3月14日是國際數(shù)學節(jié)。今天的文章，來自浙江大學數(shù)學學院教授蔡天新，他講述了天才數(shù)學家黎曼的人生故事。

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2019年春天，包括上海天文臺在內(nèi)的全球六家天文觀察機構(gòu)同時發(fā)表聲明，公布了他們合作拍攝的首張黑洞照片。此前兩年，引力波被直接探測到和阿蒂亞爵士宣布證明黎曼猜想這兩項重大科學新聞，同樣引發(fā)了全球公眾的高度關(guān)注，絲毫不亞于一年一度的奧斯卡頒獎禮。物理學家愛因斯坦再次成為人們膜拜的偶像，與黑洞一樣，引力波的存在性也是他的廣義相對論所預言的。然而，卻有一個關(guān)鍵性人物被忽視了，那便是19世紀的天才數(shù)學家伯恩哈德·黎曼，他建立的黎曼幾何學是廣義相對論的基石，同時他又提出了迄今為止數(shù)學領(lǐng)域最負盛名的黎曼猜想。

外表文弱羞怯的年輕人

巧合的是，這幾座城鎮(zhèn)恰好都與本文主人公黎曼有著密切的關(guān)聯(lián)。黎曼在漢諾威和呂訥堡念的中學，而于爾岑是離他出生地和度過童年時光的兩個小村（他的父親是村里的牧師）最近的火車站。即便黎曼時代不通火車，這里也是他去往哥廷根求學的必經(jīng)之地?；疖囋谌章鋾r分抵達，靠站后我下了車，拍攝了站名牌匾。在那短促的幾分鐘里，我滿腦子都是黎曼的身影。

然而，關(guān)于黎曼的生平，至今我們所知的仍然不多，他本人也沒有留下內(nèi)心活動的記錄，只有部分往來的書信。黎曼的同代人里，只有他的師弟戴德金，在黎曼去世十年以后編撰他的文集時為他寫下一篇17頁的小傳。戴德金是黎曼與他共同的導師高斯的同鄉(xiāng)，出生在不倫瑞克，他是高斯的關(guān)門弟子。不倫瑞克在漢諾威的東南，另一個周末，我曾專程前往游覽漢諾威和不倫瑞克。

依照戴德金的描述，黎曼是個極為羞怯的人。每當黎曼出現(xiàn)在人群中，他都會覺得不自在。這與他從小所處的宗教環(huán)境不無關(guān)系，他的家族成員都是虔誠的路德教徒，他們 “每天在上帝面前自我反省”。家族成員之間的關(guān)系則非常親密，每當離開家時，黎曼便會犯思鄉(xiāng)病，如同法國前輩數(shù)學家、思想家帕斯卡，或者后來客居英倫的印度數(shù)學天才拉馬努金。此外，他和拉馬努金還有一個共同的老朋友——肺結(jié)核。

除了思鄉(xiāng)病和肺結(jié)核，黎曼還是一位疑病癥患者，這個詞是如今流行的憂郁癥的同義語。只不過由于黎曼遺孀的請求，戴德金才避免使用它。黎曼夫人是他姐姐的朋友，他的姐姐是兄弟姐妹六人中唯一比黎曼活得長久的人。在他們備受崇敬和愛戴的父親去世以后，黎曼經(jīng)常沉浸在痛苦的回憶之中，幸好他有一座安逸的避風港，適時轉(zhuǎn)移了他的注意力，那就是他的數(shù)學世界。特別地，黎曼對素數(shù)及其分布有著一種深深的、迷人的依戀。

那時候德意志已開始實行教育家馮·洪堡倡導的教育改革，大學的首要任務(wù)是教學，尤其是培養(yǎng)優(yōu)秀的中學教師，而把研究工作交給科學院。于是乎，偉大的數(shù)學家高斯也被要求講授《線性代數(shù)》，唯有馮·洪堡本人創(chuàng)辦的柏林大學例外，那里的數(shù)學研究處于領(lǐng)先地位，盡管沒有高斯那樣英雄史詩般的人物。幸好還有條規(guī)則，學生學習期間可以到其他學校修學。為了汲取更多的營養(yǎng)，黎曼轉(zhuǎn)學到了柏林。

