楊振寧先生認(rèn)為“量子化、對(duì)稱性與相位因子是20世紀(jì)物理學(xué)發(fā)展的三個(gè)主旋律”。菲利普·安德森在20世紀(jì)70年代初就指出[1]，多者異也 (More is different) 。當(dāng)大量粒子相互耦合構(gòu)成一個(gè)多體系統(tǒng)，在低能下它將演生出與原始構(gòu)成粒子所不同的集體激發(fā)準(zhǔn)粒子，此為演生現(xiàn)象[2]。比如原子構(gòu)成晶體，其低能集體激發(fā)的準(zhǔn)粒子為傳播振動(dòng)與熱的聲子。然而一旦將晶體拆散分離成原子，聲子又不復(fù)存焉，所以聲子就是一種最為常見而典型的演生準(zhǔn)粒子。演生聲子這種現(xiàn)象背后的根本原因是：晶體自發(fā)破缺了晶體的連續(xù)平移對(duì)稱性，隨之催生了無質(zhì)量的集體激發(fā)，這種模式是對(duì)有序基態(tài)的擾動(dòng)，反映了一種試圖恢復(fù)其原始對(duì)稱性的傾向。事實(shí)上，人們?cè)诖笞匀恢兴^察到的形形色色的物質(zhì)形態(tài)大多是由于其多體系統(tǒng)的自發(fā)對(duì)稱破缺，從而建立起長(zhǎng)程有序的物相。所謂“物相”，指的是一個(gè)多體系統(tǒng)表現(xiàn)出的集體宏觀性質(zhì)，它不會(huì)隨著微觀參數(shù)的微小變動(dòng)而改變。比如，鐵磁體在一定的溫度區(qū)間內(nèi)都可以表現(xiàn)出磁性行為，所以叫鐵磁相。因此廣義而言，物相的定義依賴于某種絕熱原理，隨著微觀參數(shù)的變化，只要宏觀物理量的各階導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，沒有碰見奇異性，則可判別為同一個(gè)物相，并具有定性一致的行為。微觀上說，物相的穩(wěn)定性反映了一種集體秩序。比如，鐵磁體中不同原子磁矩由于相互作用傾向于集體同向排列而降低能量，但是熱運(yùn)動(dòng)又傾向于摧毀這種秩序而形成無序，所以便有了競(jìng)爭(zhēng)。溫度的變化會(huì)干預(yù)其競(jìng)爭(zhēng)，比如在高溫下熱運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致無序取得勝利，而在低溫下相互作用使能量降低則戰(zhàn)勝了熱運(yùn)動(dòng)，于是在兩者之間便有了相變。當(dāng)溫度被持續(xù)調(diào)節(jié)到一定程度，達(dá)到臨界閾值，量變將引起質(zhì)變，宏觀物理量將發(fā)生非解析的奇異行為，標(biāo)志著相變[3]。最早人們?cè)趯?shí)踐經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的是諸如氣液轉(zhuǎn)變這樣的伴隨有潛熱等現(xiàn)象的相變，其數(shù)學(xué)上對(duì)應(yīng)于自由能函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)性，被稱為一級(jí)相變。神奇的是，人們后來發(fā)現(xiàn)了氣液在更高溫度和壓強(qiáng)下會(huì)變得不可區(qū)分，期間經(jīng)歷一個(gè)臨界點(diǎn)，在臨界點(diǎn)上自由能函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)性，所以被稱為連續(xù)相變。宏觀上對(duì)相變臨界點(diǎn)的唯象理解最早由朗道—金茲堡 (Landau—Ginzburg) 的對(duì)稱破缺理論建立起來：相變的發(fā)生是由于自由能隨參數(shù)的變化導(dǎo)致了某種自發(fā)對(duì)稱破缺。比如低溫下原子液體進(jìn)入超流相，或者金屬進(jìn)入超導(dǎo)相是由于自發(fā)破缺了與粒子數(shù)守恒相關(guān)U(1)規(guī)范對(duì)稱性，從而建立起了宏觀的量子相干現(xiàn)象。因此，在朗道—金茲堡的理論中，物相由對(duì)稱性刻畫，而相變由對(duì)稱性自發(fā)破缺導(dǎo)致 (圖1)。然而微觀上，在參數(shù)變動(dòng)的纖毫之末，一個(gè)宏觀物理系統(tǒng)中的1023多的粒子是如何相互關(guān)聯(lián)而集體發(fā)生改變的呢？此外，更為驚人的是，大自然紛繁復(fù)雜的物質(zhì)體系，其相變卻呈現(xiàn)出極其簡(jiǎn)單的普適行為。后來人們發(fā)現(xiàn)這是因?yàn)樵谙嘧兣R界點(diǎn)附近微觀粒子的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度發(fā)散，從而系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不依賴于其微觀細(xì)節(jié)，只取決于系統(tǒng)序參量維數(shù)和空間維數(shù)這樣的宏觀基本量[3]。
圖1 朗道自發(fā)對(duì)稱破缺相變理論的示意圖。左側(cè)是無序相，其自由能 F 隨著序參量 ? 的函數(shù)關(guān)系如上圖所示，自由能極小對(duì)應(yīng) ?=0。典型的例子是鐵磁耦合的原子磁矩在高溫下由熱漲落導(dǎo)致雜亂無序。右側(cè)是有序相，有限序參量才能使得自由能最低，因而基態(tài)會(huì)發(fā)生自發(fā)對(duì)稱破缺， 即spontaneous symmetry breaking (SSB)，磁性系統(tǒng)在低溫下原子磁矩同向排列
此外，在接近絕對(duì)零度時(shí)，當(dāng)改變多粒子系統(tǒng)的某一參數(shù)，如粒子間的耦合強(qiáng)度、壓力或外加磁場(chǎng)強(qiáng)度，可以將系統(tǒng)從一種無序的狀態(tài)連續(xù)變化到一種有序的狀態(tài)。由于在臨界點(diǎn)附近存在強(qiáng)烈的量子漲落，這類相變與僅由溫度所引起的熱力學(xué)相變完全不同，被稱為量子相變[4]，相變的臨界點(diǎn)在絕對(duì)零度。量子漲落是導(dǎo)致量子相變的根本原因，其來源是量子系統(tǒng)中物理量的非對(duì)易性。一個(gè)典型的例子是，受橫向磁場(chǎng)作用的一維伊辛 (Ising) 模型，隨著磁場(chǎng)的增強(qiáng)，該模型會(huì)出現(xiàn)從鐵磁相到順磁相的量子相變。這類相變，盡管是發(fā)生在絕對(duì)零度，但依然可以納入朗道對(duì)稱破缺的二級(jí)相變理論框架之中。對(duì)稱破缺相變的微觀定量描述由威爾遜(Wilson)所提出的重正化群理論來奠基，其基本思想是考慮熱力學(xué) (量子) 漲落，在標(biāo)度變換下，通過逐級(jí)計(jì)算短程高能的物理效應(yīng)來修正微觀粒子間的耦合系數(shù)，最終得到長(zhǎng)波低能極限下的有效物理作用量。由此，描述相與相變的朗道—金茲堡—威爾遜(Landau—Ginzburg—Wilson，LGW)范式猶如一座大廈落成，而對(duì)稱性也成為凝聚態(tài)物理領(lǐng)域研究物相與集體激發(fā)行為的主旋律。此外，二維經(jīng)典物理體系會(huì)出現(xiàn)一種特殊的熱力學(xué)相變，即Kosterlitz—Thouless(KT)相變[5]。根據(jù)Mermin—Wagner定理，我們知道在具有連續(xù)對(duì)稱性的二維體系中，熱漲落會(huì)抵抗連續(xù)對(duì)稱性的自發(fā)破缺，摧毀有限溫度下的長(zhǎng)程序，從而導(dǎo)致有限溫度下不可能發(fā)生有序相變。然而，在1973年Kosterlitz與Thouless發(fā)現(xiàn)，由于經(jīng)典渦旋拓?fù)浼ぐl(fā)的參與，有限溫度下可以發(fā)生不破缺連續(xù)對(duì)稱性的連續(xù)相變。在高溫?zé)o序相，關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度有限，關(guān)聯(lián)函數(shù)隨空間距離指數(shù)衰減，而跨越臨界點(diǎn)進(jìn)入低溫相之后，關(guān)聯(lián)函數(shù)呈現(xiàn)冪律衰減，而且具有普適的標(biāo)度行為，介于長(zhǎng)程序與無序之間，叫準(zhǔn)長(zhǎng)程有序，其背后的物理圖像是系統(tǒng)中的渦旋拓?fù)浼ぐl(fā)形成束縛態(tài)。作為超越LGW范式的最早例子，這里的渦旋拓?fù)浼ぐl(fā)因?yàn)橄鄬?duì)直觀而且最早進(jìn)入人們的視野，所以早期的凝聚態(tài)物理學(xué)家還曾將Kosterlitz—Thouless相變溫度以下的這個(gè)無能隙準(zhǔn)長(zhǎng)程序稱作“拓?fù)湫颉?