丘成桐 數(shù)學(xué)與人文 2016-02-20

（1969年，年輕的丘成桐在香港新界的海邊打太極拳）

【作者簡(jiǎn)介：丘成桐，當(dāng)代數(shù)學(xué)大師，現(xiàn)任哈佛大學(xué)講座教授，學(xué)術(shù)影響遍及理論物理和幾乎所有核心數(shù)學(xué)分支。年僅33歲就獲得代表數(shù)學(xué)界最高榮譽(yù)的菲爾茲獎(jiǎng)(1982)，此后獲得MacArthur天才獎(jiǎng)(1985)、瑞典皇家科學(xué)院Crafoord獎(jiǎng)(1994)、美國(guó)國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)(1997)、沃爾夫獎(jiǎng)(2010)等眾多大獎(jiǎng)?，F(xiàn)為美國(guó)科學(xué)院院士、中國(guó)科學(xué)院和俄羅斯科學(xué)院的外籍院士?！?/p>

本文載于高等教育出版社“數(shù)學(xué)與人文”叢書(shū)第16輯《數(shù)學(xué)與生活》，網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明出處，商業(yè)用途請(qǐng)聯(lián)系本社。http://academic./mh

5. 數(shù)學(xué)的意境

王國(guó)維在《人間詞話(huà)》中說(shuō)：

詞以境界為最上。有境界則自成高格······有造境，有寫(xiě)境，此理想與寫(xiě)實(shí)二派之所由分。然二者頗難分別，因大詩(shī)人所造之境必合乎自然，所寫(xiě)之境亦必鄰于理想故也。有有我之境，有無(wú)我之境。“淚眼問(wèn)花花不語(yǔ)，亂紅飛過(guò)秋千去。”······有我之境也?！安删諙|籬下，悠然見(jiàn)南山?！薄ぁぁぁぁぁo(wú)我之境也。有我之境，以我觀物，故物皆著我之色彩。無(wú)我之境，以物觀物，故不知何者為我，何者為物。

無(wú)我之境，人惟于靜中得之。有我之境，于由動(dòng)入靜時(shí)得之，故一優(yōu)美，一宏壯也。自然中之物則互相關(guān)系，互相限制。然其寫(xiě)之于文學(xué)及美術(shù)中也，必有其關(guān)系限制之處。故雖寫(xiě)實(shí)家亦理想家也。又雖如何虛構(gòu)之境，其材料必求之于自然，而其構(gòu)造亦必從自然之法則。故雖理想家亦寫(xiě)實(shí)家也。

數(shù)學(xué)研究當(dāng)然也有境界的概念，在某種程度上也可談?dòng)形抑?、無(wú)我之境。當(dāng)年歐拉開(kāi)創(chuàng)變分法和推導(dǎo)流體方程，由自然現(xiàn)象引導(dǎo)，可謂無(wú)我之境；他又憑自己的想象力研究發(fā)散級(jí)數(shù)，而得到Zeta 函數(shù)的種種重要結(jié)果，開(kāi)三百年數(shù)論之先河，可謂有我之境矣。另外一個(gè)例子是法國(guó)數(shù)學(xué)家格羅滕迪克(A. Grothendieck)。他著述極豐，以個(gè)人的哲學(xué)觀點(diǎn)和美感出發(fā)，竟然不用實(shí)例，建立了近代代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，真可謂有我之境矣。

在幾何的研究中，我們發(fā)現(xiàn)狄拉克在物理上發(fā)現(xiàn)的旋子在幾何結(jié)構(gòu)中有魔術(shù)性的能力。我們不知道它內(nèi)在的幾何意義，它卻替我們找到幾何結(jié)構(gòu)中的精髓。在應(yīng)用旋子理論時(shí)，我們常用的手段是通過(guò)所謂消滅定理而完成的，這是一個(gè)很微妙的事情。我們制造了曲率而讓曲率自動(dòng)發(fā)酵去證明一些幾何量的不存在，可謂無(wú)我之境矣。以前我提出用愛(ài)氏結(jié)構(gòu)來(lái)證明代數(shù)幾何的問(wèn)題和用調(diào)和映像來(lái)看研究幾何結(jié)構(gòu)的剛性問(wèn)題也可作如是觀。