在柏林大學的兩年期間，黎曼如饑似渴地學習新的、充滿活力的數(shù)學，那會兒年富力強的數(shù)學家雅可比、狄里克萊、施坦納和艾森斯坦等人都在柏大。黎曼向他們學到了很多東西——從雅可比那里學到高等代數(shù)和高等力學，從狄里克萊那里學到數(shù)論和分析，從施坦納那里學到了現(xiàn)代幾何，而從僅僅比他年長三歲的艾森斯坦那里則學到了橢圓函數(shù)和自信，他有信心超越那些前輩同行。

一顆太陽一樣輝耀的心

1849年，黎曼從柏林回到哥廷根。兩年以后，他以一篇題為《單復變函數(shù)一般理論的基礎(chǔ)》的論文獲得博士學位，那年他25歲。在哥廷根求學的最后一年半，以極大的興趣去聽哲學講座和韋伯的實驗物理學課程，把他的純粹數(shù)學暫時放到一邊。這使得他后來的數(shù)學工作常常處于更深的哲學背景下，同時也畢生保持了對物理學的濃厚興趣。雖說黎曼外表文弱、羞怯，內(nèi)心卻勇敢而強大，有一顆像太陽那樣輝耀的心，加上卓越的才華，使他具備一種驚人的沖擊力和能量。

復變函數(shù)論是數(shù)學的重要分支，黎曼與法國人柯西、德國同胞維爾斯特拉斯被公認為是這一分支的三大奠基人，他們的出發(fā)點有所不同，柯西是從分析出發(fā)，維爾斯特拉斯是從函數(shù)論出發(fā)，而黎曼則是從幾何出發(fā)。黎曼給單值解析函數(shù)下了嚴格的定義，還對多值函數(shù)定義了黎曼曲面。此外，他還率先研究了曲面拓撲，并解決了曲面上函數(shù)存在性和唯一性問題，這對后世有著重要影響。這篇論文是19世紀數(shù)學的經(jīng)典，但在當時除了被高斯關(guān)注以外，并未引起太多反響。直到三年以后，黎曼才被哥廷根聘為無薪講師。

黎曼任無薪講師時的故居。作者攝

1854年，黎曼為無薪講師職位做了就職演講。黎曼向系教授會提交了三個題目，其中兩個是關(guān)于數(shù)學物理的，他原本希望能選中這兩個題目中的一個，因為他已經(jīng)有所準備。但是最后時刻他又說出了第三個題目，那是關(guān)于幾何基礎(chǔ)的。沒想到高斯對這個問題更感興趣，他本人對此已考慮多年，并與俄羅斯數(shù)學家羅巴切夫斯基、匈牙利數(shù)學家鮑耶各自建立了一種非歐幾何學，即羅氏幾何。盡管黎曼并未有完全的把握，也只好硬著頭皮上臺了。

黎曼演講的題目是《論作為幾何學基礎(chǔ)的假設(shè)》，從中他建立起黎曼幾何學的基礎(chǔ)，并給出了黎曼度量的定義。他把高斯的內(nèi)蘊幾何從歐幾里得空間推廣到任意n維空間，并稱其為流形，再把流形上的點用n元有序數(shù)組表示。黎曼還引進子流形和曲率的概念，讓他尤其關(guān)注的是所謂“常曲率空間”，即每一點上曲率都相等的流形。這種常曲率有三種可能性：