，此概念與后來人們所關(guān)注的有能隙相中的拓?fù)湫蚋拍畈豢赏斩Z。自20世紀(jì)80年代開始，人們陸續(xù)從實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)超越LGW范式的量子多體物質(zhì)形態(tài)。這些物質(zhì)形態(tài)都不具備對(duì)稱破缺導(dǎo)致的長(zhǎng)程序，但是它們之間的轉(zhuǎn)變又不可避免要經(jīng)歷奇異性，亦即發(fā)生相變。根據(jù)絕熱原理，它們應(yīng)當(dāng)屬于不同的物相。因此，LGW范式預(yù)言“沙漠”之中尚有形態(tài)各異的“綠洲”。這類超越LGW范式的物相，盡管沒有對(duì)稱性的區(qū)分，卻有著拓?fù)湫再|(zhì)上的差異[6]。所謂對(duì)稱性，原來是指系統(tǒng)在某種微觀操作下的不變性，比如微觀粒子的集體平移、旋轉(zhuǎn)；而所謂拓?fù)湫再|(zhì)，是指系統(tǒng)具有一些離散的整數(shù)化的宏觀物理量，且這些物理量不隨著輕微擾動(dòng)而改變。比如，常見的一個(gè)紐結(jié)不隨著繩子形變而解開，一個(gè)渦旋不隨著擾動(dòng)而消逝，一個(gè)甜甜圈一般的圓環(huán)面不隨著扭捏而化作球面。在量子多體系統(tǒng)中的拓?fù)渫w現(xiàn)在某種集體激發(fā)準(zhǔn)粒子波函數(shù)的相位因子上，比如在閉合軌跡下積累了不依賴于具體動(dòng)力學(xué)的量子化Berry相位[7]。因此，量子多體系統(tǒng)中演生出來的物相及其相變，繼續(xù)體現(xiàn)著楊振寧先生曾經(jīng)所概括的三個(gè)主旋律。超越朗道范式的拓?fù)淞孔游飸B(tài)
以二維量子霍爾效應(yīng)為范例，我們簡(jiǎn)要回顧拓?fù)湮锵嗟陌l(fā)展，試圖勾勒出弱相互作用系統(tǒng)中拓?fù)潆娮討B(tài)的基本物理。在固體材料中，弱相互作用的電子由于量子效應(yīng)而形成分立的能帶結(jié)構(gòu)，從而可以形成絕緣相。在絕緣相中，電子激發(fā)態(tài)需要克服有限能量，因而在低能下沒有電子激發(fā)，似乎與真空無異。然而，自從20世紀(jì)80年代發(fā)現(xiàn)量子霍爾效應(yīng)以來，人們發(fā)現(xiàn)在絕緣體中有一大類特殊的絕緣體，盡管其塊體內(nèi)無低能的電子激發(fā)，但是在其邊緣上卻有不需要克服能量的無能隙激發(fā)態(tài)，并且還具有強(qiáng)的魯棒性，其背后的根源正是拓?fù)湎辔灰蜃印?span>在磁場(chǎng)中，二維電子氣會(huì)受到洛倫茲力而圍繞磁通發(fā)生回旋運(yùn)動(dòng)，在能譜上形成朗道能級(jí)，其能級(jí)間距正比于回旋頻率，取決于磁場(chǎng)大小和電子有效質(zhì)量。每個(gè)能級(jí)具有與體系尺寸相匹配的巨大簡(jiǎn)并度，因?yàn)樵趯?shí)空間上每個(gè)量子磁通就對(duì)應(yīng)于一個(gè)電子軌道。由于泡利不相容原理，當(dāng)電子填滿整數(shù)個(gè)能級(jí)的時(shí)候，再增加一個(gè)電子需要克服系統(tǒng)能隙，所以該體系為“不可壓縮”絕緣態(tài)。盡管體內(nèi)激發(fā)具有能隙，但在實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到量子化的橫向電導(dǎo)表明其系統(tǒng)邊緣存在穩(wěn)健的單向流動(dòng)的無能隙電子態(tài)模式，這就是量子霍爾效應(yīng)。橫向電導(dǎo)的量子化暗示了其內(nèi)在的拓?fù)湫浴Ｔ?982年，Thouless，Kohmoto，Nightingale與denNijs四人首次提出了TKNN公式來刻畫量子霍爾態(tài)的拓?fù)浔举|(zhì)，并且將其體塊和邊緣的橫向電導(dǎo)聯(lián)系了起來[8]。TKNN公式本質(zhì)上就是從集體激發(fā)的電子波函數(shù)中提取出Berry相位。要理解Berry相位通量的量子化，一個(gè)最簡(jiǎn)單而又具有代表性的例子就是考慮一個(gè)連續(xù)動(dòng)量空間中的狄拉克(Dirac)旋量波函數(shù)，粒子受到磁單極子的作用：
其對(duì)應(yīng)的基態(tài)本征波函數(shù)為其中θ，?為球面角參數(shù)。然后，我們可以求得Berry聯(lián)絡(luò)：當(dāng)θ=0，也就是環(huán)繞北極點(diǎn)的無窮小軌跡其獲得相位為0；當(dāng)θ=π/2，其獲得π相位；而當(dāng)θ=π，將獲得2π相位。也就是說，磁單極子具有2π的量子化的Berry通量。確實(shí)，狄拉克磁單極子攜帶著一根具有2π Berry通量的狄拉克弦。在我們這個(gè)例子中，該弦從奇點(diǎn)向南極無窮延伸，如圖2所示。此外，狄拉克磁單極子Berry通量的量子化與二維空間中的Berry通量的量子化密切相關(guān)。只要我們?nèi)∫粋€(gè)映射：其中m代表狄拉克費(fèi)米子的靜質(zhì)量。如此定義了從二維空間到三維空間的一個(gè)曲面映射，直觀上相當(dāng)于將二維動(dòng)量平面嵌入到三維空間中，或者說把三維中的一個(gè)曲面攤開延展到二維平面(圖2)。簡(jiǎn)單分析看到，當(dāng)m<0，二維動(dòng)量平面相當(dāng)于完全包裹了一個(gè)磁單極子，從而獲得2π的Berry通量。反之，m>0則對(duì)應(yīng)于0通量。通過這個(gè)簡(jiǎn)單而又具有代表性的例子，我們可以窺見，二維封閉流形中的Berry通量量子化本質(zhì)上是因?yàn)槿S空間中磁單極子的量子化，對(duì)應(yīng)于二維空間中的一個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，稱為斯格明子(skyrmion)。
圖2 將包裹著一個(gè)狄拉克磁單極子的球面延展到一個(gè)平直二維平面，即斯格明子(skyrmion)由于拓?fù)淞孔訑?shù)具有魯棒性，只要系統(tǒng)的能隙不被關(guān)閉，則不能發(fā)生改變。人們將這樣得到的量子數(shù)稱為拓?fù)潢悢?shù)(Chern number)，因?yàn)槠浔澈蟮纳羁虜?shù)學(xué)描述是由陳省身先生研究創(chuàng)建的纖維叢理論。由于這樣的絕緣體體內(nèi)具有非零的拓?fù)潢悢?shù)，而體外的真空等價(jià)于拓?fù)潢悢?shù)為零，則其邊緣作為兩者的過渡區(qū)域必然要發(fā)生某種特殊的低能物理特征來彌補(bǔ)拓?fù)鋽?shù)之差，這便是單向傳輸 (手征性) 的無能隙邊緣量子電子態(tài)模式。也就是說，邊緣模式是由于體內(nèi)與體外的拓?fù)洳顒e，因而必然具有魯棒性，不受邊緣形狀、雜質(zhì)散射所影響，而且邊緣模式的數(shù)目也會(huì)由體內(nèi)的拓?fù)鋽?shù)完全決定，所以完美解釋了實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的量子化橫向電導(dǎo)。自整數(shù)量子霍爾效應(yīng)從理論上被解釋之后，人們很快設(shè)想在電子多體系統(tǒng)中，即使在沒有外加磁場(chǎng)的情況下也可以發(fā)生量子霍爾效應(yīng)，因而被稱為量子反常霍爾效應(yīng)。1988年，Haldane最先提出了一個(gè)理想模型，可以實(shí)現(xiàn)量子反常霍爾效應(yīng)[9]。在一個(gè)描述石墨烯低能物理的六角晶格無自旋電子緊束縛模型中，電子只能在近鄰格點(diǎn)之間躍遷。由于六角晶格的元胞包含兩個(gè)格點(diǎn)軌道電子，因此可以在布里淵區(qū) (Brillouin zone，BZ) 中得到兩條能帶，而兩條能帶在BZ角點(diǎn)K與-K上發(fā)生點(diǎn)接觸，形成局部線性色散的狄拉克錐。也就是說，盡管原始構(gòu)成粒子為非相對(duì)論性的緊束縛電子，然而在低能下，該系統(tǒng)中的電子表現(xiàn)為一對(duì)具有線性能動(dòng)量關(guān)系的無質(zhì)量狄拉克費(fèi)米子 (圖3) 。圖3 (a)六角晶格；(b)六角晶格最近鄰躍遷模型在動(dòng)量空間中的能帶色散關(guān)系及其低能狄拉克錐。黑色六邊形標(biāo)記BZ，平均每個(gè)BZ分得一對(duì)狄拉克錐
