立體幾何解法第一招：藍(lán)銀囚籠

-借助標(biāo)準(zhǔn)幾何體求外接球問(wèn)題

       標(biāo)準(zhǔn)幾何體外接球問(wèn)題是立體幾何中的難點(diǎn)和重要的考點(diǎn)，此類問(wèn)題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長(zhǎng)或確定球心的位置問(wèn)題,其中球心的確定是關(guān)鍵.

      1.定義法確定球心:在空間,如果一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的所有頂點(diǎn)的距離都相等,那么這個(gè)定點(diǎn)就是該簡(jiǎn)單多面體的外接球的球心.由上述性質(zhì),可以得到確定簡(jiǎn)單多面體外接球球心的如下結(jié)論.①正方體或長(zhǎng)方體外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn).②正棱柱外接球的球心是上下底面中心的連線的中點(diǎn).③直三棱柱外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn).④正棱錐外接球的球心在其高上,具體位置可通過(guò)計(jì)算找到.⑤若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形,則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心.

      2.構(gòu)造正方體或長(zhǎng)方體:若球面上4點(diǎn)構(gòu)成的3條線段兩兩互相垂直,且,一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體,根據(jù)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑來(lái)求解.

      3.空間問(wèn)題平面化,過(guò)球心或接點(diǎn)作截面,把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系、球心的位置,弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,進(jìn)而求解.如球與其他旋轉(zhuǎn)體組合時(shí),通常作它們的軸截面解題;球與多面體組合時(shí),通常過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心及“接點(diǎn)”作截面圖進(jìn)行解題.

      4.由性質(zhì)確定球心的一般方法:先找一個(gè)面的外心,然后由外心作這個(gè)面的垂線,由于垂線上的點(diǎn)到該面各頂點(diǎn)的距離相等,得到球心為垂線上某一點(diǎn),然后根據(jù)這點(diǎn)到該面頂點(diǎn)的距離等于到其他頂點(diǎn)的距離確定球心,或者找兩個(gè)面的外心,分別由兩個(gè)外心作兩個(gè)面的垂線,兩個(gè)垂線的交點(diǎn)即為球心.

【2021屆江西省名校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考】在三棱錐中,,,,,則該三棱錐的外接球的表面積為( )

 A.                             B.                           C.                            D.

【答案】A

【解析】在中,,即,又,∴為等邊三角形

根據(jù)題意,有如下示意圖:

如圖,設(shè)的外接圓的圓心為,連接,,,連接PH.

由題意可得,且,.

∴由上知:且,又,

∴,由,平面ABC.

設(shè)O為三棱錐外接球的球心,連接,,OC過(guò)O作,垂足為D,則外接球的半徑R滿足,, ,代入解得,即有,

∴三棱錐外接球的表面積為.

故選:A.

1.(原創(chuàng)) 直三棱錐中,底面,,,若該三棱柱的側(cè)面積為,則三棱柱外球球體積的最大值為_(kāi)_________

2. (原創(chuàng))如圖四邊形中,為等邊三角形,中,,且, 為的中點(diǎn),將沿折起,設(shè)點(diǎn)在平面的投影為,在折疊過(guò)程中,當(dāng)時(shí),三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_________

3. (原創(chuàng))如圖,四棱錐中,平面平面, ,底面為平行四邊形,,, 為的中點(diǎn),為邊上的任一點(diǎn),中,, 為的中點(diǎn),當(dāng)三棱錐體積最大值時(shí),三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_________