一、樂觀的理性主義

對(duì)理性主義者來說，十九世紀(jì)末至二十世紀(jì)初無疑是一段令人懷念的美妙時(shí)光。人們相信，無論是以經(jīng)典力學(xué)、電磁學(xué)和熱力學(xué)為代表的物理學(xué)或是以《德國民法典》為代表的大陸法系都已接近完備。而在數(shù)學(xué)上，康托爾（Georg Cantor）集合論讓人類第一次可以有意義地談?wù)摳鞣N不同的無窮；弗雷格（GottlobFrege）的概念文字使數(shù)學(xué)得以擺脫來自自然語言的模糊性；希爾伯特（David Hilbert）號(hào)召建立完備的形式系統(tǒng)一勞永逸地解決經(jīng)典數(shù)學(xué)（包括康托爾集合論）的基礎(chǔ)問題：一切明確的數(shù)學(xué)問題都必然有一個(gè)確切的解答。我們甚至可以說，某種樂觀的理性主義是那個(gè)時(shí)代的主流。

理性主義者認(rèn)為，存在某類知識(shí)，它們不是通過一個(gè)個(gè)經(jīng)驗(yàn)案例得到的，而只能依賴于某種來自于理性的能力的直接把握。他們進(jìn)一步宣稱，人類的理性足夠把握這些知識(shí)。

注：圖為萊布尼茲

萊布尼茲是這種樂觀的理性主義的代表人物。其樂觀的理性主義最集中的體現(xiàn)，同時(shí)也是對(duì)后來的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究產(chǎn)生重要影響的是他畢生關(guān)于通用文字的設(shè)想：“我認(rèn)為有可能發(fā)展出一種一般的文字，可以像代數(shù)在數(shù)學(xué)中那樣確鑿無疑地記錄所有領(lǐng)域的研究。”萊布尼茲的設(shè)想被認(rèn)為是現(xiàn)代邏輯的先聲。

在下文中，我們將分析，在理解了弗雷格與希爾伯特的失敗后，哥德爾所能夠主張的是怎樣一種樂觀的理性主義（第2節(jié)）；以及作為哥德爾綱領(lǐng)在當(dāng)代最有代表性的執(zhí)行者，武丁的終極L理論遇到了哪些挑戰(zhàn)（第3節(jié)）。

二、哥德爾綱領(lǐng)

無論弗雷格的邏輯主義綱領(lǐng)還是希爾伯特的形式主義綱領(lǐng)都謀求一勞永逸地解決數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題。在今天看來，這些研究綱領(lǐng)至少在表面上都失敗了。

弗雷格的邏輯主義綱領(lǐng)謀求將全部數(shù)學(xué)建立在邏輯的基礎(chǔ)之上。誠然，羅素悖論是對(duì)弗雷格計(jì)劃的重大打擊，但它并不構(gòu)成對(duì)邏輯主義綱領(lǐng)本身的否定。可以明確的是，羅素的發(fā)現(xiàn)讓人們意識(shí)到無論是弗雷格的（二階）邏輯、羅素本人的分支類型論抑或集合論作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，無論它們是否被稱作邏輯，仍然可能會(huì)出問題，它們安全性仍然是有待檢驗(yàn)的。

希爾伯特自始至終是經(jīng)典數(shù)學(xué)（包括康托爾集合論）的捍衛(wèi)者?？赡苁鞘艿綆缀螌W(xué)公理化傳統(tǒng)的影響以及直覺主義者的步步緊逼，希爾伯特在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上選擇了形式主義的立場(chǎng)。希爾伯特試圖回避任何哲學(xué)上的糾纏，僅僅用數(shù)學(xué)結(jié)果為數(shù)學(xué)做辯護(hù)。希爾伯特要求：（1）找到包含經(jīng)典數(shù)學(xué)的形式化的公理系統(tǒng)；（2）證明該公理系統(tǒng)的一致性；（3）證明該公理系統(tǒng)的完全性。以上工作只能使用有窮主義方法（finitary method）。此即所謂的希爾伯特綱領(lǐng)。假設(shè)希爾伯特綱領(lǐng)實(shí)現(xiàn)，我們至少可以確信經(jīng)典數(shù)學(xué)是安全的，更進(jìn)一步，所有數(shù)學(xué)命題都可以在一個(gè)有窮的公理系統(tǒng)中被判定。這看似是一個(gè)可以被接受的，一勞永逸的解決方案。

