幾何圖形的存在性問題是中考常見的問題。本文內(nèi)容選自2020年廣東省中考數(shù)學(xué)壓軸題，考查相似三角形的存在性問題，難度不小。一個(gè)三角形形狀大小確定，另外一個(gè)三角形有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。具體請(qǐng)看下面內(nèi)容。

【中考真題】

（2020·廣東）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，分別位于原點(diǎn)的左、右兩側(cè)，，過點(diǎn)的直線與軸正半軸和拋物線的交點(diǎn)分別為，，．
（1）求，的值；
（2）求直線的函數(shù)解析式；
（3）點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上且在軸下方，點(diǎn)在射線上．當(dāng)與相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

【分析】

題（1）利用待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)BO=3AO=3，得出點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，代入求拋物線解析式。
題（2）求BD的解析式，需要確定點(diǎn)D的坐標(biāo)。由于題目已知BC與CD的比例關(guān)系，可以考慮過點(diǎn)D作x軸的垂線，得到一個(gè)A字型的相似，求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的解析式，然后即可得到結(jié)論。

當(dāng)然，如果先設(shè)直線BD的解析式為y=kx－3k，聯(lián)立二次函數(shù)的解析式，得到一元二次方程的兩根x1與x2的關(guān)系即可求出k的值。

題（3）中需要確定與△ABD相似的△BPQ。由于A、B、D三點(diǎn)的位置的固定的，坐標(biāo)也是確定的。那么形狀與大小就確定了。先求出3邊長度，且易得∠BAD為鈍角。而∠PBQ不可能為鈍角，所以只需要分兩種情況討論即可：①點(diǎn)B與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)；②點(diǎn)B與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)。兩種情況中邊的比例又有兩種情況，因此分為4種情況討論。設(shè)PQ的坐標(biāo)，然后根據(jù)比例關(guān)系得出結(jié)論。
【答案】解：（1），
點(diǎn)，點(diǎn)，
拋物線解析式為：，
，；
（2）如圖1，過點(diǎn)作于，

，
，
，，
，
，
點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
點(diǎn)坐標(biāo)為，，
設(shè)直線的函數(shù)解析式為：，
由題意可得：，
解得：，
直線的函數(shù)解析式為；
（3）點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，
，，，對(duì)稱軸為直線，
直線與軸交于點(diǎn)，
點(diǎn)，
，
，
，
如圖2，過點(diǎn)作于，

，
，
，
，
如圖，設(shè)對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為，即點(diǎn)，

若，
，，
，，
當(dāng)，
，
，
點(diǎn)，；
當(dāng)，
，
，
點(diǎn)，；
若，
，，
當(dāng)，
，
，

點(diǎn)，；
當(dāng)，
，
，
點(diǎn)，；
綜上所述：滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，或，．