李善蘭《十三種》之尖錐說與對數(shù)(1)

上傳書齋：瀟湘館112

何世強(qiáng)

Ho Sai Keung

提要：清?李善蘭著《則古昔齋算十三種》，第三種為〈對數(shù)探源〉，其中亦提及尖錐形及對數(shù)，本文主要談及尖錐形所涉及之曲線及自然對數(shù)。

關(guān)鍵詞：李善蘭  雙曲線 尖錐  自然對數(shù)

第 1 節(jié)  李善蘭略傳

李善蘭（1810年－1882年）原名李心蘭，字竟芳，字壬叔，號秋紉，生于清嘉慶十五年（1810年）一月二日，浙江海寧縣硤石鎮(zhèn)人。據(jù)《則古昔齋算十三種》﹝簡稱《十三種》﹞自序，十歲時即通《九章算術(shù)》。道光二十五年（1845年）著《四元解》二卷。從此致力鉆研天文、歷法與算學(xué)，成為清代之著名數(shù)學(xué)家。

傳世之《十三種》計(jì)有以下之十三種：

〈方圜闡幽〉一卷、〈弧矢啟秘〉一卷、〈對數(shù)探源〉二卷、〈垛積比類〉四卷、〈四元解〉二卷、〈麟德術(shù)解〉三卷、〈橢圜正術(shù)解〉二卷、〈橢圜新術(shù)〉一卷、〈橢圜拾遺〉三卷、〈火器真訣〉一卷、〈尖錐變法解〉一卷、〈級數(shù)回求〉一卷、〈天算或問〉一卷，共二十四卷。

《十三種》第三種為〈對數(shù)探源〉，本文取材自此卷。

第 2 節(jié)  李善蘭尖錐之形與對數(shù)面積說

本文談及對數(shù)與尖錐面積之關(guān)系。《十三種》之〈對數(shù)探源?卷一〉曰：

對數(shù)之積，諸乘尖錐之合積也，與方圜之較同﹝說詳〈方圜闡幽〉﹞。

筆者有文名為〈李善蘭之尖錐說與圓面積公式之推導(dǎo)〉，此文即涉及“諸乘尖錐之合積也，與方圜之較”?！胺洁髦^”乃求圓面積公式，此公式以無窮級數(shù)表達(dá)。

〈對數(shù)探源〉曰：

但方圜之較，自立尖錐起，此則自一長方起。方圜之較，次四乘尖錐，次六乘尖錐，次八、次十，皆用其偶，去其奇。

此則次平尖錐，次立尖錐，次三乘、次四乘，次五、次六，奇偶皆用。方圜之較，諸尖錐之底，皆以漸而減；此則諸尖錐之底皆為齊同之?dāng)?shù)，三者其異也

圜者，圓也。尖錐對數(shù)說則始于一長方形，見下圖之甲。方圜之較，只用自乘數(shù)為雙數(shù)﹝本身之?dāng)?shù)不算在內(nèi)﹞之尖錐，即只用偶數(shù)而不用奇數(shù)。尖錐對數(shù)說則不同，所乘之次數(shù)可奇可偶，見下文。

以下為原文：

以下為《十三種》之對數(shù)尖錐圖﹝上圖之放大圖﹞：

《十三種》曰：

如圖甲為長方形，乙為平尖錐，丙為立尖錐，丁為三乘尖錐，戊為四乘尖錐，己為五乘尖錐，由是自六乘以上至于無窮，可以類推，不能盡圖也。諸尖錐之底，則盡如子丑，無增減也。

上圖之甲為長方形，其他為尖錐形，包括乙之直角三角形。今設(shè)長方形之長為 a ，闊子丑為b，其他尖錐之底亦為 b。是為“齊同之?dāng)?shù)”。

以下為上圖所代表之尖錐：

甲：x；  乙：x²﹝平方﹞；  丙：x³﹝立方﹞；  ?。?/span>x⁴﹝三乘﹞；

戊：x⁵﹝四乘﹞；  己：x⁶﹝五乘﹞。

所謂“對數(shù)之積”乃指以下曲線之下方與X 及Y軸，及一固定橫軸之長所圍成之面積。

今取其圖并化簡﹝只畫最外之曲線﹞又向左旋 90^o，化成直角坐標(biāo)如下圖所示。

《十三種》曰：

此尖錐合積中截為二，便與二分之正數(shù)對。

                                     2                                 1

曲線ABC 可以以方程式 y =  ---------------- (1) 逼近。若 0 ≦ x < a 即為上圖。若 x 在 X 上包括所有數(shù)，則 (1) 式是一雙曲線，以 X 軸及 x = a為兩條正交之漸近線。若 (1) 平移至以原點(diǎn)為中心點(diǎn)，則兩枝曲線分別在第二和第四象限。從(1) 式可知 OA = ，又若x → a ，則 y →∞。

