即便在理論不完備的狀態(tài)下，量子場論（Quantum Field Theory，QFT）也引發(fā)了許多重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。QFT促進數(shù)學(xué)發(fā)展的一般模式是：使用QFT的物理學(xué)家偶然發(fā)現(xiàn)了令人驚訝的計算，然后數(shù)學(xué)家試圖給出一些解釋。

“這就像是一臺產(chǎn)生想法的機器，”湯大衛(wèi)說。

在基本層面上，物理現(xiàn)象與幾何學(xué)有著密切的關(guān)系。舉一個簡單的例子，如果你把一個運動的小球放在一個光滑的表面上，它的軌跡將對應(yīng)出表面上任意兩點之間的最短路徑，這種特性稱為測地線。這樣一來，物理現(xiàn)象就可以檢測出某種形狀的幾何特征。

現(xiàn)在我們用電子代替之前說的小球。電子以某種概率存在于表面上的每一點。通過研究包含這些概率的量子場，你可以了解到表面的整體性質(zhì)（用數(shù)學(xué)家的術(shù)語來說是流形），比如它有多少個洞。這是從事幾何學(xué)和拓撲學(xué)相關(guān)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家想要回答的一個基本問題。

“一個粒子即使待在那里什么也不做，我們也能了解流形的拓撲結(jié)構(gòu)?！睖笮l(wèi)說。

在20世紀(jì)70年代末，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家開始應(yīng)用這種觀點來解決幾何中的基本問題。到了90年代初，塞伯格和他的合作者愛德華·威滕（Edward Witten）弄清楚了如何使用它來創(chuàng)建一個新的數(shù)學(xué)工具——現(xiàn)在我們稱之為塞伯格-威滕不變量，它將量子現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為一個形狀的純數(shù)學(xué)特征的指標(biāo)：通過計算量子粒子以某種方式表現(xiàn)的次數(shù)，可以有效地計算出了形狀中的孔洞數(shù)量。

愛德華·威滕

來自牛津大學(xué)的數(shù)學(xué)家格雷姆·西格爾（Graeme Segal）說：“威滕指出，量子場論為幾何問題提供了完全出乎意料但又完全精確的見解，這使棘手的問題得以解決?！?/p>

另一個兩種學(xué)科交叉的例子也出現(xiàn)在20世紀(jì)90年代早期。當(dāng)時物理學(xué)家正在進行與弦理論相關(guān)的計算，他們根據(jù)本質(zhì)上不同的數(shù)學(xué)規(guī)則，在兩個不同的幾何空間中進行這些運算，并不斷生成精確的長串?dāng)?shù)字，這些數(shù)字彼此吻合得很好。數(shù)學(xué)家們抓住了這條線索，把它發(fā)展成一個全新的研究領(lǐng)域，叫做鏡像對稱。數(shù)學(xué)家用它來研究一致性以及其他許多類似的問題。

“物理學(xué)能提出這些驚人的預(yù)言，而數(shù)學(xué)家會用自己的方法來加以證明，”本-茲維說道，“盡管這些預(yù)言既奇怪又精彩，但結(jié)果幾乎總是正確的?！?/p>

然而，盡管QFT已經(jīng)成功地為數(shù)學(xué)創(chuàng)造了線索，但它核心思想的大部分仍然存在于數(shù)學(xué)之外。數(shù)學(xué)家們有方法去使用多項式、群、流形和其他學(xué)科的支柱（其中許多也同樣起源于物理學(xué)），但是對于量子場論，數(shù)學(xué)家們理解得還不夠好。

對于物理學(xué)家來說，這種與數(shù)學(xué)的遙遠關(guān)系是一種跡象——對于這個他們創(chuàng)造出來的理論，物理學(xué)家們還需要去了解更多。“在過去的世紀(jì)里，物理學(xué)中使用的每一個概念在數(shù)學(xué)上都有其天然的地位——除了量子場論?！比裾f。

而對于數(shù)學(xué)家來說，QFT和數(shù)學(xué)之間的關(guān)系似乎應(yīng)該比偶爾的互動更深。這是因為量子場論包含了許多對稱性，或者說是潛在的結(jié)構(gòu)，它們決定了場的不同部分中的點是如何相互聯(lián)系的。這些對稱性具有物理意義——它們體現(xiàn)了量子場隨時間演化時像能量這樣的物理量是如何守恒的。同時它們本身也是數(shù)學(xué)上有趣的研究對象。