然而，哥德爾不完全性定理表明，希爾伯特計(jì)劃在很強(qiáng)的意義上是無法實(shí)現(xiàn)的。希爾伯特式形式主義的根本問題在于，它不是一個(gè)一以貫之的數(shù)學(xué)哲學(xué)立場(chǎng)。由此，形式主義者將數(shù)學(xué)分成了兩部分：有意義的真的因而不需要一致性證明的那部分（如有窮主義數(shù)學(xué)）以及更多的純形式的需要一致性證明的那部分。他們要求用較少的有意義的那部分?jǐn)?shù)學(xué)證明更多數(shù)學(xué)的一致性。因此，當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)一個(gè)給定系統(tǒng)的一致性證明總需要比那個(gè)系統(tǒng)更多的東西時(shí)，就會(huì)認(rèn)為一切一致性證明就實(shí)現(xiàn)希爾伯特綱領(lǐng)而言是無意義的。

注：圖為希爾伯特

相比一致性問題，對(duì)于作為理性主義者的哥德爾來說，更迫切的是面對(duì)不完全性現(xiàn)象。不完全性定理帶來的沖擊如此之大，以至于即使集合論公理化已經(jīng)取得了明顯的進(jìn)展，人們不再像弗雷格或希爾伯特那樣謀求一個(gè)完全的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。樂觀的理性主義逐漸退出時(shí)代精神的主流。然而，哥德爾本人卻是一個(gè)相比弗雷格或希爾伯特更樂觀的理性主義者。

哥德爾在1938年證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)相對(duì)于ZFC公理系統(tǒng)的一致性，也即從ZFC無法證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是不成立的（假設(shè)ZFC本身是一致的）。哥德爾猜想連續(xù)統(tǒng)假設(shè)可能是獨(dú)立于ZFC的：“康托爾的假設(shè)先天的有三種可能：或者它可以被證明，或者被否證，或者是獨(dú)立的。第三種情形最有可能，……尋找其獨(dú)立性的證明?！备绲聽柕牟孪朐?963年被科恩（PaulCohen）證明。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨(dú)立性相比不完全性定理對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題的影響可能更大。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是一個(gè)自然且明確的數(shù)學(xué)問題，它是希爾伯特第1問題。數(shù)學(xué)家可以宣稱見證哥德爾不完全性定理的那些命題都是人造的，缺乏自然的數(shù)學(xué)意義。然而，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)獨(dú)立性的發(fā)現(xiàn)意味著數(shù)學(xué)家必須直面不完全性問題。除非他們退回構(gòu)造主義數(shù)學(xué)劃下的牢籠中，宣稱關(guān)于實(shí)無窮的理論是虛構(gòu)的。抑或退回形式主義的避難所（如科恩本人以及許多意識(shí)到這個(gè)問題的數(shù)學(xué)家）。而根據(jù)之前的分析，并不存在徹底的形式主義，所謂的形式主義總是某種意義上的構(gòu)造主義。

注：圖為哥德爾

正是在這里，哥德爾宣稱要為集合論（也即數(shù)學(xué)）尋找新的公理以判定諸如連續(xù)統(tǒng)假設(shè)這樣的獨(dú)立命題：“不僅今天人們所知的集合論公理系統(tǒng)是不完全的，而且能夠以確定的方式補(bǔ)充新的公理，這些新公理不過是我們一直在用的公理的自然延續(xù)。”。這就是所謂的“哥德爾綱領(lǐng)”。關(guān)于哥德爾綱領(lǐng)歷史及有關(guān)研究現(xiàn)狀的更詳細(xì)的介紹可以參見郝兆寬的《哥德爾綱領(lǐng)》。在下一節(jié)中，我們將分析武丁計(jì)劃對(duì)哥德爾綱領(lǐng)的實(shí)踐及其遇到的困難。

三、武丁計(jì)劃

郝兆寬教授在《哥德爾綱領(lǐng)》一書中寫道：

“本書的一個(gè)主要論題就是：集合論已經(jīng)發(fā)展到了這樣的階段，我們有可能面臨著哥德爾綱領(lǐng)的徹底實(shí)現(xiàn)?！?/span>

注意，由于版本（1）的哥德爾綱領(lǐng)不存在所謂的徹底實(shí)現(xiàn)，郝兆寬教授所主張的必須是某種版本（2）的哥德爾綱領(lǐng)。而這里的徹底實(shí)現(xiàn)指的是武?。╓.HughWoodin）關(guān)于終極L的研究計(jì)劃。

哥德爾在預(yù)言了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨(dú)立性后就提議通過比不可達(dá)基數(shù)或瑪洛基數(shù)更強(qiáng)的大基數(shù)公理來判定連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問題。然而，科恩的方法適用于包含任何已知大基數(shù)的公理系統(tǒng)。單憑大基數(shù)公理是無法判定連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的。

