子樹上所有結(jié)點的值均大于它的根結(jié)點的值；左、右子樹也分別為二叉排序樹；
• 滿二叉樹：葉節(jié)點除外的所有節(jié)點均含有兩個子樹的樹被稱為滿二叉樹；
• 完全二叉樹：如果一顆二叉樹除去最后一層節(jié)點為滿二叉樹，且最后一層的結(jié)點依次從左到右分布
• 霍夫曼樹：帶權(quán)路徑最短的二叉樹。
• 紅黑樹：紅黑樹是一顆特殊的二叉查找樹，每個節(jié)點都是黑色或者紅色，根節(jié)點、葉子節(jié)點是黑色。如果一個節(jié)點是紅色的，則它的子節(jié)點必須是黑色的。
• 平衡二叉樹（AVL）：一 棵空樹或它的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1，并且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹

?

B-樹、B+樹簡介

B-樹 簡介

B-樹，也稱為B樹，是一種平衡的多叉樹（可以對比一下平衡二叉查找樹），它比較適用于對外查找?？聪逻@幾個概念哈：

?

• 階數(shù)：一個節(jié)點最多有多少個孩子節(jié)點。（一般用字母m表示）
• 關(guān)鍵字：節(jié)點上的數(shù)值就是關(guān)鍵字
• 度：一個節(jié)點擁有的子節(jié)點的數(shù)量。

?

一顆m階的B-樹，有以下特征：

?

• 根結(jié)點至少有兩個子女；
• 每個非根節(jié)點所包含的關(guān)鍵字個數(shù) j 滿足：?m/2? - 1 <= j <= m - 1.(??表示向上取整)
• 有k個關(guān)鍵字(關(guān)鍵字按遞增次序排列)的非葉結(jié)點恰好有k+1個孩子。
• 所有的葉子結(jié)點都位于同一層。

?

一棵簡單的B-樹如下：

B+ 樹簡介

B+樹是B-樹的變體，也是一顆多路搜索樹。一棵m階的B+樹主要有這些特點：

?

• 每個結(jié)點至多有m個子女;
• 非根節(jié)點關(guān)鍵值個數(shù)范圍：?m/2? - 1 <= k <= m-1
• 相鄰葉子節(jié)點是通過指針連起來的，并且是關(guān)鍵字大小排序的。

?

一顆3階的B+樹如下：

B+樹和B-樹的主要區(qū)別如下：

• B-樹內(nèi)部節(jié)點是保存數(shù)據(jù)的;而B+樹內(nèi)部節(jié)點是不保存數(shù)據(jù)的，只作索引作用，它的葉子節(jié)點才保存數(shù)據(jù)。
• B+樹相鄰的葉子節(jié)點之間是通過鏈表指針連起來的，B-樹卻不是。
• 查找過程中，B-樹在找到具體的數(shù)值以后就結(jié)束，而B+樹則需要通過索引找到葉子結(jié)點中的數(shù)據(jù)才結(jié)束
• B-樹中任何一個關(guān)鍵字出現(xiàn)且只出現(xiàn)在一個結(jié)點中，而B+樹可以出現(xiàn)多次。

B+樹的插入

B+樹插入要記住這幾個步驟：

• 1.B+樹插入都是在葉子結(jié)點進行的，就是插入前，需要先找到要插入的葉子結(jié)點。
• 2.如果被插入關(guān)鍵字的葉子節(jié)點，當前含有的關(guān)鍵字數(shù)量是小于階數(shù)m，則直接插入。
• 3.如果插入關(guān)鍵字后，葉子節(jié)點當前含有的關(guān)鍵字數(shù)目等于階數(shù)m，則插，該節(jié)點開始「分裂」為兩個新的節(jié)點，一個節(jié)點包含?m/2? 個關(guān)鍵字，另外一個關(guān)鍵字包含?m/2?個關(guān)鍵值。（?m/2?表示向下取整，?m/2?表示向上取整，如?3/2?=2）。
• 4.分裂后，需要將第?m/2?的關(guān)鍵字上移到父結(jié)點。如果這時候父結(jié)點中包含的關(guān)鍵字個數(shù)小于m，則插入操作完成。
• 5.分裂后，需要將?m/2?的關(guān)鍵字上移到父結(jié)點。如果父結(jié)點中包含的關(guān)鍵字個數(shù)等于m，則繼續(xù)分裂父結(jié)點。

以一顆4階的B+樹為例子吧，4階的話，關(guān)鍵值最多3（m-1）個。假設(shè)插入以下數(shù)據(jù)43，48，36，32,37,49,28.