第一種情形尖錐合積中截為二份﹝〈對數(shù)探源?卷一〉稱為為“段”﹞如上圖，即以 E 為 中點(diǎn)。注意曲線C 點(diǎn)不在 CF在線。

E 乃 OF 之中點(diǎn)，OF = a，OE = EF = 。

 面積 ABEO (2)

= = = –ln (a –) + ln (a – 0)

= ln a – ln = ln = ln 2。

ln 乃自然對數(shù)(Natural logarithm）之簡寫。

面積 BCFE (1)

= = = – ln (a – a) + ln (a–)，

因?yàn)?/span> ln (a – a) = ln 0，無此值。故最右方之部份或對數(shù)尖錐圖之最下方部份不算，不論分成多少份皆如此。最右方部份之面積若記為 (1)，則 (1) 不須計(jì)算。

分成二份可得ln 2，此即《十三種》曰“便與二分之正數(shù)對”，此處之面積指左方之部份或對數(shù)尖錐圖之上方部份。

《十三種》曰：

若均截為三，便與三分之正數(shù)對。

                              3                        2                        1

OG = ，OF = ，OE = a。注意曲線 D 點(diǎn)不在 DE 在線。

 面積ABGO

= = = – ln (a –) + ln (a – 0)

= ln a – ln = ln = ln。

面積 BCFG

= = = – ln (a –) + ln (a –)

= ln – ln = ln = ln 2。

ABGO + BCFG = ACFO = ln + ln 2 = ln ( ×2) = ln 3。

此即《十三種》曰“便與三分之正數(shù)對”，指最左方之兩部份或對數(shù)尖錐圖之最上方兩部份。

以下為分成四份之情況：

                         4                 3                   2                   1

OK = ，OH = ，OG = ，OF = a。

 面積ABKO

= = = – ln (a –) + ln (a – 0)

= ln a – ln = ln = ln。

面積 BCHK

= = = – ln (a –) + ln (a –)

= ln– ln = ln = ln。

面積 CDGH

= = = – ln (a –) + ln (a –)

= ln– ln = ln = ln 2。

ABKO + BCHK + CDGH = ADGO

 = ln + ln + ln 2 = ln (×  × 2) = ln 4。

以下為分成五份之情況：

                            5          4            3               2            1

OL = ，OK = ，OJ = ，OH = ，OG = a。

 面積ABLO

= = = – ln (a –) + ln (a – 0)

= ln a – ln = ln = ln。

面積 BCKL

= = = – ln (a –) + ln (a –)

= ln – ln = ln = ln。

面積 CDJK

= = = – ln (a –) + ln (a –)

= ln – ln = ln = ln。

面積 DEHJ

= = = – ln (a –) + ln (a –)

= ln – ln = ln = ln 2。

ABLO + BCKL + CDJK + DEHJ

= ln + ln + ln + ln 2

= ln (×  ×  × 2)

= ln 5。

以下為分成 r 份之情況：

x₁ = ，x₂ = ，x₃ = ，…… x_{r – 1} = 。

面積和必為

= ln+ ln+ ln + …… ln+ ln+ ln 2

= ln (×××……  ×  × 2)

= ln r。

別證法：

= = = – ln[a –] + ln a

= ln a – ln[a – (a –)]= ln = ln。

= ln a – ln

= ln

= ln r。

注意上式最初含 a ，但最終答案不含a ，表示與 a 無關(guān)。

以上即〈對數(shù)探源〉所謂：

正數(shù)無論多少，但分作幾分，所對之對數(shù)皆同。

〈對數(shù)探源〉得一非常重要之結(jié)論，即不論 r 為多少，第r – 1 份之面積與 r 其他值 m 之m – 1 份之面積相同，即同為 ln 2 ﹝見下文﹞。以下四圖甲截為二段，乙截為三段，丙截為四段，丁截為五段。

甲上之第二段子丑辰巳積 = 乙上第二段卯午未申積 = 與丙上第二段戊己庚辛積 = 丁上第一段房心尾箕積 = ln 2。見下圖之黃色部分。

乙上之第三段寅卯申酉積 = 丙上第三段亥戊辛壬積 = 丁上第三段氐房箕斗積 = ln。見下圖之藍(lán)色部分。

丙上之第四段戍亥壬癸積 = 丁上第四亢氐斗牛積 = ln。

五段以上理可類推。

若對數(shù)尖錐圖之尖錐部份略去，只畫其長方部份，分成二至十份，二份名甲，三份名乙，四份名丙，…十份名壬，份數(shù)之命名從右至左，由 1 開始，最多至 10，1 之面積不算，只算 2 以上之面積。

以下為對數(shù)長方二至十份圖，相同顏色者表示面積相同：

甲

乙

丙

丁

戊

己

庚

辛

壬

以上之?dāng)?shù)為面積為對數(shù)﹝包括以上之10﹞，今重列各數(shù)之面積如下：

2：ln 2  ，  3：ln ，  4：ln ，  5：ln ，  6：ln ，  7：ln，

8：ln  ，  9：ln， 10：ln。

若分成11 或以上之份數(shù)，情況相同。