Haldane在這樣的模型中引入一個(gè)帶相位的次近鄰電子躍遷項(xiàng)，使得低能狄拉克費(fèi)米子獲得質(zhì)量。尤為重要的是，他施加的躍遷相位正好使得兩個(gè)狄拉克費(fèi)米子獲得相反符號(hào)的質(zhì)量，一正一負(fù)。狄拉克費(fèi)米子獲得質(zhì)量則意味著在能帶上打開能隙，可以通過計(jì)算拓?fù)潢悢?shù)發(fā)現(xiàn)，其中一個(gè)能帶具有+1的陳數(shù)而另一個(gè)能帶的陳數(shù)為-1，從而完全填充其中一個(gè)能帶便可實(shí)現(xiàn)量子反常霍爾效應(yīng)。直觀上看，一個(gè)帶質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子可以攜帶±π的Berry相位通量，而兩個(gè)組合起來則可以為2π或0兩種可能。在Haldane模型里，當(dāng)取相同的質(zhì)量則得到0通量，而相反質(zhì)量則得到2π通量。值得注意的是，這樣的模型盡管沒有外加磁場(chǎng)，但是依然不可避免地破壞了時(shí)間反演對(duì)稱性。事實(shí)上，這是因?yàn)殡娮硬ê瘮?shù)的相位在時(shí)間反演下反號(hào)，從而拓?fù)潢悢?shù)也繼承了這樣的行為，非零陳數(shù)必然意味著時(shí)間反演對(duì)稱性的破壞。隨后人們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)反例，或者說是對(duì)原來的拓?fù)潢悢?shù)的推廣。2004年，C. Kane與E. Mele在Haldane模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮到自旋軌道耦合效應(yīng)提出了一個(gè)新的理想模型[10]。由于存在電子自旋自由度，他們的模型在低能下本質(zhì)上相當(dāng)于將兩個(gè)Haldane模型，分別對(duì)應(yīng)自旋上和自旋下，以相反的方式來破缺時(shí)間反演對(duì)稱性，從而在整體上維護(hù)系統(tǒng)時(shí)間反演對(duì)稱性。然而，只要保證兩個(gè)自旋自由度不發(fā)生耦合散射，則其各自的拓?fù)鋽?shù)仍然可以良好定義并且滿足守恒定律，即自旋自由度為好量子數(shù)。更一般而言，該體系只需要時(shí)間反演對(duì)稱性保護(hù)，狹義的“拓?fù)浣^緣體”指的就是這樣的在時(shí)間反演對(duì)稱性保護(hù)下具有非平庸Z2拓?fù)鋽?shù)的絕緣體。拓?fù)湫再|(zhì)導(dǎo)致在體系邊緣上，產(chǎn)生分別對(duì)應(yīng)兩種自旋自由度而反向運(yùn)動(dòng)的無能隙電子流，從而形成拓?fù)浔Ｗo(hù)的手征自旋流。換個(gè)角度看，其邊緣上相當(dāng)于產(chǎn)生了無質(zhì)量的自旋軌道鎖定的螺旋電子運(yùn)動(dòng)模式，這樣的拓?fù)湎啾蝗藗兎Q為量子自旋霍爾態(tài)。后來，與之等價(jià)的拓?fù)湎嘁脖粡埵仃傻热祟A(yù)言會(huì)在HgTe—CdTe量子阱中實(shí)現(xiàn)[11]。自此，拓?fù)浣^緣體受到許多人的關(guān)注，并開辟了一個(gè)全新的領(lǐng)域。不難發(fā)現(xiàn)，由于量子多體系統(tǒng)中還有許多其他的自由度，類似于量子自旋霍爾效應(yīng)的推廣還可以有許多，比如量子能谷霍爾態(tài)[12]。除此之外，拓?fù)浣^緣體不限于二維，在三維體系中人們也提出了類似的Z2拓?fù)鋽?shù)的概念。借助于量子自旋霍爾效應(yīng)的平臺(tái)，通過摻入磁性雜質(zhì)來主動(dòng)破壞時(shí)間反演對(duì)稱性，薛其坤團(tuán)隊(duì)首次觀測(cè)到了量子反常霍爾效應(yīng)，從而在實(shí)驗(yàn)上首次驗(yàn)證了量子反常霍爾效應(yīng)[13]。這一大類的拓?fù)洳牧嫌捎诰哂型負(fù)浔Ｗo(hù)的邊緣傳輸模式，包括電荷、自旋輸運(yùn)模式，乃至能谷輸運(yùn)模式，因而在低功耗自旋、能谷電子學(xué)器件應(yīng)用上具有廣闊前景。最簡(jiǎn)單的二維拓?fù)涑瑢?dǎo)是具有軌道角動(dòng)量 l = ±1 的 p ± ip 無自旋費(fèi)米子超導(dǎo)，以及 l = ±2 的 d ± id 自旋單態(tài)配對(duì)的超導(dǎo)。根據(jù)泡利不相容原理，無自旋費(fèi)米子的配對(duì)波函數(shù)其軌道自由度必然要具有反對(duì)稱性，在有單軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的前提下意味著奇數(shù)的角動(dòng)量，則最簡(jiǎn)單的例子便是px+ipy。在連續(xù)極限下，低能有效哈密頓量可以寫為
轉(zhuǎn)換到動(dòng)量空間中，上式成為其中，我們將電子和空穴組成二分量的旋量，而ρ則是作用在該旋量空間中的三個(gè)泡利算符矩陣。因此，有效哈密頓量表示為贗磁場(chǎng)與贗自旋的作用，該磁場(chǎng)在動(dòng)量空間中的分量為其形式等價(jià)于我們先前所討論的狄拉克二分量旋量費(fèi)米子哈密頓量式，這里的拓?fù)渲苯芋w現(xiàn)在背后的贗磁單極子的量子化。只有當(dāng)化學(xué)勢(shì) μ = 0 的時(shí)候，準(zhǔn)粒子激發(fā)譜在 k = 0 處關(guān)閉能隙，除此之外，系統(tǒng)具有有限大的能隙。因此， μ = 0 是一個(gè)臨界點(diǎn)，分開了兩個(gè)有能隙超導(dǎo)相。這兩個(gè)超導(dǎo)相具有完全一樣的對(duì)稱性，但是它們有著不同的拓?fù)潢悢?shù)：C = 1，μ > 0，而 C = 0，μ < 0。也就是說，μ > 0時(shí)，化學(xué)勢(shì)從能帶中切割出費(fèi)米面，此時(shí)的超導(dǎo)具有非平庸的拓?fù)湫再|(zhì)，對(duì)應(yīng)弱配對(duì)的巴丁—庫(kù)珀—施里弗(Bardeen—Cooper—Schrieffer，BCS)極限；而μ < 0時(shí)，系統(tǒng)不具有費(fèi)米面，此時(shí)的超導(dǎo)是平庸的，對(duì)應(yīng)于強(qiáng)配對(duì)的玻色—愛因斯坦凝聚(Bose—Einstein—Condensation，BEC)極限。與常規(guī)s波配對(duì)超導(dǎo)態(tài)不同，p波超導(dǎo)的弱配對(duì)BCS極限與強(qiáng)配對(duì)BEC極限并不絕熱相連，其拓?fù)洳坏葍r(jià)性導(dǎo)致必然需要經(jīng)歷一個(gè)拓?fù)湎嘧?sup>[14]。考慮 μ > 0 的一個(gè)足夠大且具有開放邊界的系統(tǒng)，由于從系統(tǒng)內(nèi)部到外面的真空經(jīng)歷了拓?fù)潢悢?shù)從 C = 1 到 C = 0 的變化，在系統(tǒng)的邊緣上必然要關(guān)閉能隙。在開放邊界條件下，通過求解Bogoliubov—de Gennes方程得出，在邊緣上將出現(xiàn)手征性、單向性準(zhǔn)粒子傳導(dǎo)，即破壞了時(shí)間反演與宇稱的馬約拉納(Majorana)費(fèi)米準(zhǔn)粒子模式。更進(jìn)一步，我們可以求解出，當(dāng)超導(dǎo)體塊中出現(xiàn)了超導(dǎo)渦旋的時(shí)候，將會(huì)俘獲一個(gè)嚴(yán)格零能量的孤立馬約拉納費(fèi)米子。這可以如下簡(jiǎn)單理解：將超導(dǎo)渦旋近似處理成超導(dǎo)體上一個(gè)挖空的圓對(duì)稱的區(qū)域，則圍繞其邊緣會(huì)出現(xiàn)線性色散的手征馬約拉納費(fèi)米子模式，而由于磁通渦旋的存在抵消掉了p+ip超導(dǎo)自身攜帶的2π相位環(huán)繞。所以，該手征馬約拉納費(fèi)米子模式波函數(shù)滿足周期邊界條件，從而其軌道角動(dòng)量整數(shù)量子化，其中角動(dòng)量為0的模式則為嚴(yán)格零能量的馬約拉納費(fèi)米子。事實(shí)上，其零能量受到拓?fù)浔Ｗo(hù)，在擾動(dòng)下該結(jié)論不變。磁通渦旋與俘獲的孤立零能量馬約拉納費(fèi)米子的復(fù)合體被稱為馬約拉納零能模式。與單純的費(fèi)米子不同，馬約拉納零能模具有非阿貝爾的統(tǒng)計(jì)，即兩個(gè)馬約拉納零能模相互纏繞一周彼此都會(huì)獲得π相位。如何在實(shí)際物理體系中實(shí)現(xiàn)p+ip拓?fù)涑瑢?dǎo)？2008年，傅亮和C. Kane提出在拓?fù)浣^緣體表面態(tài)上耦合常規(guī)超導(dǎo)體可以實(shí)現(xiàn)p+ip拓?fù)涑瑢?dǎo)[15]，該方案吸引了許多實(shí)驗(yàn)學(xué)者的關(guān)注。