清?項名達《下學葊算書》之共軛勾股形說(7)

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：本文取自清?項名達著《下學葊算書一》之勾股第六術，主要介紹該書之勾股形之三邊算法之不同情況。本文有四題，而此四題之解法皆源自同一模式，其要點為配成一完全平方，經開方后即可求勾股弦之長。

關鍵詞：四因積  長闊較  弦和和 折半  共軛勾股形

以下各題皆取材自《下學葊算書一?勾股六術?第六術》。筆者有文已談及類似題目，名為〈《御制數(shù)理精蘊》勾股法之“勾股弦總和較相求法”〉，此文之解題法依《御制數(shù)理精蘊》﹝簡稱為《精蘊》﹞，《精蘊》之解題法迂回，本文之法較直接。

筆者有文名為〈清?項名達《下學葊算書》勾股“配方術”之一/6〉，本文乃其延續(xù)。

注意勾股定理： z²= x² + y²。下左圖為一般之直角三角形圖﹝右圖為驗證數(shù)字，各題皆以此三數(shù)驗證﹞：

在以下各題中，x、y、z為直角三角形三邊為未知數(shù)，其他字母為已知數(shù)。

第六術

〈第五題〉

有股弦和、有弦較較，求勾、股、弦。

解：

題意指有一直角三角形，已知其股弦和，又知其勾股弦之弦較較，求勾、股與弦之長。以下為弦較較之定義：

今弦 = z，第一較字指勾股較 = y – x，第二較字指勾股較與弦之差。較即差。所以弦較較 = z– (y – x) = x – y + z。

今設股弦和z + y = m-------------------------------------------------- (1)

弦較較x – y + z = n -----------------------------------------------------(2)

(1) × (2) 得(z + y)(x+ z – y) = x(z + y) + z² – y² = mn------------- (3)

從 (3) 可得xm + x² = mn

x² + xm – mn = 0﹝以勾股定理化簡上式及移項﹞

依公式解得：

x =﹝取正號，古時以“帶縱較數(shù)開方法”﹞。

從 (2) 可得 z – y = n – x

z – y = n – = -------------(4)

已知z + y = m------------------------------------------------------------ (1)

從 (1) (4) 兩式可知z = [m+ ]

= 。

y = [m – ]

=。

設一勾股形x = 8，y =15，z = 17，若 z + y = 32 及x – y + z = 10，又設三邊長為未知數(shù)，以m = 32 及 n = 10 代入以上諸式，可得：

x = ==

= == 8。

y ==  =  = = 15。

z = = =  = = 17。

配合預設答案。

《下學葊算書》曰：

法：以股弦和、弦較較相乘為長方積，以股弦和為長闊較，用帶縱較數(shù)開方算之。四因積，與長闊較自乘相加，開平方得長闊和。和較相加折半為弦和和，相減折半為勾。弦和和弦較較相減折半為股，股減股弦和為弦。

注意以下步驟：

以股弦和、弦較較相乘為長方積，即 (z + y)(x + z – y) = x(z + y) + z² – y² = mn，

左方是為“長方積”。

四因積，因即乘，即 4x(z + y) + 4(z² – y²) = 4xz + 4xy+ 4x² = 4mn，

長闊較自乘，即 (z + y)² = z² + 2zy+ y² = m²，

以上兩式相加，4xz + 4xy + 4x² + z² + 2zy+ y² = (z + y + 2x)² = 4mn+ m²，注意此式成一完全平方，乃關鍵之步驟。

開平方得長闊和，即 z +y + 2x = √(4mn + m²) --------------- (5)。

重列 z + y = m是為長闊較----------------------------------------- (1)

相減折半為勾 即[(5) – (1)]， 得x = [√(4mn + m²) – m]，

寫成 x =。

相加折半為弦和和 即[(5) + (1)]， 得

弦和和 z + y + x = [√(4mn + m²) + m] ------------------------- (6)

弦較較 x +z – y = n---------------------------------------------------(2)

弦和和弦較較相減折半為股，即 [(6) – (2)]， 得

y = {[√(4mn+ m²) + m] – n } = 。

股減股弦較為弦，即 y +z – y = z= m –

即 z = 。

答案與前相同。

〈第六題〉

有勾弦和、有弦較和，求勾、股、弦。

解：

題意指有一直角三角形，已知其勾弦和，又知其弦較和，求勾、股與弦之長。以下為弦較和之定義：

弦 = z，較指勾股較 = y – x 。和指勾股較與弦之和，所以弦較和
=z + (y – x) = y – x+ z。

勾弦和 z + x = d-------------------------------------------------------- (1)

弦較和 y – x + z = e ----------------------------------------------------(2)

 (1) × (2) 得(z + x)(z – x + y) = y(z + x) + z² – x² = de----------- (3)

