威爾遜定理：設(shè)p為素數(shù)，則p整除(p-1)!+1.

威爾遜(John Wilson，1741-1793)曾是劍橋大學(xué)的一名高材生，后來當(dāng)了律師和法官，但他在數(shù)論中卻作出了一個重要的發(fā)現(xiàn)。當(dāng)他還是學(xué)生的時候，他敘述了一個至今仍以他的名字命名的定理：對任意素數(shù)p，均有p整除(p-1)!+1；而且如果(q-1)!+1能被q整除，則q必然也是素數(shù)。這是數(shù)論中最為基本而重要的定理之一，它的意義首先在于給出了一個正整數(shù)為素數(shù)的充分必要條件，因而在理論上就完全解決了有關(guān)素數(shù)的判別問題。當(dāng)然，威爾遜并沒能證明自己的這個定理，他只是猜想其正確性，而且就此事專門寫信請教當(dāng)時著名的英國數(shù)學(xué)家華林(E.Waring，1734-1798)。有趣的是，華林本人也沒能夠證明威爾遜定理，他只是在自己1770年出版的名著《代數(shù)沉思錄》中公布了這條定理。隨后，在1773年，法國大數(shù)學(xué)家拉格朗日(Lagrange，1736-1813)才第一個給出了威爾遜定理的嚴(yán)格證明。
威爾遜并不是一個數(shù)學(xué)家，他對數(shù)學(xué)的貢獻也只限于此，卻能以這樣一個基本定理而流芳百世，這多少是有點令人羨慕和驚奇的。其實威爾遜并不是第一個做出這一猜想的人，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨(Leibniz，1646-1716)在1682年就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它。據(jù)說威爾遜還認(rèn)為他的這個優(yōu)美定理永遠不會被證明，因為人類沒有好的符號來處理素數(shù)。后來，當(dāng)古今最偉大的數(shù)學(xué)家高斯聽說了威爾遜的觀點后，僅僅站著想了五分鐘，高斯就證明了威爾遜定理！為此，高斯批評威爾遜說:“他需要的是概念，而不是符號?！?br> 下面我們使用同余的概念給出威爾遜定理的證明，讀者將看到它是多么的簡潔明快。

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本文編輯：郎培華