不少偉大的數(shù)學(xué)家，以文學(xué)、音樂(lè)來(lái)培養(yǎng)自己的氣質(zhì)，與古人神交，直追數(shù)學(xué)的本源，來(lái)達(dá)到高超的意境。

《文心雕龍·神思篇》：

文之思也，其神遠(yuǎn)矣。故寂然凝慮，思接千載；悄焉動(dòng)容，視通萬(wàn)里。吟詠之間，吐納珠玉之聲；眉睫之前，卷舒風(fēng)云之色，其思理之致乎！

6. 數(shù)學(xué)的品評(píng)

好的工作應(yīng)當(dāng)是文已盡而意有余。大部分?jǐn)?shù)學(xué)文章質(zhì)木無(wú)文，流俗所好，不過(guò)兩三年耳。但是有創(chuàng)意的文章，未必為時(shí)所好，往往十?dāng)?shù)年后始見(jiàn)其功。

我曾經(jīng)用一個(gè)嶄新的方法去研究調(diào)和函數(shù)，以后和幾個(gè)朋友一同改進(jìn)了這個(gè)方法，成為熱方程的一個(gè)重要工具。開(kāi)始時(shí)沒(méi)有得到別人的贊賞，直到最近五年大家才領(lǐng)會(huì)到它的潛力。然而我們還是鍥而不舍地去研究，覺(jué)得意猶未盡。

我的老師陳省身先生在他的文集中引杜甫詩(shī)“文章千古事，得失寸心知”。而杜甫就曾批評(píng)初唐四杰的作品“王楊盧駱當(dāng)時(shí)體，不廢江河萬(wàn)古流”。

時(shí)俗所好的作品，不必為作者本人所認(rèn)同。舉個(gè)例子，白居易留傳至今的詩(shī)甚多，最出名之一是《長(zhǎng)恨歌》，但他給元微之的信中卻說(shuō)：

及再來(lái)長(zhǎng)安，又聞?dòng)熊娛垢呦荚⒄哂告郊?，妓大夸曰：“我誦得白學(xué)士《長(zhǎng)恨歌》，豈同他妓哉?！薄ぁぁぁぁぁぶT妓見(jiàn)仆來(lái)，指而相顧曰：“此是《秦中吟》、《長(zhǎng)恨歌》主耳！”自長(zhǎng)安抵江西，三四千里······每每有詠仆詩(shī)者，此誠(chéng)雕蟲(chóng)之戲，不足為多，然今時(shí)俗所重，正在此耳。

白居易說(shuō)謝朓的詩(shī)麗而無(wú)諷。其實(shí)建安以后，綺麗為文的作者甚眾。亦自有其佳處，畢竟鐘嶸評(píng)謝朓詩(shī)為中品，以后六朝駢文、五代《花間集》以至近代的鴛鴦蝴蝶派都是綺麗為文。雖未殝上乘，卻有賞心悅目之句。

數(shù)學(xué)華麗的作品可從泛函分析這種比較廣泛的學(xué)問(wèn)中找到，雖然有其美麗外表和重要性，但與自然之道總是隔了一層。舉例來(lái)說(shuō)，從函數(shù)空間抽象出來(lái)的一個(gè)重要概念叫作巴拿赫空間，在微分方程學(xué)有很重要的功用，但是以后很多數(shù)學(xué)家為了研究這種空間而不斷地推廣，例如有界算子是否存在不變空間的問(wèn)題，確是漂亮，但在數(shù)學(xué)大流上卻未能激起任何波瀾。

在20世紀(jì)70年代，高維拓?fù)涞难芯恳殉蓮?qiáng)弩之末，作品雖然不少，但真正有價(jià)值的不多，有如“野云孤飛，去留無(wú)跡”。文氣已盡，再無(wú)新的比興了。當(dāng)時(shí)有拓?fù)鋵W(xué)者做

群作用于流形的研究，確也得到某些人的重視。但是到了80年代，值得懷念的工作只有博特(R. Bott)的局部化定理。

能經(jīng)得起時(shí)間考驗(yàn)的工作寥寥無(wú)幾，政府評(píng)審人才應(yīng)當(dāng)以此為首選，不應(yīng)以文章篇數(shù)和被引用次數(shù)來(lái)作指標(biāo)。