1. 在空樹中插入43

這時候根結(jié)點就一個關(guān)鍵值，此時它是根結(jié)點也是葉子結(jié)點。

2. 依次插入48，36

這時候跟節(jié)點擁有3個關(guān)鍵字，已經(jīng)滿了

3. 繼續(xù)插入 32，發(fā)現(xiàn)當前節(jié)點關(guān)鍵字已經(jīng)不小于階數(shù)4了，于是分裂 第?4/2?=2（下標0,1,2）個，也即43上移到父節(jié)點。

4. 繼續(xù)插入37，49，前節(jié)點關(guān)鍵字都是還沒滿的，直接插入，如下：

5. 最后插入28，發(fā)現(xiàn)當前節(jié)點關(guān)鍵字也是不小于階數(shù)4了，于是分裂，于是分裂， 第 ?4/2?=2個，也就是36上移到父節(jié)點，因父子節(jié)點只有2個關(guān)鍵值，還是小于4的，所以不用繼續(xù)分裂，插入完成

   
   

B+樹的查找

因為B+樹的數(shù)據(jù)都是在葉子節(jié)點上的，內(nèi)部節(jié)點只是指針索引的作用，因此，查找過程需要搜索到葉子節(jié)點上。還是以這顆B+樹為例吧：

B+ 樹單值查詢

假設(shè)我們要查的值為32.

第一次磁盤 I/O，查找磁盤塊1，即根節(jié)點（36,43）,因為32小于36，因此訪問根節(jié)點的左邊第一個孩子節(jié)點

第二次磁盤 I/O, 查找磁盤塊2，即根節(jié)點的第一個孩子節(jié)點，獲得區(qū)間(28,32),遍歷即可得32.

動態(tài)圖如下：

B+ 樹范圍查詢

假設(shè)我們要查找區(qū)間 [32,40]區(qū)間的值.

第一步先訪問根節(jié)點，發(fā)現(xiàn)區(qū)間的左端點32小于36,則訪問根節(jié)點的第一個左子樹(28,32);

第二步訪問節(jié)點（28,32），找到32，于是開始遍歷鏈表，把[32,40]區(qū)間值找出來，這也是B+樹比B-樹高效的地方。

B+樹的刪除

B+樹刪除關(guān)鍵字，分這幾種情況

• 找到包含關(guān)鍵值的結(jié)點，如果關(guān)鍵字個數(shù)大于?m/2?-1，直接刪除即可；
• 找到包含關(guān)鍵值的結(jié)點,如果關(guān)鍵字個數(shù)大于?m/2?-1，并且關(guān)鍵值是當前節(jié)點的最大（?。┲?，并且該關(guān)鍵值存在父子節(jié)點中，那么刪除該關(guān)鍵字，同時需要相應(yīng)調(diào)整父節(jié)點的值。
• 找到包含關(guān)鍵值的結(jié)點，如果刪除該關(guān)鍵字后，關(guān)鍵字個數(shù)小于?m/2?，并且其兄弟結(jié)點有多余的關(guān)鍵字，則從其兄弟結(jié)點借用關(guān)鍵字
• 找到包含關(guān)鍵值的結(jié)點，如果刪除該關(guān)鍵字后，關(guān)鍵字個數(shù)小于?m/2?，并且其兄弟結(jié)點沒有多余的關(guān)鍵字，則與兄弟結(jié)點合并。

如果關(guān)鍵字個數(shù)大于?m/2?，直接刪除即可；

假設(shè)當前有這么一顆5階的B+樹

如果刪除22，因為關(guān)鍵字個數(shù)為3 > ?5/2?-1=2， 直接刪除（??表示向上取整的意思）

如果關(guān)鍵字個數(shù)大于?m/2?-1，并且刪除的關(guān)鍵字存在于父子節(jié)點中，那么需要相應(yīng)調(diào)整父子節(jié)點的值

如果刪除20，因為關(guān)鍵字個數(shù)為3 > ?5/2?-1=2，并且20是當前節(jié)點的邊界值，且存在父子節(jié)點中，所以刪除后，其父子節(jié)點也要響應(yīng)調(diào)整。

如果刪除該關(guān)鍵字后，關(guān)鍵字個數(shù)小于?m/2?-1，兄弟節(jié)點可以借用

以下這顆5階的B+樹，

如果刪除15,刪除關(guān)鍵字的結(jié)點只剩1個關(guān)鍵字，小于?5/2?-1=2，不滿足B+樹特點，但是其兄弟節(jié)點擁有3個元素（7,8,9），可以借用9過來，如圖：

在刪除關(guān)鍵字后，如果導(dǎo)致其結(jié)點中關(guān)鍵字個數(shù)不足，并且兄弟結(jié)點沒有得借用的話，需要合并兄弟結(jié)點

以下這顆5階的B+樹：

如果刪除關(guān)鍵字7，刪除關(guān)鍵字的結(jié)點只剩1個關(guān)鍵字，小于?5/2?-1=2，不滿足B+樹特點，并且兄弟結(jié)點沒法借用，因此發(fā)生合并，如下：