“數(shù)學(xué)家可能關(guān)心某種對稱性，而我們可以把它放在物理環(huán)境中，”卡斯特羅說，“這就在這兩個領(lǐng)域之間建立了一座美麗的橋梁?！?/p>

數(shù)學(xué)家已經(jīng)利用對稱性和幾何的其他方面來研究從不同類型方程的解到質(zhì)數(shù)分布的所有問題。通常，幾何會將數(shù)字問題的答案編碼。QFT為數(shù)學(xué)家提供了一種豐富的新型幾何對象，如果他們能直接著手處理，那就不知道他們能做什么了。

“在某種程度上，我們是在玩QFT。”德克薩斯大學(xué)奧斯汀分校的數(shù)學(xué)家丹·弗里德說。“我們一直在使用QFT作為外部激勵，但如果它是內(nèi)部激勵，那就更好了。”

數(shù)學(xué)不會輕易接受新學(xué)科。許多基本概念都經(jīng)過了長時間的考驗，才在這一領(lǐng)域中確立了其應(yīng)有的、規(guī)范的地位。

以實數(shù)為例——它是數(shù)軸上無限多的所有刻度。人們通過將近2000年的數(shù)學(xué)實踐，才在定義它們的方法上達成一致。最后，在19世紀(jì)50年代，數(shù)學(xué)家們確定了一個精確的五字陳述，將實數(shù)描述為一個“完備有序域（complete ordered field）”。它們之所以完備，是因為它們不包含間隙；之所以是有序的是因為總有一種方法可以確定一個實數(shù)是否大于另一個實數(shù)；并且它們形成了一個“域”，對數(shù)學(xué)家來說，這意味著它們遵循算術(shù)規(guī)則。

弗里德說：“這幾個詞代表了歷史上的一段艱難的斗爭?！?/p>

為了將QFT轉(zhuǎn)化為一種內(nèi)部激勵——一種他們可以用于實現(xiàn)他們自己目的的工具——數(shù)學(xué)家們希望對QFT給予與實數(shù)相同的處理：任何特定的量子場論都需要滿足的一個嚴(yán)格的特征表。

圓周理論物理研究所的凱文·科斯特洛正在構(gòu)建一個框架，它可能將量子場論最終構(gòu)建于在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上

把QFT的一部分轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)的許多工作來自圓周理論物理研究所的數(shù)學(xué)家凱文·科斯特洛（Kevin Costello）。2016年，他同別人合著了一本教材，這使得微擾QFT理論有了堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——包括形式化地描述了如何處理隨著相互作用增強而出現(xiàn)的無限量。這項工作是在2000年代早期的一項叫做代數(shù)量子場論的研究的基礎(chǔ)上進行的，該理論也是在尋求類似的目的。所以現(xiàn)在雖然微擾QFT仍然不能真正描述宇宙，但數(shù)學(xué)家知道如何處理它產(chǎn)生的沒有物理意義的無窮大。

“他的貢獻非常巧妙，也很有見地。他把微擾理論放在一個很好的新框架中，而這個框架適用于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)。”摩爾說。

科斯特洛解釋說，他寫這本書是為了讓微擾量子場論更合乎邏輯?！拔抑皇前l(fā)現(xiàn)某些物理學(xué)家的方法沒有動機，而且是臨時的。我想要一個更獨立的、數(shù)學(xué)家可以使用的東西?！?/p>

通過精確地說明微擾理論是如何工作的，科斯特洛構(gòu)造出了一個基礎(chǔ)。物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家可以在此基礎(chǔ)上構(gòu)建滿足他的微擾方法所要求的新的量子場理論。這個工作很快就被領(lǐng)域的其他人所接受。

“肯定有很多年輕人在這個框架下開展研究?！备ダ锏抡f，“凱文的書產(chǎn)生了很大影響。”

科斯特洛也一直致力于定義什么是量子場論。簡單地說，量子場論需要一個幾何空間，在這個空間中，你可以在每個點上進行觀測，并結(jié)合相關(guān)函數(shù)來表示不同點的觀測值是如何相互關(guān)聯(lián)的?？扑固芈宓墓ぷ髅枋隽艘唤M相關(guān)函數(shù)需要具備的性質(zhì)，以便將此作為量子場論的可行基礎(chǔ)。

