提到韓信，很多小學(xué)同學(xué)都不會(huì)十分陌生。尤其是對(duì)歷史感興趣的同學(xué)們，作為漢高祖身邊的得力戰(zhàn)將之一，韓信的故事和經(jīng)歷常被人們津津樂(lè)道。我們今天要說(shuō)的一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題就是源自于韓信的一個(gè)故事：“韓信點(diǎn)兵”問(wèn)題，也被成為“剩余定理”。

“韓信點(diǎn)兵”的由來(lái)

據(jù)說(shuō)有一次韓信出兵千余人打仗，讓軍士清點(diǎn)人數(shù)，軍士回報(bào)說(shuō)：士兵們站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韓信稍加思索就得到了準(zhǔn)確的士兵數(shù)量：1049人。

這個(gè)小故事就成為了“韓信點(diǎn)兵”問(wèn)題的由來(lái)了。

事實(shí)上，早在《孫子算經(jīng)》當(dāng)中就曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)類似的問(wèn)題：

今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？

用“韓信點(diǎn)兵”的表達(dá)方式就是：每3個(gè)士兵站一排，那么就多出來(lái)2個(gè)人；每5個(gè)士兵站一排，就多出來(lái)3個(gè)人；每7個(gè)士兵站一排，就多出來(lái)2個(gè)人。那么士兵總共有多少人？

大家可以發(fā)現(xiàn)這兩道題的相似之處了吧，這就是“韓信點(diǎn)兵”問(wèn)題通常的題目結(jié)構(gòu)，在數(shù)學(xué)上屬于初等數(shù)論當(dāng)中的“解同余式”問(wèn)題。

“韓信點(diǎn)兵”的解題思路

通常我們接觸到的這類題目都會(huì)出現(xiàn)3個(gè)左右的同余式。我們簡(jiǎn)單的解題技巧就是兩兩處理已知條件。

實(shí)際上對(duì)于這個(gè)問(wèn)題是可以利用口訣進(jìn)行解題的，即：

三人同行七十稀，五樹(shù)梅花二十一。七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。

這個(gè)口訣其實(shí)是針對(duì)《孫子算經(jīng)》中那道題目的一個(gè)通用解題規(guī)則的，四句話意思是：

三人同行七十?。簩⒊?的余數(shù)乘以70

五樹(shù)梅花二十一：將除以5的余數(shù)乘以21

七子團(tuán)圓正半月：將除以7的余數(shù)乘以15（正半月即15）

除百零五便得知：將以上三個(gè)數(shù)字相加，求得這個(gè)和除以105的余數(shù)。

這樣就很容易知道《孫子算經(jīng)》當(dāng)中所要求的數(shù)為23了。

不知各位同學(xué)是否記住了嗎？不少同學(xué)可能會(huì)問(wèn)了，如果每排站的人數(shù)不是3、5、7而是其他數(shù)怎么辦呢？這就涉及到我們下一講的問(wèn)題了：“剩余定理”，這個(gè)問(wèn)題我們將在下一講與大家一起分享。

編輯：Chaos

審核：國(guó)寶

來(lái)源：原創(chuàng)