17世紀(jì)是天才的世紀(jì)，在科學(xué)史上，這一時(shí)期人的創(chuàng)造力達(dá)到登峰造極的程度。在這一時(shí)期豐富的科學(xué)成果中，最輝煌的莫過于微積分的創(chuàng)建。微積分的出現(xiàn)成為整個(gè)數(shù)學(xué)史，乃至科學(xué)史上一個(gè)具有劃時(shí)代意義的重大事件。

微積分像兩百年后的量子力學(xué)一樣，有相似的特征：首先，從孕育到創(chuàng)建成，都經(jīng)歷相當(dāng)長(zhǎng)的一段歷史時(shí)期；量子力學(xué)以不同形式出現(xiàn)，微積分也以純幾何推理，或以純代數(shù)的不同方式出現(xiàn)；由于出現(xiàn)的方式不同，兩個(gè)學(xué)科的伊始都是一對(duì)“孿生兄弟”，都形成彼此不斷爭(zhēng)吵的兩個(gè)學(xué)派，過后又都被證明，這兩個(gè)體系具有完全一樣的本質(zhì)。

像量子力學(xué)一樣，微積分理論在創(chuàng)建過程中，也是明星璀璨，像牛頓、萊布尼茨、柯西、笛卡爾、巴羅、瓦里斯、維爾斯特拉斯、伯努利兄弟、歐拉、拉格朗日等，他們都在定義、計(jì)算微分和定積分方面做出了自己的貢獻(xiàn)。

量子力學(xué)的出現(xiàn)沖破了經(jīng)典物理，開啟了微觀物理學(xué)，而微積分理論的創(chuàng)建，則沖破了占統(tǒng)治地位的常量數(shù)學(xué)，開啟了變量數(shù)學(xué)，掀起了數(shù)學(xué)乃至科學(xué)史上的巨大變革，它們都成為了近現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的基石。

微積分分別出自兩位世紀(jì)大師，牛頓和萊布尼茨之手，他們各自獨(dú)立地建立起微積分體系的基礎(chǔ)。兩位大師殊途同歸，在理論體系的創(chuàng)建過程中都占有開創(chuàng)性的地位。

1665年5月31日（按當(dāng)時(shí)歷法是5月20日）是數(shù)學(xué)史上重要的一天。這一天，牛頓寫出一份微積分手稿，雖然這份手稿僅有一頁，但它是人類有史以來關(guān)于微積分的最早記載，由此開創(chuàng)了人類的微積分新時(shí)代。

牛頓

這一時(shí)期，牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫，在靜心研究笛卡爾的《幾何學(xué)》后，他對(duì)切線問題產(chǎn)生了濃厚的興趣。對(duì)比古希臘關(guān)于求解無限小問題的文獻(xiàn)，牛頓將切線問題總結(jié)為兩種運(yùn)算，即微分術(shù)（當(dāng)時(shí)稱為正流變數(shù)術(shù)）和積分術(shù)（當(dāng)時(shí)稱為反流變數(shù)術(shù)）。在隨后的20年里，他一連發(fā)表了幾篇論文，改善和補(bǔ)充他的微積分學(xué)說。

在1671年，牛頓又完成了他的第一部關(guān)于微積分的著作《流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)》。在這部書中，牛頓首先提出了“變量”的思想。他指出，由于點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生變量，這些變量是無限運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，而不是無窮小的靜止點(diǎn)的集合。牛頓引入微積分的思想與運(yùn)動(dòng)掛鉤，他以連續(xù)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度及運(yùn)動(dòng)的路程出發(fā)，對(duì)微分和積分展開了討論。由于與運(yùn)動(dòng)學(xué)掛鉤，使“變量”和“微積分”概念更加容易接受?？上У氖?，這些超前思想最初并沒有引起重視，使牛頓的這部書直到1736年才得以出版。

從年代上看，牛頓創(chuàng)建微積分要比萊布尼茨早，但由于英國(guó)與歐洲大陸隔絕，所建立的符號(hào)體系與運(yùn)算規(guī)則不方便使用，使牛頓的微積分理論在影響上遠(yuǎn)不如萊布尼茨。

萊布尼茨

像牛頓一樣，萊布尼茨的一生在數(shù)學(xué)和物理上也有不少貢獻(xiàn)，在創(chuàng)建微積分上，他與牛頓享有同樣高的聲譽(yù)。萊布尼茨很早就認(rèn)識(shí)到微分與積分為互逆運(yùn)算，并給出了微積分的基本定理，也就是現(xiàn)在所說的“牛頓-萊布尼茨公式”，雖然這一公式在他提出的20年之后，才給出證明，但這絕不影響萊布尼茨對(duì)微積分的天才洞察力。