其方案的核心是，借助三維拓?fù)浣^緣體表面態(tài)上的狄拉克螺旋電子態(tài)的強(qiáng)自旋軌道耦合，有效地“凍結(jié)”電子自旋自由度，從而演生出p+ip的低能有效配對(duì)拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)。此外，我們簡(jiǎn)要介紹下一個(gè)d+id拓?fù)涑瑢?dǎo)。其超導(dǎo)配對(duì)波函數(shù)的軌道角動(dòng)量 l = 2，具有偶宇稱，因而出現(xiàn)在自旋單態(tài)配對(duì)中。d+id的配對(duì)波函數(shù)圍繞費(fèi)米面會(huì)發(fā)生4π的相位環(huán)繞，因此得到拓?fù)潢悢?shù)C = 2，在邊緣上會(huì)導(dǎo)致兩支手征馬約拉納模式，等價(jià)于一支狄拉克費(fèi)米子模式。此外，考慮到自旋單態(tài)配對(duì)不破壞SU(2)對(duì)稱性，所以Bogoliubov準(zhǔn)粒子激發(fā)攜帶自旋簡(jiǎn)并，從而其邊緣模式即為一支攜帶自旋的狄拉克費(fèi)米子模式。因此，盡管d+id超導(dǎo)也具有非平庸的拓?fù)洌瞧溥吘壞酥翜u旋中心都不具備孤立的馬約拉納模式，從而屬于阿貝爾統(tǒng)計(jì)類型[14]。有研究者認(rèn)為在1/4填充附近的石墨烯或者在三角晶格的哈伯德模型中可以實(shí)現(xiàn)d+id拓?fù)涑瑢?dǎo)。2.5 相應(yīng)的拓?fù)湎嘧?/span>按照絕熱原理，有序相的劃分依賴于相變，因而有序相與相變猶如一枚硬幣的兩面不可分割。在傳統(tǒng)的LGW范式中，有序相由序參量來刻畫，相變則對(duì)應(yīng)于序參量獲得一個(gè)非零真空期望值，相變理論基本決定于宏觀的序參量和空間維數(shù)。因而物質(zhì)的有序相及其相變有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，知道了兩個(gè)相，從對(duì)稱性和空間維度的信息便基本確定了其間的相變臨界理論，這就是凝聚態(tài)中的普適類的概念。與傳統(tǒng)LGW相變不同，拓?fù)湎嘧儾⒉簧婕皩?duì)稱性破缺，大多由拓?fù)鋽?shù)來刻畫，因而其拓?fù)潢悢?shù)的改變則標(biāo)志著拓?fù)湎嘧?，類比于LGW范式下對(duì)稱性的改變所描述的相變。在此類拓?fù)渑R界點(diǎn)上，往往具有無質(zhì)量狄拉克色散的費(fèi)米子激發(fā)，其數(shù)目取決于兩邊拓?fù)湎嗟耐負(fù)鋽?shù)之差，狄拉克費(fèi)米子質(zhì)量出現(xiàn)反號(hào)，則對(duì)應(yīng)拓?fù)湎嘧兊南嘧凕c(diǎn)。比如平庸絕緣態(tài)到量子自旋霍爾態(tài)的相變，在低能下對(duì)應(yīng)于一個(gè)二維螺旋狄拉克費(fèi)米子從正質(zhì)量變?yōu)樨?fù)質(zhì)量[11]。 超越朗道范式的內(nèi)稟拓?fù)溆行蛭飸B(tài)
諸如量子霍爾態(tài)、量子反?；魻枒B(tài)和拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)這樣的量子多體糾纏態(tài)，由于無法絕熱地演變成單粒子直積態(tài)，它們的拓?fù)湫再|(zhì)體現(xiàn)在邊緣上或者缺陷上的無能隙穩(wěn)健激發(fā)模式，而體內(nèi)并沒有任何不同于平庸相的物理效應(yīng)。然而，在粒子與粒子的強(qiáng)相互作用下，量子多體系統(tǒng)還可以演生出更加豐富的內(nèi)稟拓?fù)溆行蛭飸B(tài)，其拓?fù)浔举|(zhì)則體現(xiàn)在體內(nèi)可以出現(xiàn)新奇準(zhǔn)粒子激發(fā)，它們滿足的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)既非玻色亦非費(fèi)米統(tǒng)計(jì)。
通常在三維空間中，點(diǎn)狀粒子與粒子之間的任何纏繞軌跡均可以絕熱連續(xù)收縮回到原點(diǎn)，從而粒子與粒子之間的纏繞必然只能產(chǎn)生0或者2π的統(tǒng)計(jì)相位。由于兩次粒子交換操作等價(jià)于粒子之間的纏繞，所以粒子之間的交換只可能導(dǎo)致其波函數(shù)相位改變0或者π，分別對(duì)應(yīng)于玻色子與費(fèi)米子。然而在二維空間中，粒子之間的纏繞軌跡無法絕熱地收縮回到原點(diǎn)，從而原則上可以獲得更為一般的Berry相位(圖4)。在二維空間中，原則上可以出現(xiàn)超越玻色子與費(fèi)米子的其他分?jǐn)?shù)化統(tǒng)計(jì)相位的粒子，F(xiàn). Wilczek最早提出[16]，并稱之為“任意子”(anyon)。任意子之中又分為阿貝爾任意子與非阿貝爾任意子，前者的相互纏繞只導(dǎo)致波函數(shù)整體相位的改變，而后者對(duì)應(yīng)于矩陣形式的相位因子，所以相互纏繞導(dǎo)致波函數(shù)被完全改變。任意子在2+1維時(shí)空中相互纏繞的世界線等價(jià)于數(shù)學(xué)上的辮子群[17]。圖4 (a)在三維空間中，點(diǎn)粒子之間的纏繞軌跡可以沿著球面絕熱收縮回一個(gè)點(diǎn)，因而產(chǎn)生的相位只能為0(玻色)或者π(費(fèi)米)；(b)二維空間中，點(diǎn)粒子之間的纏繞軌跡由于被禁錮在二維平面內(nèi)而無法絕熱地收縮回一個(gè)點(diǎn)，因而原則上可以產(chǎn)生任意的Berry相位，包括非阿貝爾類型
這些超越玻色與費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的任意子便演生于強(qiáng)相互作用的內(nèi)稟拓?fù)溆行驊B(tài)之中。最為著名的例子便是實(shí)驗(yàn)中所觀測(cè)到的分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)，盡管其微觀基本自由度都只是電子，但是其強(qiáng)相互作用的結(jié)果導(dǎo)致在低能長(zhǎng)波極限下所觀測(cè)到的準(zhǔn)粒子具有分?jǐn)?shù)電荷并滿足統(tǒng)計(jì)，比如最早觀測(cè)到的電子比上磁通的填充數(shù) ν = 1/3 的Laughlin霍爾態(tài)，其準(zhǔn)粒子激發(fā)即具有1/3電荷的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，堪稱凝聚態(tài)中的夸克[18]；而知名的 ν = 5/2 填充的Moore—Read態(tài)[19]則具有非阿貝爾的伊辛任意子激發(fā)。由于具有有限能隙，分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)在低能長(zhǎng)波極限下的規(guī)范漲落可由Chern—Simons拓?fù)湟?guī)范理論所描述[20]，所以對(duì)應(yīng)的量子態(tài)具有拓?fù)溆行蛐再|(zhì)。此處的拓?fù)?，本質(zhì)上是因?yàn)橄到y(tǒng)的低能有效作用量不依賴于時(shí)空度規(guī)，即在時(shí)空坐標(biāo)變換下作用量保持不變，而表征上體現(xiàn)在這些具有非平庸統(tǒng)計(jì)相位的任意子類似于拓?fù)浼ぐl(fā)，具有強(qiáng)魯棒性。同時(shí)任意子從產(chǎn)生到湮滅的運(yùn)動(dòng)軌跡可以將一個(gè)多體基態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€(gè)基態(tài)，從而導(dǎo)致依賴于實(shí)空間的流形拓?fù)涞幕鶓B(tài)簡(jiǎn)并度。任意子的信息完全蘊(yùn)含在系統(tǒng)基態(tài)空間中，可以通過對(duì)實(shí)空間流形作模變換而提取出任意子的統(tǒng)計(jì)相位。比如，將實(shí)空間上的一個(gè)圓環(huán)面作90°旋轉(zhuǎn)的變換，在基態(tài)空間中的表示矩陣描述了不同任意子之間相互纏繞的統(tǒng)計(jì)相位；而將圓環(huán)面剪切開，將其中一個(gè)開口自轉(zhuǎn)90°再重新接上這樣的變換矩陣則攜帶了同種任意子之間纏繞的統(tǒng)計(jì)相位[21]。有了任意子之間的統(tǒng)計(jì)相位信息，便可以通過Verlinde公式計(jì)算出任意子的基本融合規(guī)則[22]，實(shí)現(xiàn)拓?fù)溆行驊B(tài)的完整描述。