7. 數(shù)學(xué)的演化

王國(guó)維說(shuō)：

四言敝而有《楚辭》，《楚辭》敝而有五言，五言敝而有七言，古詩(shī)敝而有律絕，律絕敝而有詞。蓋文體通行既久，染指遂多，自成習(xí)套。豪杰之士，亦難于其中自出新意，故遁而作他體以自解脫。一切文體所以始盛終衰者，皆由于此，故謂文體后不如前，余未敢信。但就一體論，則此說(shuō)固無(wú)以易也。

數(shù)學(xué)的演化和文學(xué)有極為類(lèi)似的變遷。從平面幾何至立體幾何，再至微分幾何等，一方面是工具得到改進(jìn)，另一方面是對(duì)自然界有進(jìn)一步的了解，將原來(lái)所認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的美發(fā)揮至盡后，需要進(jìn)入新的境界。江山代有人才出，能夠帶領(lǐng)我們進(jìn)入新的境界的都是好的數(shù)學(xué)。上面談到的高維拓?fù)湮臍庖驯M，假使它能與微分幾何、數(shù)學(xué)物理和算術(shù)幾何組合變化，亦可振翼高翔。

我在香港念數(shù)學(xué)時(shí)，讀到蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家蓋爾范德（I. M. Gel'fand）的看法，用函數(shù)來(lái)描述空間的幾何性質(zhì)，使我感觸良深，以后在研究院時(shí)才知道，代數(shù)幾何學(xué)家也用有理函數(shù)來(lái)定義代數(shù)空間，于是我猜想一般的黎曼流形應(yīng)當(dāng)也可以用函數(shù)來(lái)描述空間的結(jié)構(gòu)。但是為了深入了解流形的幾何性質(zhì)，我們需要的函數(shù)必須由幾何引出的微分方程來(lái)定義?？墒且话銕缀螌W(xué)家厭惡微分方程，我對(duì)它卻情有獨(dú)鐘，與幾個(gè)朋友合作將非線(xiàn)性方程帶入幾何學(xué)，開(kāi)創(chuàng)了幾何分析這門(mén)學(xué)問(wèn)，解決了拓?fù)鋵W(xué)和廣義相對(duì)論的一些重要問(wèn)題。在1981年時(shí)我建議朋友哈密頓(R. Hamilton)用他創(chuàng)造的方程去解決三維拓?fù)涞幕窘Y(jié)構(gòu)問(wèn)題，20多年來(lái)他引進(jìn)了不少重要的工具，運(yùn)用上述我和李偉光在熱方程的工作，深入地了解奇異點(diǎn)的產(chǎn)生。兩年前俄國(guó)數(shù)學(xué)家佩雷爾曼(G. Perelman)更進(jìn)一步地推廣了這個(gè)理論，很可能完成了我的愿望，將幾何和三維拓?fù)鋷нM(jìn)了新紀(jì)元。

八年前我訪(fǎng)問(wèn)北京，提出全國(guó)向哈密頓先生學(xué)習(xí)的口號(hào)。廣州的朱熹平接受我的建議，鍥而不舍地鉆研，他的工作已經(jīng)遠(yuǎn)超國(guó)內(nèi)外成名的中國(guó)學(xué)者。

當(dāng)一個(gè)大問(wèn)題懸而未決的時(shí)候，我們往往以為數(shù)學(xué)之難莫過(guò)于此。待問(wèn)題解決后，前途豁然開(kāi)朗，看到比原來(lái)更為燦爛的火花，就會(huì)有不同的感受。這點(diǎn)可以跟莊子《秋水篇》比較：

秋水時(shí)至，百川灌河，涇流之大，兩涘渚崖之間，不辨牛馬。于是焉河伯欣然自喜，以天下之美為盡在已，順流而東行，至于北海，東面而視，不見(jiàn)水端，于是焉河伯始旋其面目，望洋向若而嘆曰：“野語(yǔ)有之曰：'聞道百，以為莫已若者。’我之謂也。且夫我嘗聞少仲尼之聞，而輕伯夷之義者，始吾弗信；今我睹子之難窮也。吾非至于子之門(mén)，則殆矣。吾長(zhǎng)見(jiàn)笑于大方之家?！?/span>

