近些年來，中考試題中出現(xiàn)了不少和阿氏圓有關(guān)的試題.有時出現(xiàn)在填空題中，有時也會出現(xiàn)在壓軸題中.現(xiàn)在將我在解題過程中的心得整理一下，分享給各位，希望對大家有幫助.

阿波羅尼斯圓

已知平面上兩點、，則所有滿足的點的軌跡是一個以定比內(nèi)分和外分定線段的兩個分點的連線為直徑的圓，故稱阿氏圓.上圖，如果那么點在以為直徑的圓上.其中，點是線段的 內(nèi)分點，點為線段的外分點.

• 先證明下圖中是的平分線

  

作如下的輔助線：

由于，可得.
所以，是的平分線.

• 再證明下圖中是的外角平分線

由于，可得.
所以，是的外角平分線.

可知，下圖中的，所以點在以為直徑的圓上.當
設(shè)，則，，

的半徑為：.

上面寫得這行復雜，主要是說明當、確定的時候，的半徑就是確定的.

在初中范圍內(nèi)，我們只要圖中的點，也就是下圖這個樣子：

在這里，將上圖的定義為線段的阿氏圓.
當時，圓心在線段偏一側(cè)，且它的半徑是由的大小決定的.
在這里，將點、點分別定義為圓外點、圓內(nèi)點，將點定義為分點.

解決問題

例1
如圖，在中，，，，的半徑為，為圓上一動點，連結(jié)、，求的最小值.

從題目來看，暫時隱藏、,現(xiàn)在只知道圓外點，分點，要確定圓內(nèi)點，使得，連結(jié)，那么必有.

 為什么？再看下圖，可以驗證啊!  

看看上圖中主要線段的大小，是不是可以得出：
，相似比是?
所以.怎么這么巧的呢？
其實，沒有辦法不巧??！
因為阿氏圓的半徑，圓內(nèi)、外點之間的距離以及比值之間的關(guān)系早就定下來了：

為了不來回翻屏，這里再顯示一次.

上面的等式中有兩個量確定，那么第三個量就確定了.只要找到點使.

總結(jié)：先確定已知條件中的圓外點、圓內(nèi)點、分點哪兩個點確定，再根據(jù)比例確定第三個點.然后就是用兩點之間線段最短和勾股定理計算了.

剛剛是找圓內(nèi)點，現(xiàn)在再看一個找圓外點的問題：

例2
已知扇形中，，，，，點是上一點，求的最小值.

確定三個點：

再驗證，

再舉一個作連接圓外點和圓心輔助線的例子
例3
已知的半徑為，、為切線，、，為上的一動點，求的最小值.還是確定三個點：圓外點、圓內(nèi)點、分點：

自行驗證、

易得下圖中、都是等腰直角三角形，、、三點一線，

總結(jié)

解此類題一般順序是：

• 確定動點是不是在圓上運動；
• 確定圓內(nèi)點、圓外點、分點；
• 根據(jù)比例確定要找的點；
• 再驗證動點、圓心、圓內(nèi)點構(gòu)成的三角形與動點、圓心、圓外點構(gòu)成的三角形是否相似；
• 根據(jù)兩點之間線段最短用勾股定理計算最值．