另一個(gè)能演生任意子的內(nèi)稟拓?fù)湮飸B(tài)則是量子自旋液體家族。量子自旋液體的研究可以追溯到阻挫量子磁學(xué)以及銅氧化合物高溫超導(dǎo)體。30年前，安德森提出共振價(jià)鍵態(tài) (Resonant Valence Bonds，RVB) 的擬設(shè)，用來作為阻挫量子磁性基態(tài)甚至作為高溫超導(dǎo)的母體態(tài)[23]。在具有電子半滿填充的晶格體系中，由于強(qiáng)庫(kù)侖相互作用，電子電荷自由度被凍結(jié)，只留下自旋自由度，形成強(qiáng)關(guān)聯(lián)莫特絕緣相。在經(jīng)典理論中，低溫下自旋熱運(yùn)動(dòng)被凍結(jié)，自旋傾向于破缺旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性形成某種量子有序態(tài)，比如鐵磁態(tài)和反鐵磁態(tài)，或者保留自旋旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性而破缺晶格對(duì)稱性的價(jià)鍵固態(tài)：電子兩兩配對(duì)成為價(jià)鍵單態(tài)。然而，電子磁矩在反鐵磁的超交換作用下，強(qiáng)烈的自旋量子漲落會(huì)摧毀任何的有序而恢復(fù)高對(duì)稱性。當(dāng)存在晶格幾何阻挫時(shí)，量子漲落的效應(yīng)尤甚。由于沒有破缺任何的自旋旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性和晶格對(duì)稱性，人們將其喻為“量子自旋液體”。量子自旋液體最有代表性的就是由安德森提出的作為許多不同的價(jià)鍵固態(tài)的等權(quán)量子疊加的RVB液體態(tài)。在該量子態(tài)中，電子的自旋和電荷自由度分離而出現(xiàn)分?jǐn)?shù)準(zhǔn)粒子激發(fā)，演生出的規(guī)范場(chǎng)傳遞粒子間相互作用。在RVB擬設(shè)下，自旋子 (spinon) 已然發(fā)生配對(duì)，而在進(jìn)行空穴摻雜時(shí)，U(1)規(guī)范對(duì)稱性上升為全局對(duì)稱性，空穴子 (holon) 作為玻色子可以發(fā)生玻色凝聚而自發(fā)破缺全局的U(1)對(duì)稱性，這時(shí)系統(tǒng)便進(jìn)入到超導(dǎo)相，這便是高溫超導(dǎo)的RVB圖像。
圖5 示意最近鄰短程共振價(jià)鍵態(tài)(RVB)中的其中一個(gè)價(jià)鍵態(tài)構(gòu)型。藍(lán)色橢球標(biāo)記一個(gè)由兩個(gè)格點(diǎn)上的自旋所形成的自旋單態(tài)，紅色標(biāo)記一個(gè)孤立自旋子(spinon)拓?fù)浼ぐl(fā)，其滿足費(fèi)米統(tǒng)計(jì)但不攜帶電荷
然而，基于高溫超導(dǎo)體系的RVB是由長(zhǎng)程的自旋單態(tài)組成，其自旋子無能隙而具有費(fèi)米面，研究起來非常復(fù)雜。為此，Rokhsar與Kivelson提出了量子二聚態(tài)模型[24]，考慮更原始的短程RVB態(tài)中的拓?fù)浼ぐl(fā)，用簡(jiǎn)化的二聚化構(gòu)型來刻畫短程RVB的極限，即退禁閉的自旋子以及演生渦旋規(guī)范場(chǎng)，如圖5所示。而文小剛則從隸玻色子(slave boson)分解與演生規(guī)范場(chǎng)的角度提出了該體系中的Z2拓?fù)湫虻母拍?sup>[25]。隨后，Moessner與Sondhi從數(shù)值計(jì)算上驗(yàn)證了該系統(tǒng)所具有的Z2拓?fù)湫?sup>[26]。然而，真正徹底的征服來自1997年Kitaev在arXiv上發(fā)布文章所提出的嚴(yán)格可解模型，該模型簡(jiǎn)單且嚴(yán)格可解，展現(xiàn)出相應(yīng)的克服能隙的任意子激發(fā)與基態(tài)拓?fù)浜?jiǎn)并[27]。1997年，A. Kitaev在arXiv上發(fā)布一篇名為《藉由任意子實(shí)現(xiàn)可容錯(cuò)的量子計(jì)算》的文章，首次提出一個(gè)名叫Toric Code的自旋模型，名字取義于在圓環(huán)面上作量子編碼，文章后來正式發(fā)表于2003年。該自旋模型嚴(yán)格可解，其基態(tài)為量子自旋液體，可以完美地展示Z2內(nèi)稟拓?fù)湫?。該模型十分?jiǎn)約，只保留了最核心的拓?fù)涞男畔?。與RVB自旋液體不同，此模型并不具有自旋旋轉(zhuǎn)不變性，從而充分展示了Z2量子自旋液體的本質(zhì)不在于對(duì)稱性。出于這個(gè)模型的極簡(jiǎn)性與嚴(yán)格可解性，以及Z2內(nèi)稟拓?fù)湫虻幕A(chǔ)性，該模型在拓?fù)湫蜓芯款I(lǐng)域中的地位堪比伊辛模型在相變研究中的地位，是許多理論和實(shí)驗(yàn)研究的一個(gè)試金石。Toric Code模型最初定義在一個(gè)周期邊界條件的正方晶格上，自旋1/2物理自由度處于格點(diǎn)連邊上，其哈密頓量表示為其中頂點(diǎn)Aj算符與元格Bp算符分別定義在頂點(diǎn)與元格(plaquette)上，如圖6(a)所示。四自旋相互作用項(xiàng)表面上十分復(fù)雜，但是每一個(gè)局域的Aj或者Bp都是守恒量，這是由于自旋1/2的泡利算符反對(duì)易，而頂點(diǎn)算符和元格算符之間總有偶數(shù)自旋交疊，從而抵消了負(fù)號(hào)。因此，任意的本征態(tài)都可以由所有的局域算符的本征值來完全確定，模型嚴(yán)格可解。圖6 (a)Toric Code 模型中四個(gè)自旋乘積形成的相互作用項(xiàng)；(b)Toric Code 模型的基態(tài)可以表示為所有閉弦等權(quán)相干疊加形成的弦網(wǎng)凝聚態(tài)
當(dāng)我們將自旋朝上視作參考真空，而自旋朝下看作弦的一段，那么Toric Code模型的基態(tài)可以表示為包含所有閉弦等權(quán)重相干疊加態(tài)，如圖6(b)所示。這種閉弦凝聚態(tài)可以看成是傳統(tǒng)玻色子凝聚態(tài)從點(diǎn)粒子推廣到弦這樣的延展對(duì)象，并且閉弦在基態(tài)中可以任意漲落不耗散能量。其實(shí)，在經(jīng)典伊辛統(tǒng)計(jì)模型中，高溫極限下自旋無序漲落，磁疇壁發(fā)生任意的熱漲落。如果把閉合疇壁當(dāng)作基本自由度，該熱力學(xué)系統(tǒng)則為發(fā)生熱漲落的各種疇壁。這樣的伊辛統(tǒng)計(jì)模型與Toric Code模型的基態(tài)有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系。實(shí)際上，Toric Code模型等價(jià)于一個(gè)描述二維空間中最簡(jiǎn)單的離散化的電磁場(chǎng)理論，其低能激發(fā)包含的準(zhǔn)粒子有：電荷e、磁通m、馬約拉納費(fèi)米子f。由于不同格點(diǎn)的σx之間相互對(duì)易，所以m粒子相互纏繞的軌跡算符可以等價(jià)于一串m閉弦算符作用到基態(tài)波函數(shù)上，并不出現(xiàn)任何相位，從而m粒子之間具有玻色統(tǒng)計(jì)。同理，不同的e粒子相互之間纏繞也不產(chǎn)生相位而同樣具有玻色統(tǒng)計(jì)。然而，關(guān)鍵的是當(dāng)一個(gè)e粒子環(huán)繞一個(gè)m粒子一周纏繞時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡涉及一條e弦與一條m弦的相交。由于 σxσz = -σzσx，從而它們之間的交換會(huì)貢獻(xiàn)一個(gè)“-1”，即導(dǎo)致π的Berry相位，如圖7所示。也就是說，盡管各自滿足玻色子統(tǒng)計(jì)，但是e與m粒子相互間卻具有非平庸的統(tǒng)計(jì)相位π，人稱“semion統(tǒng)計(jì)”。如此一來，可以簡(jiǎn)單驗(yàn)證，e粒子與m粒子的復(fù)合粒子具有費(fèi)米統(tǒng)計(jì)，記為 f = em。從一個(gè)純粹的玻色自由度的微觀模型中，竟然演生出了費(fèi)米子激發(fā)，這不可不謂神奇！如此，我們便確立了該體系中的三種基本低能拓?fù)浼ぐl(fā)準(zhǔn)粒子e，m，f。廣義上說，它們都屬于任意子。圖7 弦算符激發(fā)的拓?fù)淞Ｗ蛹捌浣y(tǒng)計(jì)關(guān)系。藍(lán)色粗線代表電荷e弦，紅色粗線代表磁通m弦，其各自末端為拓?fù)錅?zhǔn)粒子?？梢则?yàn)證電荷e弦環(huán)繞磁通m弦一圈后，發(fā)生Aharonov—Bohm效應(yīng)導(dǎo)致π相位