科學(xué)家對(duì)自然界的了解，都是循序漸進(jìn)的，在不同的時(shí)空自然會(huì)有不同的感受。有學(xué)生略識(shí)之無(wú)后，不知?jiǎng)?chuàng)作之難，就連陳省身先生的大作都看不上眼，自以為見(jiàn)識(shí)更為豐富，不自見(jiàn)之患也。人貴自知，始能進(jìn)步。

莊子：

今爾出于崖涘，觀于大海，乃知爾丑，爾將可與語(yǔ)大理矣。

我曾經(jīng)參觀德國(guó)的哥廷根大學(xué)，看到19世紀(jì)和20世紀(jì)偉大科學(xué)家的手稿，他們傳世的作品只是他們工作的一部分，很多杰作都還未發(fā)表，使我深為慚愧，更為欽佩他們的胸襟。今人則不然，大量模仿，甚至將名作稍為改動(dòng)，據(jù)為己有，盡快發(fā)表?；蛏暾?qǐng)?jiān)菏?，或自炫為學(xué)術(shù)宗匠，于古人何如哉！

8. 數(shù)學(xué)的感情

為了達(dá)到深遠(yuǎn)的效果，數(shù)學(xué)家需要找尋問(wèn)題的精華所在，需要不斷地培養(yǎng)我們對(duì)問(wèn)題的感情和技巧。這一點(diǎn)與孟子所說(shuō)的養(yǎng)氣相似。氣有清濁，如何尋找數(shù)學(xué)的魂魄，視乎我們的文化修養(yǎng)。

白居易說(shuō)：

圣人感人心而天下和平，感人心者，莫先乎情，莫始乎言，莫切乎聲，莫深乎義······未有聲入而不應(yīng)，情交而不感者。

嚴(yán)羽《滄浪詩(shī)話(huà)》：

盛唐諸公惟在興趣，羚羊掛角，無(wú)跡可求。故其妙處透澈玲瓏，不可湊拍，如空中之音，相中之色，水中之影，鏡中之象，言有盡而意無(wú)窮。

我的朋友哈密頓先生，他一見(jiàn)到問(wèn)題可以用曲率來(lái)推動(dòng)，就眉飛色舞。另外一個(gè)澳洲來(lái)的學(xué)生，見(jiàn)到與愛(ài)因斯坦方程有關(guān)的幾何現(xiàn)象就趕快找尋它的物理意義，興奮異常，因此他們的文章都是清純可喜。反過(guò)來(lái)說(shuō)，有些成名的學(xué)者，文章甚多，但陳陳相因，了無(wú)新意。這是對(duì)自然界、對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題沒(méi)有感情的現(xiàn)象，他們對(duì)名位權(quán)利特別重視。在這種情形下，難以想象他們對(duì)數(shù)學(xué)、對(duì)自然界會(huì)有深厚的感情。

數(shù)學(xué)的感情是需要培養(yǎng)的，慎于交友才能夠培養(yǎng)氣質(zhì)。博學(xué)多聞，感慨始深，堂廡始大。歐陽(yáng)永叔：

人間自是有情癡，此恨不關(guān)風(fēng)與月。

直須看盡洛城花，始與東風(fēng)容易別。

能夠有這樣的感情，才能夠達(dá)到晏殊所說(shuō)：

昨夜西風(fēng)凋碧樹(shù)，獨(dú)上高樓，望盡天涯路。

濃厚的感情使我們對(duì)研究的對(duì)象產(chǎn)生直覺(jué)，這種直覺(jué)看對(duì)象而定，例如在幾何上叫作幾何直覺(jué)。好的數(shù)學(xué)家會(huì)將這種直覺(jué)寫(xiě)出來(lái)，有時(shí)可以用來(lái)證明定理，有時(shí)可以用來(lái)猜測(cè)新的命題或提出新的學(xué)說(shuō)。