  曲率為正常數(shù)，曲率為負常數(shù)，曲率為零。

黎曼指出，第二種和第三種分別對應(yīng)于羅氏幾何和歐氏幾何，而第一種情形對應(yīng)的則是他創(chuàng)造的黎曼幾何。在歐氏幾何里，過已知直線外一點恰好能作一條直線與該直線平行；在羅氏幾何里，過已知直線外一點可作不止一條直線與該直線平行；而在黎曼幾何里，過已知直線以外一點不能做任何直線與該直線平行?？梢赃@么說，黎曼是第一個理解非歐幾何學全部意義的數(shù)學家。

黎曼的演講所含思想如此豐富和先進，人們用諸如“劃時代的”、“不朽的”等詞匯形容它。60年以后，愛因斯坦廣義相對論所需要的數(shù)學工具，即三維空間和時間可以在數(shù)學上處理為四維空間，已包含其中。作為牛頓之后最重要的科學發(fā)現(xiàn)，廣義相對論首次把引力場解釋成時空彎曲，并推導出大質(zhì)量恒星最終歸結(jié)為一個黑洞。而在黎曼幾何里，球面上兩點的最短距離正是彎曲圓弧的一部分。

黎曼擔任無薪講師的第二年，高斯去世了，黎曼在柏林大學時的老師狄里克萊繼承了高斯的職位，沒料到四年以后，狄里克萊也去世了。在此期間，黎曼的父親、弟弟和兩個妹妹相繼去世，他永遠失去了故鄉(xiāng)的避難所。1859年7月30日，黎曼繼承了高斯職位，晉升為正教授。他和他僅存的兩個姐妹搬進了天文臺，那是高斯生前居住過的地方。之后，榮譽接踵而來，在黎曼晉升教授僅僅12天以后，32歲的他被任命為柏林科學院通訊院士。

他對素數(shù)有著迷人的依戀

在授予柏林科學院通訊院士的儀式上，黎曼又做了一次題為《論小于一個給定值的素數(shù)個數(shù)》的重要。他先是向高斯和狄里克萊兩位前輩表達敬意和感謝。接著引入18世紀數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的關(guān)于素數(shù)的無窮乘積的級數(shù)展開式，那被認為是解析數(shù)論的金鑰匙。黎曼把上述級數(shù)展開式命名為函數(shù)ζ（s），它被后人稱為黎曼ζ函數(shù)，即從1到無窮正整數(shù)n的s次方倒數(shù)之和。容易推出，這個函數(shù)在負實數(shù)軸的偶數(shù)點均取零值，這被稱為平凡零點。

這是黎曼在數(shù)論領(lǐng)域發(fā)表的唯一一篇論文，也是迄今為止這個被稱為 “數(shù)學皇冠” 領(lǐng)域里最重要的一篇文獻。換句話說，柏林（而非哥廷根）非常偶然地成為如今赫赫有名的黎曼猜想的誕生地。這個猜想是說：黎曼ζ（s）函數(shù)的所有非平凡零點都在實部為1/2那條垂線上。黎曼之所以用那個題目，是因為高斯曾提出 “小于某個給定值的素數(shù)個數(shù)” 這一非常熱門的問題。假設(shè)不超過x的素數(shù)個數(shù)為，高斯猜測~x/log x。這便是著名的素數(shù)定理。

19世紀的最后十年，素數(shù)定理忽然有了轉(zhuǎn)機。1890年，法國科學院設(shè)立了大獎，授予“確定小于一個給定值的素數(shù)個數(shù)”的最佳論文。結(jié)果，年輕的法國人阿達瑪拿走了大獎，但他并沒有證明素數(shù)定理。三年以后，德國數(shù)學家馮·曼戈爾特得出一個結(jié)論：如果某個比黎曼假設(shè)弱得多的猜想獲得證明，那就可以證明素數(shù)定理。這個弱黎曼猜想是說：黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點實部小于1。

正是沿著這個思路，翌年阿達瑪殺了一個回馬槍，證明了上述弱黎曼猜想，從而證明了素數(shù)定理。與他分享這個成就的還有比利時人普桑，幸運的是，他們之間并沒有像牛頓與萊布尼茨那樣出現(xiàn) “優(yōu)先權(quán)之爭”，這可能是“論證”與“發(fā)明”的差異。半個多世紀以后，挪威人賽爾貝格和匈牙利人愛多士各自用初等方法再次證明了素數(shù)定理，仍收獲巨大的榮譽，分別得到菲爾茲獎和沃爾夫獎。