每一種任意子激發(fā)都具有拓?fù)浞€(wěn)定性，不同的任意子類型只能通過融合來轉(zhuǎn)變，比如e型任意子只能通過與f型任意子融合來得到m型任意子。一般而言，任意子的融合遵循一個(gè)簡(jiǎn)單而基本的代數(shù)原則。Toric Code模型任意子的融合原則是事實(shí)上這組融合規(guī)則連同任意子的統(tǒng)計(jì)定義了一種拓?fù)湫?。在三角晶格短程RVB自旋液體中，雖然微觀晶格不同，對(duì)稱性也不一樣，但是其中的基本拓?fù)浼ぐl(fā)卻遵循同樣的統(tǒng)計(jì)和融合規(guī)則，即費(fèi)米型的自旋子圍繞著玻色型的演生規(guī)范場(chǎng)vison(π通量渦旋)轉(zhuǎn)一圈會(huì)產(chǎn)生π通量激發(fā)。所以，三角晶格上的短程RVB自旋液體與Toric Code模型同為一個(gè)普適類，稱為Z2拓?fù)溆行?。之所以稱作Z2，是因?yàn)槠涞湍芗ぐl(fā)演生出了Z2規(guī)范場(chǎng)。盡管Toric Code模型是在離散的正方晶格上通過自旋模型定義的，但是其封閉弦凝聚的基態(tài)圖像具有長(zhǎng)波極限的特質(zhì)，因而可以推廣到任意的微觀晶格。一般性而言，可以完全脫離晶格而通過定義一組連續(xù)化的弦構(gòu)型來構(gòu)造屬于同一個(gè)普適類的Z2內(nèi)稟拓?fù)湫?。除此之外，通過定義更豐富代數(shù)結(jié)構(gòu)的弦構(gòu)型，還可以得到更加廣泛的弦網(wǎng)凝聚拓?fù)鋺B(tài)。由于弦的非局域特質(zhì)，這些模型都具有自帶拓?fù)浞€(wěn)定的任意子激發(fā)，即內(nèi)稟拓?fù)湫?。事?shí)上，Michael Levin與文小剛在2005年的工作中展示，弦網(wǎng)凝聚圖像可以演生出所有的二維非手征的拓?fù)湫?sup>[28]。因而，弦網(wǎng)凝聚是一個(gè)強(qiáng)有力的物理圖像，它從某個(gè)角度簡(jiǎn)明直觀地概括了非手征拓?fù)湫虻谋举|(zhì)屬性。事實(shí)上，由于基態(tài)的局域特征已經(jīng)被穩(wěn)定子算符鎖死，即局域上不存在開放的e弦或者m弦，所以如果將體系放在一個(gè)球面上，則只有唯一基態(tài)。盡管很難想象如何將正方晶格放置在球面上，但是閉弦凝聚卻可以置于連續(xù)空間中，所以可以放置在球面上乃至更一般的拓?fù)淞餍紊?。然而，?duì)于兩個(gè)方向都為周期性邊界條件的正方晶格，相當(dāng)于將閉弦凝聚體放置在一個(gè)圓環(huán)面上，這時(shí)候環(huán)繞兩個(gè)不可收縮大圓的全局閉弦數(shù)目的奇偶性將導(dǎo)致出現(xiàn)四個(gè)正交的簡(jiǎn)并基態(tài)。由于局部漲落只能產(chǎn)生可收縮的局部閉弦，全局閉弦可以發(fā)生形變或者成對(duì)漲落，但是其數(shù)目的奇偶性不會(huì)改變，因而是一個(gè)穩(wěn)定的全局量子數(shù)。不同的基態(tài)可以用全局弦算符來轉(zhuǎn)換，也可以用對(duì)偶的橫向全局弦算符來探測(cè)。具體而言，我們可以定義環(huán)向 (x方向) 和極向 (y方向) 不可收縮的全局e弦和m弦算符，如圖8所示，可以驗(yàn)證除了相互垂直的全局e弦與全局m弦之外，其他的都相互對(duì)易。圖8 以兩個(gè)方向的m弦數(shù)目奇偶性來區(qū)分的m弦表象的四重簡(jiǎn)并基態(tài)。其中裸的圓環(huán)面代表基態(tài)，帶紅圈的表示攜帶了全局弦算符。環(huán)向?yàn)?em>x方向，而極向?yàn)?em>y方向。對(duì)偶變換可以得到e弦表象下的四重簡(jiǎn)并基態(tài)
全局的弦算符作用到一個(gè)基態(tài)上使之變成另一個(gè)基態(tài)，這從物理圖像上說其實(shí)就是產(chǎn)生一對(duì)任意子激發(fā)，并且使之圍繞體系大環(huán)環(huán)游，其后再發(fā)生湮滅。由于四重簡(jiǎn)并基態(tài)之間只能通過全局的弦算符來聯(lián)系，從而局域的微擾需要通過體系尺寸大小級(jí)別的巨大微擾才能將一個(gè)基態(tài)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)基態(tài)，導(dǎo)致兩個(gè)基態(tài)在微擾下能級(jí)劈裂隨著體系尺寸指數(shù)衰減。所以Toric Code模型的簡(jiǎn)并基態(tài)受到拓?fù)浔Ｗo(hù)，這也正是為何Kitaev提出可以使用這類模型來編碼量子信息，從而可以從物理層面上實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)。此外，弦的量子數(shù)只有奇偶守恒，可模2漲落，這其實(shí)也是Z2拓?fù)湫騼?nèi)在的Z2對(duì)稱性的一個(gè)體現(xiàn)。事實(shí)上，如果將該模型推廣到更一般的拓?fù)淞餍紊厦嫒ィ热绨?em>g個(gè)虧格的流形，可以形象地理解成具有g(shù)個(gè)洞的廣義面包圈，則按照同樣的邏輯可以導(dǎo)致更高的基態(tài)簡(jiǎn)并度4g。也就是說，基態(tài)簡(jiǎn)并度依賴于其所處在的實(shí)空間流形的拓?fù)?，從而有所謂“拓?fù)湫颉币辉~。注意到這里的拓?fù)涫菍?shí)空間的拓?fù)?，跟前面討論到的?dòng)量空間上的渦旋和斯格明子等拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有本質(zhì)不同?？紤]到該體系具有有限的能隙，從而任意的局域關(guān)聯(lián)函數(shù)都是短程關(guān)聯(lián)，具有有限關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度，那么如此一個(gè)“短視”的體系是如何“感知”到流形整體的拓?fù)涞哪兀窟@背后的根本原因在于長(zhǎng)程的量子糾纏。量子糾纏是一種量子性的關(guān)聯(lián)，并不能用普通的局域算符的關(guān)聯(lián)函數(shù)度量之。另外，在一般微擾下，Toric Code模型其實(shí)可以對(duì)應(yīng)一個(gè)具有電磁對(duì)偶的Z2規(guī)范理論，即二維空間中一個(gè)最簡(jiǎn)單的離散版本的電磁理論。其中基本激發(fā)粒子正是電荷e、量子磁通m，以及二者復(fù)合而成的費(fèi)米子f。磁通的量子化不禁讓人聯(lián)想起二維超導(dǎo)態(tài)。其實(shí)Toric Code模型和Z2規(guī)范理論正是描述了二維超導(dǎo)態(tài)的低能規(guī)范動(dòng)力學(xué)行為。通常的量子電動(dòng)力學(xué)中，電子具有U(1)規(guī)范對(duì)稱性，從而電荷數(shù)守恒，而其磁通則可以連續(xù)變化。在發(fā)生安德森—希格斯超導(dǎo)相變之后，U(1)規(guī)范對(duì)稱性下降為Z2，從而電荷數(shù)守恒下降為奇偶守恒，相當(dāng)于把整數(shù)的加法運(yùn)算下降為模2的加法運(yùn)算。而超導(dǎo)磁通渦旋則被量子化為π通量，庫(kù)珀對(duì)探測(cè)到的2π通量相當(dāng)于單個(gè)電子或空穴所探測(cè)到的π通量。在常規(guī)的s波超導(dǎo)相中，通?？紤]的基本低能激發(fā)只有馬約拉納費(fèi)米子。盡管沒有外磁場(chǎng)的注入，如果將規(guī)范漲落動(dòng)力學(xué)也考慮進(jìn)來，把系統(tǒng)自身量子漲落產(chǎn)生的超導(dǎo)渦旋看作一種內(nèi)稟的磁通自由度，則還有馬約拉納費(fèi)米子與內(nèi)稟磁通的復(fù)合體?？梢则?yàn)證，這正是玻色型的電荷e=mf粒子，見表1。如此一來，Toric Code模型和Z2規(guī)范理論并不是十分抽象神秘的理論，而是一個(gè)最簡(jiǎn)單的對(duì)偶的電磁理論，描述著凝聚態(tài)中熟知的超導(dǎo)相的低能規(guī)范漲落的物理。因此，受此啟發(fā)，Sondhi等人從規(guī)范動(dòng)力學(xué)的角度認(rèn)為超導(dǎo)有序本質(zhì)上都是超越朗道對(duì)稱破缺的拓?fù)溆行驊B(tài)[29]。表1 比較Toric Code模型與s波超導(dǎo)相的低能激發(fā)Toric Code模型由于其簡(jiǎn)單性和豐富性在拓?fù)湫虻难芯恐惺冀K處于核心地位，在任何的拓?fù)湮飸B(tài)探索中都充當(dāng)著試金石的角色。