從 (3) 可得yd + z² – x²= de，

yd + y² = de

y² + yd – de = 0

y = ﹝以公式解，取正號﹞。

因為y – x + z = e，

所以z – x= e – y = e –，

又因為z + x = d，

從以上兩式可知z = [d +e –]

= 。

x = [d – e +]

=。

設一勾股形x = 8，y =15，z = 17，若 z + x = 25 及y – x + z = 24，三邊長為未知數(shù)，以 d = 25 及 e = 24 代入以上諸式，可得：

x == =
 =  = = 8。

y = === = 15。

z = = =  = = 17。

配合預設答案。

《下學葊算書》曰：

法：以勾弦和、弦較和相乘為長方積，以勾和為長闊較，用帶縱較數(shù)開方算之。四因積，與長闊較自乘相加，開平方得長闊和。和較相加折半為弦和和，相減折半為股。弦和和弦較和相減折半為勾，勾減勾弦和為弦。

注意以下步驟：

以勾弦和、弦較和相乘為長方積，即 (z + x)(z – x + y) = y(z + x) + z² – x² = de，

左方是為“長方積”。

四因積，即 4y(z + x) + 4(z² – x²) = 4yd + 4y² = 4de，

長闊較自乘，即 (z + x)² = z² + 2zx+ x² = d²，

相加，4yz + 4xy + 4y² + z² + 2zx+ x² = (z + x + 2y)² = 4de+ d²，

開平方得長闊和，即 z +x + 2y = √(4de + d²) -------- (5)

已知 z + x = d------------------------------------------------- (1)

相減折半為股 即[(5) – (1)]， 得y = [√(4de + d²) – d]，

寫成 y = 。

相加折半為弦和和 即 [(5) + (1)]， 得

弦和和 z + x + y = [√(4de + d²) + d] ------------------------ (6)

因為弦較和 y –x + z = e-------------------------------------------(2)

弦和和弦較和相減折半為勾，即 [(6) – (2)]， 得

x = {[√(4de+ d²) + d] – e } = 。

勾減勾弦和為弦，即 x +z – x = z= d –

即 z = 。

答案與前相同。

〈第七題〉

有股弦和、有弦和較，求勾、股、弦。

解：

題意指有一直角三角形，已知其股弦和，又知其弦和較，求勾、股與弦之長。以下為弦和較之定義：

已知弦 = z，和指股 + 勾 = y+ x，較指勾股和與弦之差，所以弦和較
=(y + x) – z= y + x – z。

股弦和z + y = f-------------------------------------------------------- (1)

弦和較y + x – z = g---------------------------------------------------(2)

(1) × (2) 得(z + y)(– z + y + x) = x(z + y) – (z²– y²) = fg -------- (3)

從 (3) 可得 xf – (z² – y²) = fg

– x²+ xf – fg = 0﹝以勾股定理化簡﹞

x² – xf + fg= 0

依公式解得：

x =﹝取負號，古時以“帶縱較數(shù)開方法”﹞。

從 (2) 可得– z + y = g – x

– z + y= g –

z – y =  –g -------------------------------------(4)

z + y = f  ----------------------------------------------------------- (1)

從以上兩式可知z = [ –g + f]

= 。

y = [f –+g]

=。

設一勾股形x = 8，y =15，z = 17，若 z + y = 32 及y + x – z = 6，設三邊長為未知數(shù)，以 f = 32 及 g = 6 代入以上諸式，可得：

x = ==

= = 8。

y ==  =  = = 15。

z = = =  = = 17。

配合預設答案。

《下學葊算書》曰：

法：以股弦和、弦和較相乘為長方積，以股弦和為長闊較，用帶縱較數(shù)開方算之。四因積，與長闊和自乘相減，開平方得長闊較。和較相加折半為弦較和，相減折半為勾。弦較和弦和較相加折半為股，股減股弦和為弦。

注意以下步驟：

股弦和、弦和較相乘為長方積，即

(z +y) [–(z – y) + x] = x(z + y) – (z²– y²) = fg，

四因積，即 4x(z + y) – 4(z² – y²) = 4xz + 4xy– 4x² = 4fg，

長闊和自乘，即 (z + y)² = z² + 2zy+ y² = f²，

相減，– 4xz – 4xy + 4x²+ z² + 2zy + y² = (y + z– 2x)² = – 4fg + f²，

開平方得長闊較，即 y +z – 2x = √(–4fg + f²) -------- (5)

重列 z + y = f ------------------------------------------------ (1)

相減折半為勾 即[(1) – (5)]，得 x = [f – √(–4fg + f²)]，

寫成 x =。

相加折半為弦和較 即 [(5) + (1)]， 得

弦較和 y + z – x= [f +√(–4fg + f²)] ------------------- (6)

弦和較 y + x – z = g -------------------------------------------(2)