但數(shù)學(xué)畢竟是說(shuō)理的學(xué)問(wèn)，不可能極度主觀?！对?shī)經(jīng)》中的《蓼莪》、《黍離》，屈原《離騷》、《九歌》，漢都尉《河梁送別》，李后主憶江南，宋徽宗念故宮，俱是以血書(shū)成、直抒胸臆，非論證之學(xué)所能及也。

9. 數(shù)學(xué)的應(yīng)用

王國(guó)維說(shuō)：

詩(shī)人對(duì)宇宙人生須入乎其內(nèi)，又須出乎其外。入乎其內(nèi)，故能寫(xiě)之；出乎其外，故能觀之。入乎其內(nèi)，故有生氣；出乎其外，故有高致。美成能入而不能出，白石以降，于此二事皆未夢(mèng)見(jiàn)。

詞之《雅》《鄭》，在神不在貌。永叔、少游雖作艷語(yǔ)，終有品格。方之美成，便有淑女與娼妓之別。

數(shù)學(xué)除與自然相交外，也與人為的事物相接觸，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是純工程上的問(wèn)題。有些數(shù)學(xué)家畢生接觸的都是現(xiàn)象界的問(wèn)題，可謂入乎其內(nèi)。大數(shù)學(xué)家如歐拉、傅里葉、高斯、維納、馮·諾伊曼等都能入乎其內(nèi)，出乎其外，既能將抽象的數(shù)學(xué)在工程學(xué)上應(yīng)用，又能在實(shí)用的科學(xué)中找出共同的理念而發(fā)展出有意義的數(shù)學(xué)。反過(guò)來(lái)說(shuō)，有些應(yīng)用數(shù)學(xué)家只用計(jì)算器做出一些計(jì)算，不求甚解，可謂二者皆未見(jiàn)矣。

傅里葉在研究波的分解時(shí)，得出傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)方法，不但成為應(yīng)用科學(xué)最重要的工具，在基本數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)也是不可磨滅的。近代孤立子的發(fā)展和幾何光學(xué)的研究，都在基本數(shù)學(xué)上占有重要的位置。

應(yīng)用數(shù)學(xué)對(duì)基本數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)可與元?jiǎng)∠啾容^。王國(guó)維評(píng)元?jiǎng)。?/p>

其作劇也，非有藏之名山，傳之其人之意也，彼以意興之所至為之，以自?shī)蕣嗜耍P(guān)目之拙劣，所不問(wèn)也；思想之卑陋，所不諱也；人物之矛盾，所不顧也。彼但摹寫(xiě)其胸中之感想與時(shí)代之情狀，而真摯之理與秀杰之氣時(shí)流露于其間。

例如金融數(shù)學(xué)旨在謀利，應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程理論，間有可觀的數(shù)學(xué)內(nèi)容。正如王國(guó)維評(píng)古詩(shī)“何不策高足，先據(jù)要路津，無(wú)為久貧賤，坎坷長(zhǎng)苦辛”，認(rèn)為“無(wú)視其淫詞、鄙詞者，以其真也”。偉大的數(shù)學(xué)家高斯就是金融數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人，他本人投資股票而獲利，克萊因則研究保險(xiǎn)業(yè)所需要的概率論。

然而近代有些應(yīng)用數(shù)學(xué)家以爭(zhēng)取政府經(jīng)費(fèi)為唯一目標(biāo)，本身無(wú)一技之長(zhǎng)，卻巧立名目，反誣告基礎(chǔ)數(shù)學(xué)家對(duì)社會(huì)沒(méi)有貢獻(xiàn)，盡失其真矣。有如近代小說(shuō)以情欲、仇殺、奸詐為主題，取寵于時(shí)俗，不如太史公《刺客列傳》中所說(shuō)：

自曹沫至荊軻五人，此其義或成或不成，然其立意較然，不欺其志，名垂后世，豈妄也哉。

應(yīng)用數(shù)學(xué)家不能立意較然，而妄談對(duì)社會(huì)有貢獻(xiàn)，恐怕是緣木求魚(yú)了。

10. 數(shù)學(xué)的訓(xùn)練

好的數(shù)學(xué)家需要領(lǐng)會(huì)自然界所賦予的情趣，因此也需向同道學(xué)習(xí)他們的經(jīng)驗(yàn)。然而學(xué)習(xí)太過(guò)，則有依傍之病。顧亭林云：