素數(shù)定理是19世紀的大白鯨，也就是說，是最吸引人最具挑戰(zhàn)性的數(shù)學難題，就如同20世紀的費馬大定理，它們都在世紀末獲得證明。有個說法，誰證明素數(shù)定理，誰就將獲得永生。事實上，普桑是在96歲差5個月時去世，而阿達瑪走時98歲差2個月。阿達瑪?shù)娜松?jīng)歷過磨難，他的三個兒子均死于兩次世界大戰(zhàn)，最鐘愛的孫子死于登山事故。1936年，阿達瑪曾來清華訪學，期間幫助華羅庚與蘇聯(lián)數(shù)學家維諾格拉多夫建立了聯(lián)系。

無論如何，素數(shù)定理的證明是一個轉(zhuǎn)折點。它是由弱黎曼猜想推導出來的?？梢赃@么說，假如沒有黎曼出人意料的工作，素數(shù)定理是否能在今天獲得證明仍不好說。與此同時，因為素數(shù)定理的證明，黎曼猜想一下子被推到了前臺，每個數(shù)學家都要面對或被問及。以至于在2018年秋天，年邁的菲爾茲獎和阿貝爾獎獲得者阿提亞爵士在事先昭告天下的情況下，在海德堡當眾宣布他證明黎曼猜想這一戲劇性的場面。可是，他的證明并不成立。

讓時間回到1900年8月8日，哥廷根數(shù)學學派掌門人希爾伯特在巴黎大學登臺演講。那是第二屆國際數(shù)學家大會的一個特邀報告，希爾伯特的演講題目是《數(shù)學問題》。開頭那句話數(shù)學人十分熟悉，就如同文學愛好者熟悉加西亞·馬爾克斯在《百年孤獨》開篇的那句話?！拔覀儺斨杏姓l不想揭開隱藏著未來的帷幕，看一看我們這門學科接下來的進展和在未來世紀中如何發(fā)展的奧秘？”

希爾伯特列舉出了23個問題，它們?yōu)?0世紀數(shù)學的發(fā)展指明了方向。在他的問題中，被公認為最重要、最難解決的是第8問題，其中提到了三個與素數(shù)有關(guān)的難題——哥德巴赫猜想、孿生素數(shù)猜想和黎曼猜想。在那以后，黎曼猜想也引起了英吉利海峽對岸英國數(shù)學家的關(guān)注。在此以前，由于微積分學的 “優(yōu)先權(quán)之爭”，使得海峽兩岸數(shù)學交流中斷了一個多世紀，英國數(shù)學大大的落后了。直到哈代的出現(xiàn)，才又有了劍橋?qū)W派，英國數(shù)學再度崛起。

晚年的哈代出版了一本奇特的散文集《一位數(shù)學家的辯白》。將近70年以后，作者造訪劍橋時仍在書店的顯著位置見到此書。正是哈代發(fā)現(xiàn)了印度數(shù)學天才拉馬努金，他也是華羅庚訪問劍橋時的指導老師。1914年，即第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)之年。哈代率先證明了：黎曼ζ函數(shù)在實部為1/2這條直線上存在無窮多個零點。

與此同時，也有人認定黎曼猜想不成立，其中就有“電子計算機之父”圖靈，他是哈代的學生。從26歲開始，圖靈著迷于尋找一個實部非1/2的非平凡零點。起初他試圖設(shè)計機械計算裝置來生成反例，后來因“二戰(zhàn)”中斷了。戰(zhàn)后圖靈借助計算機算出了1054個零點，可惜沒有一個是他希望的反例。不然的話，即便因性取向遭受歧視和侮辱，相信他也不會去咬那只涂有氰化物的蘋果。如今，人們已算出數(shù)千億個非平凡零點，它們依舊在實部1/2那條線上。