弦較和弦和較相加折半為股，即 [(2) + (6)]， 得

y = {g + [ f +√(–4fg+ f²)]} = 。

股減股弦和為弦，即 y +z – y = z= f –

即 z = 。

答案與前相同。

〈第八題〉

有勾弦和、有弦和較，求勾、股、弦。

解：

題意指有一直角三角形，已知其勾弦和，又知其弦和較，求勾、股與弦之長。以下為弦和較之定義：

弦 = z，和指股 + 勾 = y+ x，較指勾股和與弦之差，所以弦和較
=(y + x) – z= y + x – z。

勾弦和 z + x = d------------------------------------------------------- (1)

弦和較y + x – z = g---------------------------------------------------(2)

(1) × (2) 得(z + x)(– z + x + y) = y(z + x) – (z²– x²) = dg -------- (3)

從(3) 可得 yd – (z² – x²) = dg，

– y²+ yd – dg = 0﹝以勾股定理化簡﹞

y² – yd + dg = 0。

依公式解得：

y =﹝取正號﹞。

從 (2) 可得 z – x = y – g，即：

z – x = –g-------------------------------------(4)

z + x = d  ------------------------------------------------------- (1)

從以上兩式可知z = [(1) + (4)] = [d+  – g]

= 。

x = [(1) – (4)] = [d –+g]

=。

設一勾股形x = 8，y =15，z = 17，若 z + x = 25 及y + x – z = 6，三邊長為未知數(shù)，以 d = 25 及 g = 6 代入以上諸式，可得：

x = ==

= == 8。

y ==  =  = = 15。

z = = =  = = 17。

配合預設答案。

《下學葊算書》曰：

法：以勾弦和、弦和較相乘為長方積，以勾弦和為長闊和，用帶縱和數(shù)開方算之。四因積，與長闊和自乘相減，開平方得長闊較。和較相減折半為弦較較，相加折半為股。弦較較弦和較相加折半為勾，勾減勾弦和為弦。

注意以下步驟：

勾弦和、弦和較相乘為長方積，即

(z +x) [–(z – x) + y] = y(z + x) – (z²– x²) = dg，

四因積，即 4y(z + x) – 4(z² – x²) = 4yz + 4xy– 4y² = 4dg，

與長闊和自乘，即 (z + x)² = z² + 2zx+ x² = d²，

相減，– 4yz – 4xy + 4y²+ z² + 2zx + x² = (–x – z+ 2y)² = d² – 4dg，

開平方得長闊較，即 – x – z + 2y= √(d²– 4dg) -------- (5)

重列  z + x = d -------------------------------------------------- (1)

相加折半為股 即[(1) + (5)]， 得y = [d+ √(d²– 4dg)]，

寫成 y =。

相減折半為弦較較 即 [(1) – (5)]，得

弦較較 x + z – y= [d –√(d² – 4dg)] ------------------------- (6)

弦和較 y + x – z = g------------------------------------------------(2)

弦較較弦和較相加折半為勾，即 [(2) + (6)]， 得

x = {g +[d –√(d² – 4dg)]} = 。

勾減勾弦和為弦，即 x +z – x = z= d –

即 z = 。

答案與前相同。

又項名達發(fā)現(xiàn)本題可以另有答案。

若 y =﹝取正號﹞，則得已上之答案，但亦可取負號，即：

y₁ =。

z₁ – x₁ = –g ----------------------------------- (7)

z₁ + x₁ = d --------------------------------------------------------- (1)

從以上兩式可知z₁=[(1) + (7)] = [d+  – g]

= 。

x₁ =[(1) – (7)] = [d –+g]

= 。

設一勾股形之z₁ + x₁ = 25 及y₁ + x₁ – z₁ = 6，三邊長為未知數(shù)，以 d = 25 及 g = 6 代入以上諸式，可得：

x₁ = ==

= = = 10。

y₁ == =  = = 10。

z₁ = = =  = = 14。

所以勾股形三邊長為x₁ = 10，y₁ =10，z₁ = 14。

驗算：z₁ + x₁ = 14 + 10 = 25；

y₁+ x₁ – z₁ = 10 + 10 – 14 = 6，合所問。

筆者稱根號取正號所得之勾股形為“標準勾股形”，根號取負號所得之勾股形為“共軛勾股形”。

下圖左方為本題之標準勾股形，右方為其共軛勾股形，此兩名稱不能互換，蓋共軛勾股形 X₁Y₁Z₁ 之勾大于股，與傳統(tǒng)之勾股形定義不同，若強調勾必須少于股，則勾股形X₁Y₁Z₁ 未算作答案。

若 √(d² – 4dg) = 0，則標準勾股形即共軛勾股形。例如一勾股形 x = 3，y = 4，z = 5，若 z + x = 8 及y + x – z = 2。即 d = 8 及 g = 2， 代入 √(d² – 4dg)，可得 √(64 – 4 × 8 × 2) = 0，即標準勾股形即共軛勾股形，或曰無共軛勾股形。

若 √(d² – 4dg) 為整數(shù)，則共軛勾股形三邊長亦必為有理數(shù)。

以下為《下學葊算書》之原文：