注：左圖為W·HughWoodin，右圖為郝兆寬教授

以武丁和斯蒂爾為代表的加州學(xué)派的一項(xiàng)長(zhǎng)期的研究計(jì)劃是通過內(nèi)模型理論為大基數(shù)公理的一致性提供佐證。這些大基數(shù)的內(nèi)模型（例如包含一個(gè)可測(cè)基數(shù)的模型L[U]）具有凝聚性（Condensation）等良好的性質(zhì)，使其在力迫擴(kuò)張中保持絕對(duì)。因而力迫法無法證明某個(gè)命題獨(dú)立于諸如“ZF+V=L[U]+LCA”的公理系統(tǒng)，其中“V=L[U]”表示集合論宇宙就是這個(gè)內(nèi)模型，LCA表示相應(yīng)的大基數(shù)公理。

問題是，對(duì)應(yīng)更強(qiáng)大基數(shù)的內(nèi)模型極難構(gòu)造，往往對(duì)應(yīng)某個(gè)大基數(shù)的內(nèi)模型可證地不含有更強(qiáng)的大基數(shù)。更強(qiáng)的大基數(shù)意味著更強(qiáng)的解釋力，實(shí)在論者希望公理系統(tǒng)包含更強(qiáng)的大基數(shù)從而不會(huì)在解釋力上有所損失。而武丁證明了一旦我們找到超緊致基數(shù)的內(nèi)模型，那么它將自動(dòng)成為所有通過類似方式定義的大基數(shù)的內(nèi)模型——終極-L。由此，“ZF+V=終極-L+LCA”就成為一系列免疫于力迫法獨(dú)立性證明的“經(jīng)驗(yàn)完全的”公理系統(tǒng)了。

注意，我們無法定義什么是大基數(shù)公理，否則我們總可以找到比“所有大基數(shù)存在”更強(qiáng)的大基數(shù)性質(zhì)。武丁計(jì)劃就是找到終極-L的刻畫。由此，我們只需要通過加強(qiáng)大基數(shù)公理這一相對(duì)明確的路徑，就可以判定幾乎所有數(shù)學(xué)命題，除非有本質(zhì)上不同于力迫法和哥德爾不完全性定理的新的獨(dú)立性證明方法出現(xiàn)。

武丁的計(jì)劃的確令人激動(dòng)。它幾乎完美地對(duì)應(yīng)了版本（2.2）的哥德爾綱領(lǐng)的要求。然而，即使作為哥德爾綱領(lǐng)實(shí)踐者的武丁的親密盟友如斯蒂爾、馮琦等學(xué)者對(duì)武丁的終極-L計(jì)劃的可能結(jié)果往往持保留意見：它或?qū)⒃馐艽煺?，或即使成功也不?huì)是一個(gè)“終結(jié)”。他們的理由很簡(jiǎn)單，正如波斯特所說的，數(shù)學(xué)是不會(huì)終結(jié)的。顯然，這些學(xué)者主張的是版本（1）的哥德爾綱領(lǐng)。由于人們可能在關(guān)于哥德爾析取式采取不同立場(chǎng)的情況下支持版本（1）的綱領(lǐng)，我們很難確定他們是否持有與哥德爾同樣樂觀的立場(chǎng)。而我們幾乎可以確定武丁與郝兆寬持有與哥德爾相當(dāng)甚至更強(qiáng)的樂觀立場(chǎng)。

結(jié)論

事實(shí)上，真正樂觀的理性主義者總是試圖給出強(qiáng)而清晰的論斷，它們足夠清晰以至于是可以被證明為錯(cuò)的，它們也幾乎全部被證明是錯(cuò)的。弗雷格、希爾伯特、甚至哥德爾（寄希望于更強(qiáng)的大基數(shù)公理解決連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問題而被科恩的方法證明為不可能的）概莫能外。然而，正是這些清晰明確的立場(chǎng)以及圍繞它們的工作，甚至對(duì)它們的否定，增加了人類對(duì)數(shù)學(xué)世界的認(rèn)識(shí)。

而另一方面，對(duì)理性的樂觀不應(yīng)盲目以至于無視一些已知的結(jié)果。正如哥德爾面對(duì)不完全性定理得出的析取式，它告訴我們不存在有窮信息的公理系統(tǒng)能把握全部客觀數(shù)學(xué)。如果科恩以后的集合論研究一再提示我們關(guān)于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的認(rèn)識(shí)可能是不收斂的，更符合理性主義的選擇或許是跟隨王浩的建議：“正視我們所知的（doing justice to what we know）”。

本文選自《自然辯證法通訊》2020年第42卷第12期