主要流程醬紫：

• 因為7被刪掉后，只剩一個8的關(guān)鍵字，不滿足B+樹特點（?m/2?-1<=關(guān)鍵字<=m-1）。
• 并且沒有兄弟結(jié)點關(guān)鍵字借用，因此8與前面的兄弟結(jié)點結(jié)合。
• 被刪關(guān)鍵字結(jié)點的父節(jié)點，7索引也被刪掉了，只剩一個9，并且其右兄弟結(jié)點（18,20）只有兩個關(guān)鍵字，也是沒得借，因此在此合并。
• 被刪關(guān)鍵字結(jié)點的父子節(jié)點，也和其兄弟結(jié)點合并后，只剩一個子樹分支，因此根節(jié)點（16）也下移了。

所以刪除關(guān)鍵字7后的結(jié)果如下：

B+樹經(jīng)典面試題

• InnoDB一棵B+樹可以存放多少行數(shù)據(jù)？
• 為什么索引結(jié)構(gòu)默認使用B+樹，而不是hash，二叉樹，紅黑樹，B-樹？
• B-樹和B+樹的區(qū)別

InnoDB一棵B+樹可以存放多少行數(shù)據(jù)？

這個問題的簡單回答是：約2千萬行。

• 在計算機中，磁盤存儲數(shù)據(jù)最小單元是扇區(qū)，一個扇區(qū)的大小是512字節(jié)。
• 文件系統(tǒng)中，最小單位是塊，一個塊大小就是4k；
• InnoDB存儲引擎最小儲存單元是頁，一頁大小就是16k。

因為B+樹葉子存的是數(shù)據(jù)，內(nèi)部節(jié)點存的是鍵值+指針。索引組織表通過非葉子節(jié)點的二分查找法以及指針確定數(shù)據(jù)在哪個頁中，進而再去數(shù)據(jù)頁中找到需要的數(shù)據(jù)；

假設(shè)B+樹的高度為2的話，即有一個根結(jié)點和若干個葉子結(jié)點。這棵B+樹的存放總記錄數(shù)為=根結(jié)點指針數(shù)*單個葉子節(jié)點記錄行數(shù)。

• 如果一行記錄的數(shù)據(jù)大小為1k，那么單個葉子節(jié)點可以存的記錄數(shù) =16k/1k =16.
• 非葉子節(jié)點內(nèi)存放多少指針呢？我們假設(shè)主鍵ID為bigint類型，長度為8字節(jié)，而指針大小在InnoDB源碼中設(shè)置為6字節(jié)，所以就是8+6=14字節(jié)，16k/14B =16*1024B/14B = 1170

因此，一棵高度為2的B+樹，能存放1170 * 16=18720條這樣的數(shù)據(jù)記錄。同理一棵高度為3的B+樹，能存放1170 *1170 *16 =21902400，也就是說，可以存放兩千萬左右的記錄。B+樹高度一般為1-3層，已經(jīng)滿足千萬級別的數(shù)據(jù)存儲。

為什么索引結(jié)構(gòu)默認使用B+樹，而不是B-Tree，Hash哈希，二叉樹，紅黑樹？

簡單版回答如下：

• Hash哈希，只適合等值查詢，不適合范圍查詢。
• 一般二叉樹，可能會特殊化為一個鏈表，相當于全表掃描。
• 紅黑樹，是一種特化的平衡二叉樹，MySQL 數(shù)據(jù)量很大的時候，索引的體積也會很大，內(nèi)存放不下的而從磁盤讀取，樹的層次太高的話，讀取磁盤的次數(shù)就多了。
• B-Tree，葉子節(jié)點和非葉子節(jié)點都保存數(shù)據(jù)，相同的數(shù)據(jù)量，B+樹更矮壯，也是就說，相同的數(shù)據(jù)量，B+樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，查詢磁盤的次數(shù)會更少。

B-樹和B+樹的區(qū)別

• B-樹內(nèi)部節(jié)點是保存數(shù)據(jù)的;而B+樹內(nèi)部節(jié)點是不保存數(shù)據(jù)的，只作索引作用，它的葉子節(jié)點才保存數(shù)據(jù)。
• B+樹相鄰的葉子節(jié)點之間是通過鏈表指針連起來的，B-樹卻不是。
• 查找過程中，B-樹在找到具體的數(shù)值以后就結(jié)束，而B+樹則需要通過索引找到葉子結(jié)點中的數(shù)據(jù)才結(jié)束
• B-樹中任何一個關(guān)鍵字出現(xiàn)且只出現(xiàn)在一個結(jié)點中，而B+樹可以出現(xiàn)多次。

參考與感謝

• B+樹看這一篇就夠了^[1]
• B樹和B+樹的插入、刪除圖文詳解^[2]
• InnoDB一棵B+樹可以存放多少行數(shù)據(jù)？^[3]

Reference