于是，要研究拓?fù)湫虻南嘧?，一個(gè)很自然的出發(fā)點(diǎn)就是研究該Z2內(nèi)稟拓?fù)湎嗟南嘧?。一個(gè)最簡(jiǎn)單的考慮就是在Toric Code模型中引入外磁場(chǎng)。事實(shí)上，與其等價(jià)的規(guī)范——希格斯理論，早在1979年已經(jīng)被Fradkin與Shenker所討論[30]。盡管Elitzur定理表明，純粹的規(guī)范場(chǎng)其規(guī)范對(duì)稱性不可自發(fā)破缺[31]，但是在與之強(qiáng)耦合的物質(zhì)場(chǎng)誘導(dǎo)下規(guī)范場(chǎng)可以發(fā)生破缺，即安德森—希格斯機(jī)制。當(dāng)自旋z方向的磁場(chǎng)hz>>1時(shí)，該模型確實(shí)發(fā)生了希格斯相變，拓?fù)潆姾砂l(fā)生凝聚，系統(tǒng)進(jìn)入希格斯相，在自旋模型上看即為自旋極化的直積平庸相。而在自旋x方向的磁場(chǎng)hx>>1時(shí)，Z2規(guī)范場(chǎng)的電場(chǎng)線需要克服的能量正比于其長(zhǎng)度，從而拓?fù)潆姾杀唤]，這在自旋模型上看也是自旋極化的直積平庸相。希格斯相與Z2電荷禁閉相通過電磁對(duì)偶相聯(lián)系，所以該拓?fù)湎嘧儗儆谌S伊辛相變的普適類。從拓?fù)湫虻慕嵌瓤?，希格斯相變和電荷禁閉相變分別對(duì)應(yīng)于任意子e與m的凝聚，可作為拓?fù)湫蛑g相變的任意子凝聚機(jī)制的一個(gè)典范[32]。目前，已知的任意子凝聚主要指的還是具有玻色型自統(tǒng)計(jì)的任意子發(fā)生凝聚，比如這里的電荷與磁荷。它與常規(guī)的玻色凝聚的區(qū)別在于，這類玻色子與其他任意子之間由于Aharonov—Bohm相位效應(yīng)存在非平庸的統(tǒng)計(jì)，從而其凝聚會(huì)引發(fā)其他任意子的禁閉。在Toric Code模型中，由于磁荷m對(duì)電荷e來說充當(dāng)著π通量的角色，所以磁荷的凝聚會(huì)導(dǎo)致電荷的禁閉。直觀的圖像理解是，在磁荷凝聚的基態(tài)真空上，磁荷可以任意漲落出現(xiàn)或者消失，而這意味著電荷在真空中游走時(shí)會(huì)感受到漲落的相位，從而造成干涉相消效應(yīng)。從邏輯上說，由于電荷在磁荷凝聚的真空中已經(jīng)不具備良好定義的統(tǒng)計(jì)相位，所以不允許獨(dú)立存在。同理，電荷的凝聚會(huì)導(dǎo)致磁荷的禁閉。由電磁對(duì)偶相聯(lián)系的希格斯相與禁閉相，在相圖上被Fradkin和Shenker論證可以絕熱連接。早在1980年，Jongeward等人通過數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)希格斯相與禁閉相之間的電磁對(duì)偶線上，在弱場(chǎng)下出現(xiàn)一級(jí)相變線[33]，起始于一個(gè)臨界點(diǎn)，終結(jié)于Z2退禁閉相的邊緣，與希格斯相變線和禁閉相變線交匯在一起，疑似出現(xiàn)一個(gè)三相變點(diǎn)。30多年以后，在Toric Code模型提出以后，人們從磁場(chǎng)擾動(dòng)的角度，以探索拓?fù)湎嘧優(yōu)閯?dòng)機(jī)又對(duì)類似相圖進(jìn)行了大量探索。一個(gè)重要的工作是，在2010年，Tupitsyn，Kitaev，Prokof′ev與Stamp通過將該模型映射到三維經(jīng)典伊辛模型，并使用大規(guī)模蒙特卡羅數(shù)值計(jì)算的辦法再一次計(jì)算了此相圖[34]。然而，其數(shù)據(jù)仍然無法敲定在疑似三相變點(diǎn)的區(qū)域上的情況，如圖9(a)所示。其中最讓人感興趣的是三相變點(diǎn)的可能，盡管這樣的三相變點(diǎn)超越現(xiàn)有的任意子凝聚機(jī)制。因?yàn)樵陔姶艑?duì)偶路徑上，從拓?fù)湎喑霭l(fā)，如果發(fā)生電荷凝聚，則電磁對(duì)偶意味著磁荷也同時(shí)發(fā)生凝聚。然而由于常規(guī)的宏觀凝聚體是玻色性的，所以Aharonov—Bohm效應(yīng)會(huì)阻止電荷凝聚體與磁荷凝聚體的共存。也就是說，狹義的任意子相變機(jī)制無法解釋三相變點(diǎn)。因此，盡管圍繞該相圖已經(jīng)有了可觀的理論與數(shù)值的研究，然而在電磁對(duì)偶線上的疑似三相變點(diǎn)依舊是未解之謎。自對(duì)偶線上的一級(jí)相變線和來自希格斯相變與禁閉相變的連續(xù)相變線是如何交接？假如是連續(xù)的三相變點(diǎn)，那么從拓?fù)湎嗟椒峭負(fù)湎嗟南嘧儥C(jī)制是什么？任意子命運(yùn)如何？圖9 (a)擾動(dòng)Toric Code模型的全局相圖示意。綠點(diǎn)標(biāo)記無微擾的Toric Code模型的Z2規(guī)范退禁閉拓?fù)湎?，藍(lán)線標(biāo)記三維伊辛類的拓?fù)湎嘧儯姾赡鄣南８袼瓜嘧兒碗姾山]/磁荷凝聚相變。當(dāng)電磁對(duì)偶時(shí)，電荷凝聚相與磁荷凝聚相之間出現(xiàn)一級(jí)相變線，它起始于一個(gè)臨界點(diǎn)上，類似于氣液相變，終結(jié)于拓?fù)湎噙吔纾?b)從拓?fù)淞孔討B(tài)多體波函數(shù)獲得的相圖；(c)拓?fù)淞孔討B(tài)多體波函數(shù)所對(duì)應(yīng)的經(jīng)典Ashkin—Teller統(tǒng)計(jì)模型的相圖
2019年初，本文作者另辟蹊徑，從嚴(yán)格可調(diào)節(jié)的基態(tài)多體波函數(shù)的角度，探究了沿著電磁對(duì)偶路徑上的可能發(fā)生的拓?fù)湎嘧?sup>[35]。這類似于Laughlin寫下的刻畫分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)的多體波函數(shù)[18]，只不過我們將其思路推廣到含參數(shù)調(diào)節(jié)的波函數(shù)來刻畫一個(gè)拓?fù)淞孔酉嘧兊倪^程。同樣，類似于Laughlin可將其多體波函數(shù)的模方映射到二維經(jīng)典庫(kù)侖等離子體問題論述分?jǐn)?shù)霍爾態(tài)的性質(zhì)，我們發(fā)現(xiàn)含參數(shù)調(diào)節(jié)的ToricCode波函數(shù)的模方也可以映射到經(jīng)典Ashkin—Teller統(tǒng)計(jì)模型。為此，我們借助于張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)表象，因?yàn)閺埩烤W(wǎng)絡(luò)態(tài)可以把一個(gè)多體波函數(shù)分解為一個(gè)個(gè)局域的張量的直乘積形式[35]，而局域的張量結(jié)構(gòu)描述的則是物理自由度與某種“糾纏自由度”的耦合。我們?cè)讷@得了波函數(shù)模方的張量網(wǎng)絡(luò)中，先行將物理自由度縮并掉，而留下“糾纏自由度”，留下的張量網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)于一個(gè)描述局域相互作用的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)模型的配分函數(shù)[35]。這種引入輔助自由度解除耦合物理自由度，而后求和掉物理自由度而留下輔助自由度的辦法，精神上類似于在路徑積分上常用的Hubbard—Stratonovich變換。張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的局域性保證了最終得到的經(jīng)典模型的局域性。借助Ashkin—Teller模型的嚴(yán)格解析解[36]，我們可以確定相變點(diǎn)位置以及任意子關(guān)聯(lián)函數(shù)的標(biāo)度行為，從而準(zhǔn)確地描述相變與相變機(jī)制。用這套辦法我們?cè)谡{(diào)節(jié)波函數(shù)的路徑中重現(xiàn)了電荷凝聚與磁荷凝聚的相變。而在電磁對(duì)偶的路徑上，驚奇地發(fā)現(xiàn)Z2拓?fù)湎嘟?jīng)歷了一個(gè)Kosterlitz—Thouless相變進(jìn)入無能隙的U(1)庫(kù)侖氣體相：電荷質(zhì)量隨著關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度發(fā)散而逐漸消失，電荷與電荷之間產(chǎn)生與距離成對(duì)數(shù)依賴關(guān)系的二維庫(kù)侖勢(shì)[35]。其臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相變，從庫(kù)侖勢(shì)的角度看是配對(duì)電荷的安德森—希格斯凝聚相變，本質(zhì)上即為超導(dǎo)相變。借此我們可以推測(cè)，在調(diào)節(jié)Toric Code模型中外磁場(chǎng)所得到的相圖中，沿著電磁對(duì)偶路徑上的相變類似于禁閉的U(1)規(guī)范場(chǎng)到Z2退禁閉規(guī)范場(chǎng)的電荷對(duì)凝聚相變，相變的普適類與三維的XY模型等價(jià)。具體而言，可以用我們嚴(yán)格調(diào)節(jié)的波函數(shù)作為出發(fā)點(diǎn)，通過增大張量維數(shù)來作為基態(tài)擬設(shè)，數(shù)值求解含有外磁場(chǎng)的Toric Code模型。此外，非阿貝爾拓?fù)淞孔佑行驊B(tài)被認(rèn)為可用于實(shí)現(xiàn)拓?fù)淞孔佑?jì)算，而斐波那契拓?fù)淞孔討B(tài)則是實(shí)現(xiàn)通用拓?fù)淞孔佑?jì)算最為簡(jiǎn)單的物理系統(tǒng)，相關(guān)拓?fù)湎嘧冄芯吭?020年也獲得新進(jìn)展[37]。利用量子對(duì)偶性，我們首先構(gòu)造了一個(gè)含兩個(gè)互為對(duì)偶且可調(diào)的斐波那契拓?fù)淞孔討B(tài)的多體波函數(shù)。該波函數(shù)的模方可以被映射到一個(gè)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)配分函數(shù)上，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)模型為兩個(gè)二維耦合的態(tài)Potts模型。這是個(gè)全新的統(tǒng)計(jì)模型，因?yàn)樗粌H包含了無理數(shù)的局域自由度數(shù)目，而且還具有非局域的負(fù)玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)因子。此外，通過發(fā)展張量網(wǎng)絡(luò)的特殊技巧，導(dǎo)出了這個(gè)斐波那契拓?fù)鋺B(tài)的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)表示。借助于張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的數(shù)值計(jì)算方法，我們完整而準(zhǔn)確地建立斐波那契拓?fù)湮飸B(tài)及其相變的全景相圖，并給出多個(gè)拓?fù)淞孔酉嘧兊呐R界性質(zhì)[37]。結(jié) 語
值得指出的是，內(nèi)稟拓?fù)湎嗟耐負(fù)渑c此前所介紹的拓?fù)浣^緣體，盡管都統(tǒng)稱為“拓?fù)淞孔討B(tài)”，但是有著非常不一樣的內(nèi)涵。拓?fù)浣^緣體或拓?fù)涑瑢?dǎo)體的拓?fù)渫悸搴諔B(tài)在動(dòng)量空間中的Berry相位相關(guān)，體現(xiàn)在動(dòng)量空間中具有相對(duì)直觀的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，比如渦旋或斯格明子。相較而言，內(nèi)稟拓?fù)湎嗟耐負(fù)鋭t表觀上體現(xiàn)在演生任意子激發(fā)在實(shí)空間上相互纏繞的Berry相位因子，其相位因子可以推廣到非阿貝爾的矩陣形式，其背后的物理根源在于低能演生出的拓?fù)湟?guī)范場(chǎng)。Kitaev對(duì)于內(nèi)稟拓?fù)湫蚴歉鶕?jù)其核心物理效應(yīng)和物理刻畫，演生任意子激發(fā)定義的[27]。而文小剛則傾向于從微觀的絕熱原理來分類，只要無法絕熱演變成平庸直積態(tài)的則定義為拓?fù)湎?。在他的理論框架里，拓?fù)浣^緣體和拓?fù)涑瑢?dǎo)體中的大多數(shù)被歸類為對(duì)稱保護(hù)拓?fù)湎唷Ｖ灰Ｗo(hù)對(duì)稱性失去，則可以與平庸直積態(tài)絕熱相連。而像量子霍爾態(tài)并不需要對(duì)稱性保護(hù)也無法絕熱演變成平庸直積態(tài)，但是它們可以通過將兩個(gè)相反手征性的體系耦合起來變成平庸態(tài)，所以叫作“可逆”(invertible)拓?fù)湎?。從波函?shù)的角度，文小剛認(rèn)為不需要對(duì)稱性保護(hù)的內(nèi)稟拓?fù)湎嗪汀翱赡妗蓖負(fù)湎嗟母炊荚谟陂L(zhǎng)程量子糾纏，數(shù)學(xué)上由張量范疇理論所描述[6]。除去分?jǐn)?shù)準(zhǔn)粒子激發(fā)這樣的宏觀特征之外，量子自旋液體與分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)更密切的相關(guān)性在于手征自旋液體的提出。最早，Kalmeyer與Laughlin通過對(duì)阻挫自旋系統(tǒng)作Holstein—Primakoff變換到玻色子體系，發(fā)現(xiàn)阻挫相互作用等價(jià)于強(qiáng)磁場(chǎng)，從而將自旋液體跟分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)從微觀上聯(lián)系了起來，提出了手征自旋液體[38]。最簡(jiǎn)單的Kalmeyer—Laughlin手征自旋液體可以由阿貝爾Chern—Simons拓?fù)湟?guī)范場(chǎng)理論來描述，具有Semion統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)粒子激發(fā)[39]。而具有時(shí)間反演對(duì)稱性的Z2量子自旋液體則需要二分量的相互Chern—Simons作用量，進(jìn)而描述了兩個(gè)相互間具有Semion統(tǒng)計(jì)的玻色子準(zhǔn)粒子激發(fā)[29]。目前已知的能夠?qū)⑤^多內(nèi)稟拓?fù)湎嗦?lián)系起來的相變理論框架是任意子凝聚機(jī)制[40]。狹義的任意子凝聚機(jī)制又叫“拓?fù)鋵?duì)稱性破缺”，是將傳統(tǒng)的玻色凝聚建立長(zhǎng)程有序的范式推廣到具有玻色型自統(tǒng)計(jì)的任意子，伴隨著這種“玻色子”的凝聚，與之有非平庸統(tǒng)計(jì)關(guān)系的任意子會(huì)被禁閉[32]。一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子就是超導(dǎo)渦旋凝聚導(dǎo)致的超導(dǎo)—絕緣體相變[29]。對(duì)于更一般的具有非玻色型自統(tǒng)計(jì)任意子的凝聚，迄今依舊是極為挑戰(zhàn)性的物理問題。縱觀凝聚態(tài)物理學(xué)的發(fā)展史，可以發(fā)現(xiàn)往往是先從一些具體而又典型的現(xiàn)象個(gè)例中獲得突破，進(jìn)而推而廣之，建立一整座宏偉大廈，可謂“從一、而二、及三、至無窮”。雖然現(xiàn)實(shí)世界是三維空間，然而禁閉在低維空間中的凝聚態(tài)物理系統(tǒng)，其漲落效應(yīng)更強(qiáng)，從而更容易演生出新奇的量子物態(tài)。而相比起一維系統(tǒng)，二維量子系統(tǒng)鮮有嚴(yán)格解，卻又更容易出現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)的材料系統(tǒng)中，所以成為強(qiáng)關(guān)聯(lián)多體領(lǐng)域尤受關(guān)注而極具挑戰(zhàn)的方向。強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)的典型特征是相互作用與電子動(dòng)能相比擬，甚至遠(yuǎn)大于后者，從而能帶論完全失效。一般而言，對(duì)這樣的體系沒有普適的嚴(yán)格處理辦法，只能通過理論上從不同的角度做近似或者通過大規(guī)模數(shù)值計(jì)算來探知其性質(zhì)，除了極少數(shù)嚴(yán)格可解模型。這樣的系統(tǒng)往往具有豐富而新奇的演生量子現(xiàn)象，比如高溫超導(dǎo)、分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)和量子自旋液體，所以是凝聚態(tài)物理學(xué)領(lǐng)域一個(gè)長(zhǎng)盛不衰的研究方向。致 謝 衷心感謝于淥先生對(duì)本文作者長(zhǎng)期從事拓?fù)淞孔游飸B(tài)及其相變理論研究的支持和鼓勵(lì)。