最常見的量子場論，如標(biāo)準(zhǔn)模型，包含了并非在所有量子場論中都存在的附加特性。缺乏這些特征的量子場論可能描述了其他尚未發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)，這些性質(zhì)可以幫助物理學(xué)家解釋標(biāo)準(zhǔn)模型無法解釋的物理現(xiàn)象。如果你對量子場論的看法過于接近我們已知的版本，你甚至很難想象其他必要的可能性。

蓋奧托說：“有一個大燈柱，你可以在燈柱下找到某些場的理論（比如標(biāo)準(zhǔn)模型），它周圍則是（量子場論）的一大片黑暗，我們不知道如何定義，但我們知道它們就在那里?！?/p>

科斯特洛用他對量子場的定義照亮了一些黑暗的空間。從這些定義中，他發(fā)現(xiàn)了兩個令人驚訝的新的量子場論。盡管它們都不能描述我們的四維宇宙，但它們確實滿足了具有相關(guān)函數(shù)的幾何空間的核心要求。這是一項純思維的發(fā)現(xiàn)，類似于你發(fā)現(xiàn)了一個可能存在于物理世界中的形狀，一旦你對一個形狀有了一個大致的定義，你就可以用自己的方式去思考那些與物理無關(guān)的例子。

如果數(shù)學(xué)能夠確定量子場論的全部可能性——滿足一個涉及關(guān)聯(lián)函數(shù)的一般定義的所有不同可能性——物理學(xué)家可以利用這些可能性找到解釋他們最關(guān)心的重要物理問題的具體理論的途徑。

卡斯特羅說：“我想知道所有QFT的空間，因為我想知道量子引力是什么?！?/p>

這項工作還有很長的路要走。到目前為止，所有的量子場論都是用數(shù)學(xué)術(shù)語來描述的，它們都依賴于各種簡化——這使得它們更容易進行數(shù)學(xué)處理。

幾十年前，簡化問題的一種方法是研究更簡單的二維QFT，而不是四維QFT。一個法國的團隊最近敲定了一個重要的二維QFT的所有數(shù)學(xué)細節(jié)。

其他的簡化方法假設(shè)量子場是對稱的，但這有時不符合物理現(xiàn)實。不過從數(shù)學(xué)的角度看，這使它們更容易處理。其中包括“超對稱”和“拓撲”QFT。

而下一步，也是更困難的一步，是去掉“拐杖”，提供一個更適合物理學(xué)家最想描述的物理世界的量子場論的數(shù)學(xué)描述：四維連續(xù)的宇宙，所有的相互作用都可能同時發(fā)生。

“有一件很尷尬的事：我們沒有一個可以用四個維度、非微擾的方式描述的量子場論?！?雷茲納說?！斑@是一個很難解決的問題，顯然需要一兩代以上的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家來解決?！?/p>

但這并不能阻止數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家不斷為之努力奮斗。對于數(shù)學(xué)家來說，QFT是一種和他們所預(yù)想的一樣的豐富的研究對象。定義所有量子場論所共有的特性幾乎肯定需要合并數(shù)學(xué)的兩大支柱：解釋如何控制無窮的分析方法和為討論對稱性提供語言的幾何學(xué)。

迪杰格拉夫說：“就數(shù)學(xué)本身而言，這是一個迷人的問題，因為它結(jié)合了兩類偉大的思想?！?/p>

如果數(shù)學(xué)家能夠理解QFT，誰也不知道在這一過程中有什么樣的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)在等待著數(shù)學(xué)家們。很久以前，數(shù)學(xué)家定義了其他對象的特性，如流形和群，現(xiàn)在這些對象幾乎滲透到數(shù)學(xué)的每個角落。當(dāng)它們第一次被定義時，不可能預(yù)料到它們所有的數(shù)學(xué)結(jié)果。QFT至少在數(shù)學(xué)方面有著同樣的希望。

“我想說的是，物理學(xué)家不一定無所不知，但物理學(xué)是的?！?本-茲維說?！叭绻銌枌α藛栴}，它就已經(jīng)具備了數(shù)學(xué)家正在尋找的現(xiàn)象?！?/p>

對于物理學(xué)家來說，對QFT的一個完整的數(shù)學(xué)描述體現(xiàn)了他們領(lǐng)域最重要目標(biāo)的另一面：對物理現(xiàn)實的完整描述。塞伯格說：“我覺得有一種知識結(jié)構(gòu)涵蓋了QFT的所有方面，說不準(zhǔn)它將涵蓋所有的物理學(xué)。”

現(xiàn)在數(shù)學(xué)家要做的就是將其揭示出來。