萊布尼茨的微積分發(fā)展較晚，他的最初的手稿完成于1675年10月25日，其中系統(tǒng)地建立了微積分的符號(hào)與運(yùn)算規(guī)則，直到現(xiàn)在仍在沿用。

1684年，他又發(fā)表了一份著名的微積分文獻(xiàn)，題目出奇的長(zhǎng)：“一個(gè)求極大和極小的切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及與這種新方法相關(guān)的奇妙類型的計(jì)算”。題目如此之長(zhǎng)，內(nèi)容卻較為簡(jiǎn)短，這篇論文竟然對(duì)微積分的創(chuàng)立產(chǎn)生了劃時(shí)代的影響。

1686年，萊布尼茨又發(fā)表另一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)，首先創(chuàng)造了積分符號(hào)。萊布尼茨清醒地認(rèn)識(shí)到，一個(gè)好的符號(hào)和運(yùn)算體系更能節(jié)省思維，運(yùn)用符號(hào)和規(guī)則的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。正因?yàn)槿绱?，萊布尼茨的微積分比牛頓的更具有啟示性，在推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展方面，萊布尼茨功不可沒。

盡管牛頓與萊布尼茨二人的微積分形式不同，但所建立的微積分體系的本質(zhì)是一致的。牛頓偏重從物理問題出發(fā)，應(yīng)用了運(yùn)動(dòng)學(xué)的原理，如瞬時(shí)速度中的“微分”、運(yùn)動(dòng)變量的“積分”等概念，使微積分更容易理解和掌握；而萊布尼茨則多從幾何學(xué)問題出發(fā)，用分析法引進(jìn)微積分，得出運(yùn)算法則，因而要比牛頓的更為規(guī)范和嚴(yán)密。兩人從貌似完全不同的兩個(gè)突破口出發(fā)，使微積分并駕齊驅(qū)地在兩條不同的路線上創(chuàng)立起來。

牛頓-萊布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被稱為微積分基本定理，揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或者不定積分之間的聯(lián)系。因?yàn)槎咦钤绨l(fā)現(xiàn)了這一公式，于是命名為牛頓-萊布尼茨公式。

正當(dāng)人們欣賞微積分創(chuàng)建宏業(yè)之際，因?yàn)槲⒎e分的兩種形式而掀起的軒然大波，造成了歐洲大陸數(shù)學(xué)家與英國(guó)數(shù)學(xué)家的長(zhǎng)期對(duì)立。在一個(gè)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，由于閉關(guān)鎖國(guó)和民族偏見，英國(guó)數(shù)學(xué)過于拘泥于牛頓的“流數(shù)術(shù)”而裹足不前，失去了自身的發(fā)展優(yōu)勢(shì)，使英國(guó)數(shù)學(xué)幾乎落后歐洲大陸一個(gè)世紀(jì)。

歷史上任何一項(xiàng)重大的理論，在其創(chuàng)建之初，往往不免帶有不足和缺陷。牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立了微積分體系，卻沒能更深入地發(fā)展這一理論。例如，在無窮和無窮小量的說法上前后含糊，其說不一，牛頓的無窮小量有時(shí)候是零，有時(shí)候不是零；而萊布尼茨的無窮小量的說法也不能自圓其說。

由于早期微積分在嚴(yán)密性上的缺陷，導(dǎo)致數(shù)學(xué)上的第二次危機(jī)發(fā)生。直到19世紀(jì)初，經(jīng)法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西、德國(guó)數(shù)學(xué)家威爾斯特拉斯完善了極限理論，在康托爾、戴德金等人建立了實(shí)數(shù)理論之后，極限理論成為微積分的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，微積分才以充分嚴(yán)密化的方式發(fā)展起來。就這樣，微積分的發(fā)展曲曲折折地經(jīng)歷了整整150年。

今天，微積分已經(jīng)成為天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、應(yīng)用科學(xué)和社會(huì)科學(xué)各分支中不可缺少的工具。特別是計(jì)算機(jī)發(fā)明之后，微積分在廣泛應(yīng)用之中愈發(fā)不斷完善而豐富。

來源：《科學(xué)史上的365天》，略有刪改

作者：魏鳳文 武軼

編輯：張潤(rùn)昕