世間萬事萬物相互助力

雖說牛頓既是數(shù)學家又是物理學家，但這兩個身份并沒有真正的區(qū)別，對黎曼來說，這種區(qū)別也不明顯。黎曼的想象力很大程度上類似于物理學家，在他生前發(fā)表的所有十篇論文中，有四篇屬于物理學的范疇。這十篇論文相互獨立，各自引領(lǐng)一個方向或?qū)W科。如同《英國百科全書》“黎曼”條目所寫的，“他的學術(shù)成果大部分是杰作——充滿了獨創(chuàng)性的方法、意義深刻的思想和廣泛深遠的想象?！?/span>

黎曼畢生保持著對物理學的濃厚興趣，他熱衷于研究熱學、聲學、電學和光學。黎曼的論文《論有限振幅平面聲波的傳播》討論了壓縮波和膨脹波：壓縮波壓縮得越厲害，波速更快；膨脹波膨脹得越厲害，波速減緩。1860年，黎曼發(fā)表了《熱傳導的一個問題》，從中發(fā)展了二次微分形式，它也是相對論的基礎(chǔ)。同年，黎曼訪問了巴黎，受到法國數(shù)學同行的熱情接待，他們給予黎曼極大的贊賞。

1862年夏天，36歲的黎曼結(jié)婚了，夫人叫愛麗絲。婚后不到一個月，他患上了胸膜炎，繼而導致肺結(jié)核。從此黎曼與意大利結(jié)了緣，他生命最后的四年基本上是在亞平寧度過的，那里有著溫暖的氣候。黎曼很喜歡意大利的藝術(shù)，他的獨女伊達在比薩出生。有兩次黎曼以為自己康復了，但穿越阿爾卑斯山的旅途勞頓和嚴寒天氣又使得病情復發(fā)，幸好哥廷根方面慷慨地一再延長他的休假期。

英裔美國作家德比希爾畢業(yè)于倫敦大學數(shù)學系，他的《素數(shù)之戀》曾獲首屆歐拉圖書獎（2007），本文從此書中文版（上海世紀出版集團）選取了一些素材。他把數(shù)學家分成兩類，即邏輯型的和直覺型的，并舉維爾斯特拉斯和黎曼為例。他認為維爾斯特拉斯是攀巖者，每一步都建立在堅實的論證基礎(chǔ)上，而黎曼則是空中飛人表演者，有很強的直觀想象力和跳躍性的思維。這讓我想起新近因為新冠肺病去世的美國物理學家戴森，他寫的《飛鳥與青蛙》也把天才人物做了相似的分類。

在生命的最后一年，黎曼接連獲得榮譽。巴黎科學院選舉他為通訊院士，英國皇家學會選舉他為外籍會員。與此同時，他的病由于結(jié)合了黃疸癥而變得愈發(fā)嚴重。1866年7月20日，黎曼在意大利北部的塞拉斯加與世長辭。黎曼走時十分寧靜，由他父親傳遞給他的那份虔誠始終伴隨著他。而黎曼這個名字，無論過去、現(xiàn)在還是將來，都將永遠伴隨著每一位數(shù)學工作者。黎曼安葬在阿爾卑斯山南麓的馬焦雷湖畔，墓碑上刻寫著圣徒保羅的一句話：

愛神的人必諸事順暢。

黎曼下葬后，愛麗絲帶著伊達（英國詩人拜倫的獨女也叫伊達，她是第一個計算機程序員）返回了哥廷根。伊達成年以后嫁給一位數(shù)學博士，黎曼的這位從未謀面的女婿后來出任不萊梅一所航海學校的校長，把岳母和岳父唯一在世的姐姐（也叫伊達）接了過去。他們組建了一個大家庭，兒孫的數(shù)目難以統(tǒng)計，黎曼的后裔如今已融入普通百姓之中。