君詩(shī)之病在于有杜，君文之病在于有韓、歐。有此蹊徑于胸中，便終身不脫依傍二字，斷不能登峰造極。

今人習(xí)數(shù)學(xué)，往往依傍名士，以為凡海外畢業(yè)的留學(xué)生，都為佳士，殊不知這些名士大半文章與自然相隔千萬(wàn)里，畫(huà)虎不成反類(lèi)犬矣。李義山云：

劉郎已恨蓬山遠(yuǎn)，更隔蓬山一萬(wàn)重。

很多研究生在跟隨名師時(shí)，做出第一流的工作，畢業(yè)后卻每況愈下，就是依傍之過(guò)。更有甚者，依傍而不自知，由導(dǎo)師提攜指導(dǎo)，竟自炫“無(wú)心插柳柳成蔭”，難有創(chuàng)意之作矣。

有些學(xué)者則倚洋自重，國(guó)外大師的工作已經(jīng)完成，除非另有新意，不大可能再進(jìn)一步發(fā)展。國(guó)內(nèi)學(xué)者繼之，不假思索，頂多能夠發(fā)表一些二三流的文章。極值理論就是很好的例子。由伯克霍夫（Birkhoff）、莫爾斯（Morse）到尼倫伯格（L. Nirenberg）發(fā)展出來(lái)的過(guò)山理論，文意已盡，不宜再繼續(xù)了。

推其下流，則莫如抄襲。有成名學(xué)者為了速成，竟抄襲名作，居廟堂之上，腰纏萬(wàn)貫而沾沾自喜，良可嘆也。

數(shù)學(xué)家如何不依傍才能做出有創(chuàng)意的文章呢？

屈原說(shuō)：

紛吾既有此內(nèi)美兮，又重之以修能。

如何能夠解除名利的束縛，俾欣賞大自然的直覺(jué)毫無(wú)拘束地表露出來(lái)，乃是數(shù)學(xué)家養(yǎng)氣最重要的一步。

賈誼：

獨(dú)不見(jiàn)夫鸞鳳之高翔兮，乃集大皇之野。循四極而回周兮，見(jiàn)盛德而后下。彼圣人之神德兮，遠(yuǎn)濁世而自藏。使麒麟可得羈而系兮，又何以異乎犬羊。

媒體或一般傳記作者喜歡說(shuō)某人是天才，下筆成章，仿佛做學(xué)問(wèn)可以一蹴而就。其實(shí)無(wú)論文學(xué)和數(shù)學(xué)，都需要經(jīng)過(guò)深入的思考才能產(chǎn)生傳世的作品。

柳永：

衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴。

一般來(lái)說(shuō)，作者經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期浸淫，才能夠出口成章；經(jīng)過(guò)不斷推敲，才有深入可喜的文采。王勃《滕王閣序》，麗則麗矣，終不如陶淵明《歸去來(lái)辭》、庾信《哀江南賦》、曹植《洛神賦》諸作來(lái)得結(jié)實(shí)。文學(xué)家的推敲在于用字和遣詞。張衡《兩京》、左思《三都》，構(gòu)思十年，始成巨構(gòu)，聲聞后世，良有以也。數(shù)學(xué)家的推敲極為類(lèi)似，由工具和作風(fēng)可以看出他們特有的風(fēng)格。傳世的數(shù)學(xué)創(chuàng)作更需要有宏觀的看法，也唯有鍛煉和推敲才能成功。

曹丕：

古人賤尺璧而重寸陰，懼乎時(shí)之過(guò)已，而人多不強(qiáng)力；貧賤則懾于饑寒，富貴則流于逸樂(lè)，遂營(yíng)目前之務(wù)，而遺千載之功。日月逝于上，體貌衰于下。忽然與萬(wàn)物遷化，斯志士之大痛也。

三十年來(lái)我研究幾何空間上的微分方程，找尋空間的性質(zhì)，究天地之所生，參萬(wàn)物之行止。樂(lè)也融融，怡然自得；溯源所自，先父之教乎！

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